Acerca del círculo de nueve puntos

Primero introduzca algunas definiciones:

A. Punto de Euler: el punto de Euler es el punto medio de los tres segmentos de línea que conectan los vértices del triángulo y el centro vertical.

B. Línea de Euler: El circuncentro, el centro de gravedad, el centro del círculo de nueve puntos y el centro vertical de un triángulo están ubicados en la misma línea recta. Esta línea recta se llama línea de Euler. del triángulo.

C. Centro vertical: el punto de intersección de las tres alturas del triángulo;

D. Centro de gravedad: el punto de intersección de las tres líneas medias del triángulo; >

E. Circuncentro: los tres lados del triángulo son verticales La intersección de las bisectrices es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo;

F. el triángulo es también la intersección de las bisectrices de los tres ángulos internos;

Círculo de nueve puntos Algunas propiedades de:

1 El radio del círculo de nueve puntos de un triángulo. es la mitad del radio del círculo circunstante del triángulo;

2. El centro del círculo de nueve puntos está en la línea de Euler y es el punto medio de la línea que conecta el centro vertical y el circuncentro;

3. ¿El círculo de nueve puntos del triángulo y el círculo inscrito del triángulo, y los círculos tangentes de tres lados son todos tangentes [se puede demostrar mediante cálculo violento]?;

4. El círculo de nueve puntos es un círculo de nueve puntos de un grupo perpendicular, por lo que el círculo de nueve puntos es tangente a cuatro círculos inscritos y doce círculos paratangentes;

5. de gravedad (G), centro vertical (H), centro de nueve puntos (I), línea *** de cuatro puntos y HG=2MG?MG=2IG?MH=2MI?

6. El círculo de nueve puntos es en realidad un caso especial de la esfera de 12 puntos de cierto tipo de tetraedro (los bordes opuestos son perpendiculares entre sí)

7. hipérbola (función proporcional inversa), entonces su círculo de nueve puntos pasará por un punto especial: el centro de la hipérbola equiaxial. (La prueba es la siguiente)

Para probar la conclusión 7, primero prueba un lema: una línea recta corta la hipérbola en A y B, y corta dos asíntotas en C y D, luego AC=BD. ?

Supongamos que la ecuación de la hipérbola es x²/a²-y²/b²=1, entonces la ecuación asíntota es x²/a²-y²/b²=0, y dejemos que la recta La ecuación de línea es y=kx+m. Dado que el lado izquierdo de la ecuación de la hipérbola es el mismo que la ecuación asíntota, la diferencia está solo en la constante del lado derecho, por lo que se pueden escribir en forma unificada: x² /a²-y²/b²=t, cuando t=1 se obtiene una hipérbola, y cuando t=0 se obtiene una asíntota. ?

Introduce la línea recta en la ecuación anterior, elimina y y ordena: (b²-k²a²)x²-2kma²x-a²m²-ta²b²= 0?

Mientras k no sea la pendiente asíntota de la hipérbola ±b/a, entonces la ecuación tiene dos raíces reales desiguales x1 y x2 Según el teorema védico: x1+x2=2kma². ;/(b² ;-k²a²), pero no tiene nada que ver con el valor de t, por lo que el punto medio de AD coincide con el punto medio de BC, por lo que AC=BD