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La Paradoja de Hippaso y la Primera Crisis Matemática

El surgimiento de la Paradoja de Hippaso está estrechamente relacionado con el descubrimiento del Teorema de Pitágoras. Entonces, comencemos con el teorema de Pitágoras. El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más famosos de la geometría euclidiana. El astrónomo Kepler la llamó una vez una de las dos perlas brillantes de la geometría euclidiana. Se utiliza ampliamente en matemáticas y en la práctica humana, y también es uno de los primeros teoremas de geometría plana reconocidos por los humanos. En nuestro país, el primer trabajo astronómico y matemático, "Zhou Pi Ai Jing", tiene una comprensión preliminar de este teorema. Sin embargo, la demostración del teorema de Pitágoras en China llegó más tarde. No fue hasta el período de los Tres Reinos que Zhao Shuang proporcionó la primera prueba de corte de área.

En el extranjero, Pitágoras de la antigua Grecia demostró por primera vez este teorema. Por lo tanto, en el extranjero se le suele llamar "teorema de Pitágoras". Algunas personas dicen que Pitágoras estaba tan feliz después de completar este teorema que mató 100 vacas para celebrarlo. Por lo tanto, este teorema también recibió un título misterioso: "El teorema de los cien Niu".

Pitágoras

Pitágoras fue un famoso matemático y filósofo de la antigua Grecia en el siglo V a.C. Una vez fundó una escuela mística que integraba política, academia y religión: los pitagóricos. La famosa proposición "Todo es número" propuesta por Pitágoras es la piedra angular filosófica de esta escuela. "Todos los números pueden expresarse como números enteros o como proporciones de números enteros" es la creencia matemática de esta escuela de pensamiento. Sin embargo, lo dramático es que el teorema de Pitágoras establecido por Pitágoras se ha convertido en el "sepulturero" de las creencias matemáticas de Pitágoras. Después de que se propuso el teorema de Pitágoras, Hipaso, miembro de su escuela de pensamiento, consideró una pregunta: ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un cuadrado con lado 1? Descubrió que esta longitud no podía representarse mediante un número entero o una fracción, sino que solo podía representarse mediante un nuevo número. El descubrimiento de Hippasos condujo al nacimiento del primer número irracional √2 en la historia de las matemáticas. La aparición del pequeño √2 provocó una gran tormenta en el mundo de las matemáticas en ese momento. Sacudió directamente la creencia matemática de los pitagóricos y les hizo entrar en pánico. De hecho, este gran descubrimiento no fue sólo un golpe fatal para los pitagóricos. Esto tuvo un enorme impacto en el pensamiento de todos los antiguos griegos de aquella época. La paradoja de esta conclusión es que entra en conflicto con el sentido común: cualquier cantidad puede expresarse como un número racional dentro de cualquier rango de precisión. Esta no era sólo una creencia ampliamente aceptada en Grecia en ese momento, sino que incluso hoy en día, cuando la tecnología de medición está altamente desarrollada, ¡esta afirmación es correcta sin excepción! Sin embargo, la conclusión que estaba convencida por nuestra experiencia y completamente consistente con el sentido común fue anulada por la existencia de un pequeño √2! ¡Qué contrario al sentido común y qué ridículo debería ser esto! Simplemente subvierte la comprensión previa. Peor aún, no se puede hacer nada ante este absurdo. Esto condujo directamente a la crisis cognitiva de la gente en ese momento, desencadenando así una gran tormenta en la historia de las matemáticas occidentales, conocida como la "primera crisis matemática".

Eudoxo

Doscientos años después, alrededor del 370 a.C., el talentoso Eudoxo estableció una teoría completa de las proporciones. Su propio trabajo se ha perdido y sus resultados se conservan en el capítulo 5 de los Elementos de Euclides. El ingenioso método de Eudoxo puede evitar el "escándalo lógico" de los números irracionales y conservar algunas conclusiones relevantes, resolviendo así la crisis matemática provocada por la aparición de los números irracionales. La solución de eudoxo se logra evitando directamente los números irracionales con la ayuda de métodos geométricos. Se trata de un rígido desmembramiento de números y cantidades. Según esta solución, el uso de números irracionales está permitido y es legal sólo en geometría, pero ilegal e ilógico en álgebra. En otras palabras, los números irracionales se tratan simplemente como símbolos simples adjuntos a cantidades geométricas, en lugar de números reales. No fue hasta el siglo XVIII que los matemáticos demostraron que las constantes básicas como pi eran números irracionales, y cada vez más personas apoyaban la existencia de números irracionales. En la segunda mitad del siglo XIX, tras el establecimiento de la teoría de los números reales en el sentido actual, la naturaleza de los números irracionales quedó completamente aclarada y los números irracionales realmente echaron raíces en el jardín de las matemáticas. El establecimiento del estatus legal de los números irracionales en matemáticas no sólo amplió la comprensión humana de los logaritmos de los números racionales a los números reales, sino que también resolvió verdadera y completamente la primera crisis matemática.

La paradoja de Beckler y la segunda crisis matemática

La segunda crisis matemática surge del uso de herramientas de cálculo. Con la mejora de la comprensión de la teoría y la práctica científicas, Newton y Leibniz descubrieron de forma independiente casi simultáneamente en el siglo XVII el cálculo, una aguda herramienta matemática. Tan pronto como salió esta herramienta, mostró su extraordinario poder. Muchos problemas difíciles se vuelven más fáciles después de utilizar esta herramienta.

Pero ni las teorías del cálculo de Newton ni las de Leibniz eran rigurosas. Todas sus teorías se basan en el análisis infinitesimal, pero su comprensión y aplicación del concepto básico de infinitesimal es confusa. Por lo tanto, algunas personas se han opuesto y atacado al cálculo desde su nacimiento. Entre ellos, el ataque más violento fue el del arzobispo británico Bekele.

Obispo Becquel

En 1734, Becquel publicó un libro con el extenso título Analista o tratado para un matemático ateo, que examinaba el análisis moderno de los objetos, principios y conclusiones de La ciencia se expresa más clara o más obviamente que los misterios de la religión y los puntos principales de la fe. ”