Una pequeña tontería sobre la teoría de la representación de grupos
Las notas de la conferencia se dividen aproximadamente en dos partes: la primera parte es la representación de grupos finitos y la segunda parte es principalmente la representación de grupos compactos. En la práctica docente, utilizamos siete conferencias sobre grupos finitos, cuatro conferencias sobre grupos compactos y la última conferencia dio los resultados básicos representados por SL2 (R). Registraremos el progreso detallado del curso más adelante.
La parte de grupos finitos analiza principalmente la descomposición de semisingularidades y representaciones regulares (es decir, el teorema de Peter-Weyl de grupos finitos) y la construcción de representaciones inducidas. Todos estos contenidos son estándar. Como aplicación, estudiamos la representación de grupos matriciales de segundo orden sobre cuerpos finitos. Finalmente, discutimos el teorema de reconstrucción de Tadashi Tadashi, es decir, los grupos se construyen secuencialmente a partir de categorías de representación. Aunque la demostración del teorema es simple, la forma de pensar aquí no es familiar para los estudiantes, por lo que al enseñar nos centramos en lo que dice el teorema en lugar de cómo demostrarlo. Toda la primera parte se puede utilizar como un curso corto o una clase de lectura para estudiantes universitarios después de aprender álgebra abstracta básica. Aquí nos esforzamos por ser concisos y directos, utilizando la longitud más corta y la ruta lógica más directa para describir el contenido básico de la representación de grupos finitos.
En la parte del grupo compacto, nos centramos en el teorema de Peter-Weyl. Dado que los estudiantes no están familiarizados con los grupos topológicos, el estilo narrativo de esta parte es ligeramente diferente al de la primera parte. Seguimos esforzándonos por lograr la simplicidad, pero también intentamos agregar algo de discusión para ayudarlo a comprender. También destacamos los ejemplos. En algunos lugares incluso se dan ejemplos directamente, sin una teoría general. Primero, revisemos la teoría relacionada de las series de Fourier y expliquemos por qué es la teoría de representación de S1. A continuación se presentan dos teorías generales, que prueban principalmente el teorema de Peter-Weyl y analizan la teoría de series de Fourier sobre grupos compactos abstractos. Luego volvemos al ejemplo. Utilice el grupo concreto Su (2) para comprender y profundizar el teorema anterior. Finalmente, discutimos el teorema de reconstrucción de grupos compactos como un eco del teorema homónimo de grupos finitos, pero la demostración de este teorema no se enseña en la práctica docente. Al final del curso, establecimos la clasificación que representa SL2(R). La mayoría de las conclusiones no han sido probadas (ni podrían probarse en una lección tan corta). Esperamos que utilice esto como punto de partida para futuros estudios.
En la sección anterior, recopilamos información relativamente compleja y la empaquetamos en ejercicios. Puedes usar lo que aprendiste en clase para comprender estos ejercicios, y la mayoría de ellos también se pueden hacer usando lo que aprendiste en clase. Por supuesto, no importa si no puedes hacerlo, ya es muy difícil. También es bueno seguir pensando lentamente.
Nuestros estudiantes provienen del norte y sur del país. Todos vinieron a Beijing en busca de su sueño sexual y disfrutaron de la brisa fresca que soplaba desde el mundo representativo durante el largo verano. Más tarde, Beijing se volvió cada vez más caliente. Para estar más fresco, todo el mundo toma aviones o incluso cohetes para ir a clase todos los días, sólo para que el viento sea más fuerte. La mayoría de los estudiantes son estudiantes de segundo o tercer año. En general, aprendieron un poco sobre álgebra abstracta, teoría de medidas y funciones de variables complejas. Algunos estudiantes tienen algunos conocimientos de teoría de representación de grupos y análisis funcional. Los resultados que utilizamos son básicamente álgebra lineal de teoría de grupos, y se utiliza algún análisis funcional simple en la parte del grupo compacto (solo para que sea más fácil hablar). Siempre que hayas estudiado teoría de grupos y álgebra lineal, puedes estudiar teoría de la representación. Siempre hay uno para ti.
Por último, me gustaría mencionar un fenómeno digno de vigilancia. Los estudiantes a menudo no están interesados en el trabajo de teoría representacional que hago y no están dispuestos a hacer cálculos por sí mismos. Más bien, les gustan mucho las tonterías abstractas sin contenido. A continuación se muestran algunos ejemplos típicos. Primero, sentí que GL2 (Fq) era demasiado específico y aburrido, y luego vi cuán entusiasta era la teoría de categorías cuando hablaba de teoremas de reconstrucción.
Además, cuando se trata del análisis de Fourier de un grupo, la fórmula de Planck lo considera cálculo puro. Como resultado, cuando un álgebra de grupo es un álgebra C*, las cosas se iluminan.
No digo que sea malo que te gusten las cosas abstractas, sino que las cosas abstractas deben estar respaldadas por ejemplos concretos. Las herramientas abstractas deberían servir para problemas específicos. Las matemáticas abstractas que vemos ahora, la razón por la que somos buenos en matemáticas no es porque sus complejas estructuras abstractas se vean bien o suenen elevadas, sino porque pueden ayudarnos a resolver problemas que antes no podían resolverse o se han vuelto complicados, o lo permiten. permitirnos comprender la naturaleza del problema a un nivel superior. Todos admiraban a Grothendieck, quien reescribió todo el marco de la geometría algebraica. Pero debemos darnos cuenta de que Grothendieck reconstruyó un marco abstracto para resolver algunos problemas específicos de geometría algebraica, especialmente conjeturando que este problema es positivo junto con Weill, lo que tiene una importancia importante tanto en la teoría como en la práctica. Así que debemos recordar que la abstracción debe servir a problemas concretos, no a abstracciones.
Tenemos clases de una hora y media seguida, tres veces por semana, los martes, jueves y viernes por la mañana. Por la tarde habrá tutorías y sesiones de preguntas y respuestas de los profesores. La duración de la clase será de * * * dieciocho horas. La excelente calidad y la asombrosa diligencia de los estudiantes hicieron que el curso transcurriera sin problemas. Cuando enseñaba en la Universidad Purdue, algunos estudiantes me dijeron que dabas conferencias como un cohete. Creo que el progreso del que hablo aquí puede que no sean sólo cohetes sino súper naves espaciales. Creo que en la práctica docente normal, reducir la velocidad a la mitad o más es factible. Es mejor proporcionar a los estudiantes una gran cantidad de ejemplos específicos. Algunos conocimientos preparatorios o conocimientos previos (que todos asumimos que los estudiantes conocen) también deben incluirse en el contenido de enseñanza normal (módulos algebraicos, teoría de categorías, análisis funcional simple, etc.).
El contenido de este curso es como especialidad en matemáticas, es razonable tomar 36 horas de crédito o 48 horas de crédito de cursos electivos en el primer semestre del tercer o cuarto año. En resumen, el progreso de la conferencia es aproximadamente el siguiente:
1. La definición de representación de grupos finitos, semi-singularidad y el enunciado del teorema de representación regular.
2. Definición de rasgos, ortogonalidad, descomposición de la representación canónica correcta y dimensión de representación irreducible.
3. Coeficientes matriciales, descomposición de representaciones regulares; dos teoremas: representación irreducible del orden de grupos divisibles, teorema de solubilidad de Burnside.
4. Representación inductiva, ley de reciprocidad de Frobenius y teorema de subgrupos de Mackie.
5.La estructura del grupo GL2 (FQ) se expresa mediante inducción parabólica.
6. Representación de puntos, use Weil para representar la representación de puntos estructurales (omitimos el caso de división y omitimos el cálculo de la traza después del Teorema 4.4.2).
7. Teorema de grupos finitos de Tadao.
8. Espacio de Hilbert, representación del círculo y series de Fourier.
9. Los hechos básicos de la representación de grupos compactos y de la representación irreducible son finitos (nos saltamos la demostración) y el teorema de Peter-Weyl (enfatizamos el enunciado del teorema, diciéndoles a los estudiantes que si lo tienen). no aprendido Si el operador está demasiado apretado, se puede omitir esta prueba). La demostración del teorema de Peter-Weir duró aproximadamente media hora.
10. Análisis armónico en grupos compactos. Nos centramos en utilizar el teorema de Peter-Weyl para construir la base ortonormal de L2(G).
Representación y análisis armónico de 11. Su②. Nos saltamos la prueba de la fórmula integral de Weyl y no discutimos mucho sobre las propiedades de las integrales orbitales. Es decir, probamos la fórmula de Planck sobre la base de hechos, enfatizamos su importancia y concluimos.
12. La construcción de la representación de secuencia discreta y la representación de secuencia principal unitaria de SL2 (r), y el enunciado de la fórmula de Planck.
Hablemos de algunas visiones sobre el aprendizaje. En primer lugar, para los estudiantes interesados en aprender matemáticas, no es realista entender todo por primera vez después de aprender cosas nuevas hasta cierto punto (depende del talento de cada persona, pero generalmente está limitado por álgebra abstracta de variables reales). funciones). En segundo lugar, es en esta etapa cuando los requisitos para el aprendizaje han mejorado enormemente. En términos generales, requiere que comprendamos el contenido central de una materia en un corto período de tiempo.
Aquí viene el problema. ¿Qué quieres decir con aprendido? Lo que quiero enfatizar es que, al menos, creo que es muy importante demostrar un teorema o incluso recordar que no equivale a una verdadera comprensión. Creo que lo más importante en el aprendizaje es establecer una intuición correcta, que es el sello distintivo del aprendizaje.
¿Cuál es la intuición correcta? Creo que lo que significa es que cuando ves la definición de un teorema, instintivamente puedes construir en tu mente las siguientes cosas: el ejemplo más representativo que mejor refleje la esencia del problema, la razonabilidad de la definición o teorema (por qué esto es una definición así en lugar de otra), la necesidad de definiciones y teoremas (por qué se definen de esta manera o por qué se hacen de esta manera), por qué el teorema es verdadero (qué razones filosóficas existen para explicar el teorema), etc.
Pongamos un pequeño ejemplo. ¿En qué pensamos cuando vemos el teorema "Una función de Riemann es integrable si y sólo si el conjunto de puntos discontinuos de la función es el conjunto de medida cero"? Los siguientes son varios aspectos importantes: (1) El conjunto de medidas cero significa que no hay muchos puntos en el conjunto, pero esta condición es ligeramente más débil que la contabilización (2) la integrabilidad de Riemann muestra que la continuidad de la función no puede ser tan mala; Este teorema da el significado exacto de "no está tan mal", por lo que debería ser cierto. (3) La función de Riemann es una función discontinua e irracional en todos los puntos racionales, por lo que puede integrarse. Podrías pensar en muchas otras cosas, pero lo que intento decir es que, comparada con estas cosas, la demostración del teorema en sí no es tan importante. Sin duda, desarrollar la intuición correcta es difícil. Superar estas dificultades y finalmente completar el establecimiento de una intuición correcta requiere mucha acumulación. Lo que acumulas no es sólo conocimiento, sino también ejemplos. En cierto sentido, los ejemplos equivalen a la intuición. La intuición es la esencia interna de los ejemplos, y los ejemplos son la apariencia externa de la intuición. Cuando no tenemos suficientes ejemplos en la cabeza, la intuición se vuelve difícil de establecer. Por eso tenemos que aprender una y otra vez y estudiar ejemplos nosotros mismos. Cada uno tiene que hacer sus propios ejemplos. Si observas a otros hacer ejemplos, siempre serán ejemplos de otras personas, no los tuyos. Es como ver nadar a otras personas, nunca lo aprenderás tú mismo. Sólo se puede aprender a nadar metiéndose en el agua o tomando unos sorbos de agua. No importa si no lo entiendes la primera vez. Incluso si no lo entiendes las primeras veces, no importa si no puedes entenderlo. No dudes de ti mismo. Lo que te falta son sólo ejemplos y acumulación de experiencia. Por supuesto, los ejemplos son relativos. Lo que hoy es abstracto se convertirá mañana en un ejemplo de contenido más abstracto. Así como una matriz puede servir como abstracción para un sistema de ecuaciones lineales, la matriz en sí es un ejemplo concreto de un operador más general. Hay algo muy metafísico llamado madurez matemática. Creo que la riqueza de ejemplos en tu mente también puede verse como un aspecto importante de la madurez matemática.
En el proceso de aprendizaje, muchas veces nos apoyamos en ejemplos para avanzar. Cuando nos encontramos con una definición o teorema, primero debemos darnos un ejemplo para ver si podemos dar un ejemplo menos común. Se necesitan ejemplos tanto positivos como negativos. Hay tantos ejemplos que naturalmente lo sentiremos. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, primero nos preguntamos: ¿cuántos ejemplos de grupos específicos tenemos en nuestra mente? ¿Qué sabemos sobre estos ejemplos? Por ejemplo, encontraremos un resultado clásico: el grupo simple no conmutativo más pequeño es A5. Nuestra primera reacción, ¿por qué? Pruébalo primero. Probemos con varios grupos con pedidos inferiores a 60. Y luego encontramos que si intentas cualquiera de los ejemplos, siempre hay alguna razón por la cual no es un grupo simple no conmutativo. En el proceso de prueba y error, encontrará el teorema de Sylow, resultados sobre grupos p y varias otras pequeñas conclusiones. Cuando prueba suficientes ejemplos, siente que puede aceptar mentalmente "el grupo simple más pequeño es A5". Aunque no ha leído la prueba, básicamente ha "comprendido" esta conclusión, porque ya tiene una idea general de por qué otros grupos fracasan. Por ejemplo, después de aprender la teoría de Galois, vimos por primera vez los teoremas principales de la teoría de Galois. En este momento, probémoslo nosotros mismos. ¿Deberíamos usar una ecuación para calcular el grupo de Galois (por ejemplo, el grupo de Galois de x3 x 1, se puede calcular?), o deberíamos escribir directamente una extensión de dominio y preguntar si es una extensión de Galois? ¿Puedes anotar todos los campos intermedios?
Los antiguos decían: Lee un libro cien veces y su significado será evidente. Pero este es un libro antiguo. No sé si podrás entenderlo instantáneamente después de verlo cien veces.
Puede que sea inútil aprender matemáticas leyéndolas cien veces, pero definitivamente es beneficioso hacer los ejemplos cien veces.
Por otro lado, decimos que necesitamos dominar rápidamente el contenido básico de una materia. ¿Cómo podemos dominar rápidamente el contenido básico de una materia? La respuesta más sencilla: deja que alguien que sepa te lo cuente. Aprender de los demás, especialmente del contenido clave, es la forma más eficaz.
Para este curso, traté de ser una persona conocedora y describir de manera concisa y directa qué (en mi opinión) es más importante sobre la teoría de la representación. Una respuesta un poco más complicada: Bo Dushu. Hua nos dice que primero debemos estudiar mucho y luego estudiar mucho. El proceso de leer la parte gruesa es un proceso de cálculo intuitivo, y el proceso de leer la parte delgada es el proceso de captar el contenido principal. De lo que hablamos antes fue del proceso de lectura de libros gruesos. ¿Cómo leer libros delgados? Un ejercicio sencillo es darte una hora para hablar sobre los puntos principales de un tema. ¿Cuál es el objeto de investigación más importante? ¿Cuál es el teorema más importante y esencial? ¿Por qué es cierto este teorema (tenga en cuenta que esto no es una prueba sino una filosofía)? En este momento, tenemos que separar la esencia de lo bruto e ir directamente al Dragón Amarillo. Todas las preguntas sólo sirven al núcleo. No puedo ayudarte a leer este libro de forma espesa. Como se mencionó anteriormente, esto requiere un gran esfuerzo por su cuenta. Espero que este curso pueda hacer una pequeña contribución al proceso de lectura delgada.
Estoy lejos de ser un buen matemático, ni un buen profesor de matemáticas (me gustaría invitar aquí a mis profesores y otros discípulos, muchas veces me avergüenzo de mi legado debido a mi nivel limitado), lo que hace que mi la comprensión de muchas cuestiones tal vez no sea óptima. Mi conocimiento literario también es muy limitado, y lo que escribo puede no ser necesariamente significativo ni expresar mis pensamientos más esenciales.
En resumen, no aprendí bien chino ni matemáticas. Pero no importa. La gente en este mundo tiene mucho más conocimiento y educación que yo. Han escrito mucho que vale la pena leer. El siguiente es el prefacio de estos dos libros:
1. Problemas y teoremas en análisis. Este es un clásico entre los clásicos. Los ejercicios duran para siempre y un libro dura para siempre. El prefacio del libro me hace querer morir.
2. Wu Hongxi, Introducción a la Geometría Riemanniana. No soy geómetra y no puedo comentar sobre el contenido de este libro, pero he leído el prefacio no menos de diez veces. Dentro de mi alcance de lectura extremadamente limitado, es el mejor prefacio a un libro de matemáticas chino.
Finalmente, les invito dos libros de texto sobre rendimiento.
1.Searle. Representación de grupos finitos.
2. Teoría de la representación.
Estos dos libros son planes de lecciones realmente clásicos para leer libros gruesos y leer libros delgados. El libro de Searle es muy fino y conciso, y va directo al grano en tan solo unas pocas palabras. Admiro mucho a Serre por escribir libros y casi quiero darle la rodilla. Serre escribe teoremas de prueba documental, como cortar melones y verduras, y la estructura lógica está bellamente empaquetada. Todas las dificultades parecieron desaparecer instantáneamente. Por supuesto, el libro es tan seco que es fácil ahogarse si lo lees rápidamente. El libro de Fulton y Harris es denso pero no sustancial. Rory divagaba mucho. Este es un clásico para lecturas densas: ¡está lleno de ejemplos! ¡Todos son ejemplos! ¡Todos son ejemplos! ¡Los modelos a seguir te conquistarán!
Muchos estudiantes se preguntan qué aprenderán a continuación después de completar este curso. Por supuesto, esto depende de lo que quieras hacer a continuación. Pero en resumen, algunas cosas siguen siendo materiales estándar y vale la pena que todo matemático las domine. Probablemente hay dos áreas principales a este respecto: la teoría de representación de mayor peso de grupos de Lie compactos y la clasificación y representación de álgebras de Lie complejas semisimples. Los materiales de lectura a los que puede consultar son:
1. Introducción al álgebra de Lie y la teoría de la representación. conciso.
2.knapp, una introducción a Li Qunchao. El contenido es simple (Luū), sólido (suū) y está escrito con claridad.
3.Sepanski, grupo compacto de Lie. El contenido es muy básico y es muy bueno como material didáctico.
También se puede encontrar una introducción a las representaciones de grupos de Lie no compactos en el libro de Knapp "Teoría de la representación de grupos semisimples: una descripción general basada en ejemplos". Este libro tiene casi 800 páginas y contiene mucha información. Por supuesto, es sólo una puerta. Este aspecto se ha convertido ahora en una dirección de investigación popular. Se recomienda leer el artículo directamente y luego buscar un tema una vez que tenga una idea básica.
¡Tanto el horizontal como el vertical son información útil!
Para los teóricos de números, la representación del grupo p-ádico también es muy importante. La mayor parte del contenido básico se aprende de GL2. El libro de texto estándar es Jacquet-Langlands o Bump. Por supuesto, el material didáctico más común y profundo son las notas de las conferencias de Bernstein en Harvard en 1992.
1. Jacquet, Langlands, GL Forma automórfica en (2).
Este libro o su autor es tan famoso que todo el mundo lo llama Jacquet-Langlands.
2. Bump, formulario y presentación automáticos. Este libro es un libro de texto estándar. Generalmente llamado golpe. Hay tantos errores en este libro que es apenas soportable.
3. Bernstein, la transcripción del discurso de P-adic Group se puede encontrar en la página de inicio de Bernstein. Decimos que debemos aprender del maestro, y éste es el maestro. Vale la pena aprender todo sobre Bernstein. Jacquet-Langlands y Bump son libros de texto sobre representación del autocontrol. Esta es sin duda una de las partes más importantes de la teoría de números. estudiar.
Si tienes un fuerte autocontrol, simplemente lee uno. Además, puede consultar
1. Gu Deming, notas sobre la teoría de Jacques-Langlands. Este libro no se ha publicado antes, pero se imprimió en IAS y finalmente fue publicado recientemente por Higher Education Press. Tiene menos contenido que el libro original Jacquet-Langlands y es más fácil de leer.
2.Gelbart, forma de automorfismo en el grupo de Adele. Este libro ha sido durante mucho tiempo un libro de texto estándar y tiene una amplia circulación. Sin embargo, hay muchos pequeños errores y la calidad de la composición tipográfica y de la impresión también es muy preocupante. Es muy amargo de leer (al menos así me sentí cuando lo estaba aprendiendo).
La teoría de la representación es un gran conocimiento y solo puedo mencionar algunas partes con las que estoy familiarizado. Hay muchos ejemplos, como la teoría de la representación geométrica, los grupos cuánticos, la categorización, etc. La teoría de la representación también está estrechamente relacionada con la topología geométrica, la física matemática, etc. Estas son cosas que no entiendo y no puedo explicarles en profundidad. Para obtener una descripción general de la teoría de la representación, puede echar un vistazo más de cerca a las sugerencias de alto nivel hechas por el académico Xi Nanhua, decano de la Facultad de Matemáticas de la Academia de Ciencias de China, durante la escuela de verano.
Un poco sin sentido, la imagen de arriba.