Liu Hui y la "circuncisión"
Entonces, ¿qué es exactamente "cortar círculos"? El llamado "método de la secante" es un método para calcular pi utilizando la circunferencia de un polígono regular inscrito en un círculo para aproximarse infinitamente a la circunferencia. Este método es un método completamente nuevo creado por Liu Hui después de criticar y resumir varios métodos de cálculo antiguos en la historia de las matemáticas.
Desde el período anterior a Qin, la antigua China calculaba círculos utilizando el número "tres semanas y un diámetro" (es decir, la relación entre la circunferencia y el diámetro es de tres a uno). Sin embargo, los resultados calculados utilizando este valor suelen tener grandes errores. Como dijo Liu Hui, la circunferencia de un círculo calculada por "tres diámetros de uno" no es en realidad la circunferencia de un círculo, sino la circunferencia de un círculo inscrito en un hexágono regular, y su valor es mucho menor que la circunferencia real. Zhang Heng de la dinastía Han del Este no quedó satisfecho con este resultado. Comenzó a derivar pi estudiando la relación entre un círculo y su círculo circunstante. Este valor es mejor que "tres diámetros son uno", pero Liu Hui cree que la circunferencia calculada debe ser mayor que la circunferencia real, lo cual es inexacto. Bajo la guía del pensamiento extremo, Liu Hui propuso el método "secante" para calcular pi, que no sólo era audaz e innovador, sino también riguroso, y señalaba una forma científica de calcular pi.
En opinión de Liu Hui, dado que la circunferencia calculada por "tres diámetros de uno" es en realidad la circunferencia del círculo inscrito en el hexágono regular, que es muy diferente de la circunferencia, entonces podemos basarnos en ella; del hexágono regular, divida la circunferencia en seis arcos y luego continúe dividiendo cada arco en dos, creando así un dodecágono regular inscrito en el círculo. ¿No está la circunferencia de este dodecágono regular más cerca de la circunferencia que la circunferencia de un hexágono regular? Si la circunferencia se divide además en círculos inscritos en el cuadrilátero regular, entonces la circunferencia del cuadrilátero regular debe estar más cerca de la circunferencia que la circunferencia del dodecágono regular... Esto muestra que cuanto más fina se divide la circunferencia, más pequeña es El error será mayor cuanto más cerca esté el círculo de la circunferencia. Esta división continúa hasta que la circunferencia ya no se puede dividir, es decir, cuando el número de lados del polígono regular inscrito en el círculo es infinito, su circunferencia "coincide" con la circunferencia y es completamente consistente.
Siguiendo esta idea, Liu Hui calculó el área del círculo inscrito por el polígono regular y el polígono regular de 3072 lados, obteniendo así dos valores aproximados de pi, 3,14 y 3,1416. Este resultado fue el dato más preciso para calcular pi en el mundo en ese momento. Liu Hui tenía mucha confianza en el nuevo método de "círculo secante" que creó y lo extendió a todos los aspectos del cálculo de círculos, avanzando así en gran medida el desarrollo de las matemáticas desde la dinastía Han. Más tarde, en las dinastías del Sur y del Norte, Zu Chongzhi continuó trabajando duro sobre la base de Liu Hui y finalmente precisó el pi hasta el séptimo decimal. En Occidente, este logro lo logró el matemático francés Veda en 1593, más de 1.100 años después que Zu Chongzhi. Zu Chongzhi también derivó dos valores fraccionarios de pi, uno es la "tasa de reducción" y el otro es la "tasa de densidad". En Occidente, este valor lo obtuvieron Otón de Alemania y Antoniz de Holanda a finales de 1600, 1100 años después que Zuchong. La historia nunca olvidará la gran contribución del nuevo método del "círculo secante" de Liu Hui al desarrollo de las matemáticas chinas antiguas.
El método para encontrar el valor aproximado de pi utilizando polígonos regulares inscritos o circunscritos se basa en el principio de que a medida que aumenta el número de lados de un polígono regular, la longitud de su lado se acerca gradualmente a la circunferencia. Ya en el siglo V a. C., el antiguo erudito griego An Typhon ideó un método para estudiar el problema de convertir un círculo en un cuadrado: primero inscribir un círculo en un cuadrilátero regular y luego inscribir un círculo en un octágono regular. luego se duplica el número de lados uno tras otro hasta que los lados del polígono regular sean lo suficientemente pequeños como para coincidir con sus respectivas partes de circunferencia, y entonces se puede completar el problema de convertir el círculo en un cuadrado. En el siglo III a.C., el antiguo científico griego Arquímedes utilizó un método exhaustivo para establecer una proposición en su libro "Sobre las esferas y las columnas de lectura": Siempre que haya suficientes lados, el área de un polígono regular circunscrita por un círculo La diferencia entre el área y el área de su polígono regular inscrito puede ser arbitrariamente pequeña.
Arquímedes también utilizó el método de las circunferencias tangentes de polígonos regulares en su libro "Medición de circunferencias" para obtener un valor de pi menor que 3 1/7 y mayor que 3 1/70. También dijo que la relación entre el área del círculo y el área del cuadrado de Sibut es 11:14, es decir, la relación de pi es igual a 22/7. En el año 263 d.C., el matemático chino Liu Hui propuso la teoría de los "círculos cortados" en "Nueve capítulos de notas aritméticas". Comenzó con un hexágono regular en un círculo, duplicando el número de lados cada vez, hasta que los hexágonos regulares del círculo estuvieron conectados y la proporción pi fue 3,14 o 157/50, que más tarde se llamó proporción de favor. El libro también registra un valor más preciso de pi, 3927/1250 (igual a 3,1416). Liu Hui afirmó: "Si cortas con cuidado, no perderás mucho. Si cortas de nuevo, ya no podrás cortar más. Entonces te integrarás en el círculo y no habrá pérdidas". Coincide con el método de agotamiento de la antigua Grecia. Pi se ha utilizado durante mucho tiempo en la historia de los cálculos de pi. En 1610, el matemático alemán Curran utilizó 2^62 polígonos para calcular pi con 35 decimales. En 1630, Greenberg utilizó un método mejorado para calcular con 39 decimales, que se convirtió en el mejor resultado para calcular pi. Después de la invención del método analítico, reemplazó gradualmente al método de división de círculos, pero la gente siempre ha elogiado el método de división de círculos como el primer método científico para calcular pi. La técnica de corte circular de Liu Hui es simple y rigurosa, está llena de procedimientos y puedes continuar dividiendo para obtener un pi más preciso. Zu Chongzhi, un famoso matemático de las dinastías del Sur y del Norte, calculó 11 veces usando el método secante de Liu Hui, dividió el círculo en 12.288 polígonos y obtuvo pi = 355/133 (= 3,1415929), que se convirtió en el más preciso del mundo en los siguientes mil años.