Antecedentes históricos y proceso de desarrollo de la generación de funciones.

? Marx alguna vez creyó que el concepto de función se originó a partir del estudio de ecuaciones indefinidas en álgebra. Dado que Diofanto ya había estudiado ecuaciones indefinidas en la época romana, el concepto de funciones ya había comenzado al menos en ese momento.

? Desde la revolución astronómica de Copérnico, el movimiento se convirtió en un interés común entre los científicos del Renacimiento. La gente piensa: dado que la Tierra no es el centro del universo y tiene su propia rotación y revolución, ¿por qué los objetos caen verticalmente hacia la Tierra en lugar de desviarse? La órbita del planeta es elíptica. ¿Cuál es el principio? Además, el estudio de la trayectoria de vuelo, el alcance y la altura alcanzable de los proyectiles en la superficie terrestre, así como el impacto de la velocidad del proyectil en la altura y el alcance, no son sólo problemas que los científicos están tratando de resolver, sino también problemas que los militares Los estrategas piden resolver. El concepto de función es un concepto matemático derivado del estudio del movimiento, y el movimiento es la fuente mecánica del concepto de función.

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? Mucho antes de que se propusiera claramente el concepto de función, los matemáticos ya habían entrado en contacto y estudiado muchas funciones específicas, como funciones logarítmicas, funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, etc. Descartes ya había notado la dependencia de una variable de otra variable en "Geometría analítica" alrededor de 1673, pero no se dio cuenta de la necesidad de refinar el concepto general de funciones en ese momento, por lo que Newton y Leibniz no esperaron hasta finales del siglo XVII. El cálculo acaba de establecerse.

? En 1673, Leibniz usó por primera vez la palabra "función" para significar "potencia", y luego usó esta palabra para referirse a las cantidades geométricas de cada punto de la curva, como la abscisa, la ordenada, la longitud de la tangente, etc. Se puede observar que el significado matemático original de la palabra "función" es bastante amplio y vago. Casi al mismo tiempo, Newton utilizó otro término "flujo" para referirse a la relación entre variables en sus discusiones sobre cálculo. El matemático suizo Johann Bernoulli definió claramente el concepto de función basándose en el concepto de función de Leibniz. Bernoulli llamó a la cantidad formada por la variable X y la constante de cualquier forma una "función de X", expresada como yx.

? En ese momento, dado que las operaciones que conectaban variables y constantes eran principalmente operaciones aritméticas, operaciones trigonométricas, operaciones exponenciales y operaciones logarítmicas, Euler simplemente nombró la fórmula que usaba estas operaciones para conectar las variables x y la constante c como funciones analíticas, y la dividió en " Funciones algebraicas” y “funciones trascendentales”.

? A mediados del siglo XVIII, debido a sus investigaciones sobre la vibración de las cuerdas, D'Alembert y Euler introdujeron el concepto de "función arbitraria". Cuando d'Alembert explicó el concepto de "función arbitraria", dijo que significaba "expresión analítica arbitraria", mientras que Euler creía que era "curva trazada arbitrariamente". Ahora parece que se trata de expresiones de funciones y una extensión del concepto de funciones.

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? El concepto de función carece de una definición científica, lo que genera marcadas contradicciones entre la teoría y la práctica. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan ampliamente en tecnología de ingeniería, pero la falta de una definición científica de funciones limita en gran medida el establecimiento de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. De 1833 a 1834, Gauss comenzó a centrar su atención en la física. En el proceso de inventar el telégrafo con W. Wilbur, realizó muchos experimentos magnéticos. La introducción de la importante teoría de que "la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia" hizo que las funciones aparecieran como una rama independiente de las matemáticas. Las necesidades prácticas impulsaron a la gente a estudiar más a fondo la definición de funciones.

? Más tarde, la gente dio la siguiente definición: si una cantidad depende de otra cantidad, y cuando esta última cambia, la primera cantidad también cambia, entonces la primera cantidad se llama función de la segunda cantidad. "Aunque esta definición aún no revela la naturaleza de una función, inyectar cambio y movimiento en la definición de una función es un progreso bienvenido."

? En la historia del desarrollo del concepto de funciones, la mayor influencia fue la obra del matemático francés Fourier. Fourier reveló profundamente la naturaleza de las funciones y creía que las funciones no necesitan limitarse a expresiones analíticas. En 1822, dijo en su famoso libro "La teoría analítica del calor", "En general, una función representa un conjunto conexo de valores u ordenadas, cada uno de los cuales es arbitrario..., y no asumimos que estos ordenadas obedecen a leyes comunes de Más precisamente, cualquier función periódica con 2π se puede representar mediante [-π, π].

? Demuestra que, entre ellos,

? La investigación de Fourier sacudió fundamentalmente el viejo pensamiento tradicional sobre el concepto de funciones y causó una gran conmoción en la comunidad matemática de ese momento.

Originalmente, no había una brecha insuperable entre las expresiones analíticas y las curvas. La idea de que las funciones son expresiones analíticas eventualmente se convirtió en un gran obstáculo para revelar la relación entre funciones.

? A través de un debate surgió la definición de función de Lobachevsky y Dirichlet.

? En 1834, el matemático ruso Lobachevsky propuso la definición de función: "La función de x es un número que tiene un valor definido para cada x y cambia con x. El valor de la función puede determinarse mediante una expresión analítica o una condición dada. , que proporciona una manera de encontrar todos los valores correspondientes. Esta dependencia de funciones puede existir, pero aún no se conoce. "Esta definición establece la correspondencia entre variables y funciones.

? En 1837, el matemático alemán Dirichlet creía que no era importante cómo se estableciera la relación entre X e Y, por lo que su definición fue: "Si para cada valor de X, siempre hay un valor completamente seguro de Y que le corresponde, entonces Y es una función de X."

? Según esta definición, se sigue diciendo que es una función (función de Dirichlet) incluso si se expresa de la siguiente manera:

f(x)= 1? (x es un número racional),

0?x es un número irracional.

? En esta función, si el valor de x comienza en 0 y aumenta gradualmente, entonces f(x) cambiará repentinamente de 0 a 1. En cualquier intervalo pequeño, f(x) cambiará repentinamente infinitamente de 0 a 1. Por lo tanto, es difícil expresarlo con una o varias fórmulas, e incluso si se puede encontrar la expresión es un problema. Pero en Dirichlet se menciona si se puede expresar con expresiones.

? La definición de función de Dirichlet evitó brillantemente todas las descripciones de dependencias encontradas en definiciones de funciones anteriores y fue aceptada incondicionalmente por todos los matemáticos de una manera completamente inequívoca. En este punto se puede decir que se ha formado el concepto de función y la definición esencial de función, que es lo que la gente suele llamar la definición clásica de función.

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? El mayor desarrollo de la práctica productiva y de los experimentos científicos ha dado lugar a nuevas contradicciones agudas en el concepto de función. En la década de 1920, la gente empezó a estudiar los fenómenos microfísicos. Cuando apareció la mecánica cuántica en 1930, se necesitaba una nueva función en la mecánica cuántica: la función delta.

Eso es. ρ(x)= 0, x≠0,

∞, x=0.

y

? La aparición de la función delta provocó un intenso debate. Según la definición original de la función, sólo se permite la correspondencia entre números y "∞" no se considera un número. Además, resulta increíble que solo exista una función con punto distinto de cero para la variable independiente, pero su valor entero no sea igual a cero. Sin embargo, la función delta es de hecho una abstracción del modelo real. Por ejemplo, es natural que coches y trenes crucen un puente.

? P(0)=presión/superficie de contacto=1/0 = ∞.

? En el punto estacionario x≠0, no hay presión porque no hay presión, ¿es decir? P(x)=0. Además, sabemos que la integral de la función presión es igual a la presión, ¿cuál es

? En tales condiciones históricas, el concepto de función se desarrolló activamente, lo que dio lugar a una nueva definición moderna de función: si cualquier elemento X del conjunto M siempre tiene un elemento Y determinado por el conjunto N correspondiente, entonces se dice que una función está definida. en el conjunto M anterior, registrado como y=f(x). El elemento X se llama variable independiente y el elemento Y se llama variable dependiente.

? Aunque sólo hay una diferencia de forma entre la definición moderna de función y la definición clásica, éste es un desarrollo conceptual importante y un punto de inflexión importante en el desarrollo de las matemáticas. Este punto de inflexión puede estar marcado por el análisis funcional moderno, que estudia las relaciones funcionales en conjuntos generales.

? Después de más de 200 años de refinamiento y transformación, la definición de función ha formado una definición moderna de función, que debería decirse que es bastante completa. Sin embargo, el desarrollo de las matemáticas es interminable y la formación de la definición moderna de función no significa el fin histórico del desarrollo del concepto de función. Durante las últimas dos décadas, los matemáticos han atribuido funciones a un concepto más amplio llamado "relaciones".

? Supongamos x e Y, definimos el conjunto de productos X×Y de x e Y como

? X×Y={(x, y)|x∈X, y∈Y}.

? El conjunto de productos X × Y, un subconjunto de R, se denomina relación entre

Si (X, y)R, significa que X e y no tienen relación.

? Suponemos que F es la relación entre X e Y, es decir, f, se ha evitado formalmente el término "correspondencia" y se ha utilizado todo el lenguaje de la teoría de conjuntos.

? De todo el proceso de desarrollo del concepto de función antes mencionado, nos damos cuenta de lo importante que es estudiar, explorar y ampliar las connotaciones de los conceptos matemáticos en conexión con la realidad y una gran cantidad de materiales matemáticos.