Ensayo premiado sobre edg
Documento uno: Documento sobre la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria: Penetración de los pensamientos de clasificación en la enseñanza de la escuela secundaria
Implementar una educación de calidad, cultivar talentos calificados de cara al nuevo siglo y Permitir a los estudiantes tener conciencia innovadora, aprender a aprender en la creación. La educación debería prestar más atención a los métodos y estrategias de aprendizaje de los estudiantes. El matemático Jorge. Paulia dijo: "La forma perfecta de pensar es como la estrella polar, a través de la cual muchas personas encuentran el camino correcto con la profundización de la reforma curricular, en el proceso de transformación de una "educación orientada a exámenes" a una "educación de calidad". la inspección de los estudiantes no solo evalúa los conocimientos y habilidades básicos, sino que también se centra en el desarrollo de la capacidad de examen. Por ejemplo, las ideas y métodos matemáticos reflejados en el proceso de aprendizaje y exploración de conceptos, leyes, propiedades, fórmulas, axiomas y teoremas de conocimientos básicos que requieren que los estudiantes observen, comparen, analicen, sinteticen, abstraigan y generalicen; Explicaré mis ideas y punto de vista. Con el fin de mejorar la alfabetización matemática de los estudiantes y llevar a cabo una educación matemática ideológica.
El aprendizaje matemático es inseparable del pensamiento, y la exploración matemática debe lograrse a través del pensamiento. La infiltración gradual de métodos de pensamiento matemático en la enseñanza de matemáticas de la escuela secundaria, el cultivo de habilidades de pensamiento y la formación de buenos hábitos de pensamiento matemático no solo se ajustan a los nuevos estándares curriculares, sino que también son un punto de partida para una educación de calidad en matemáticas.
La idea de clasificación matemática es la idea matemática de dividir objetos matemáticos en varias categorías diferentes en función de las similitudes y diferencias en los atributos esenciales de los objetos matemáticos. No es sólo una idea matemática importante, sino también un método lógico matemático importante.
El llamado método de discusión de clasificación matemática es un método matemático que divide objetos matemáticos en varias categorías y los analiza por separado para resolver problemas. Clasificar y discutir problemas matemáticos relacionados con ideas, que sean lógicos, integrales y exploratorios, y puedan entrenar el orden y la generalidad del pensamiento de las personas.
La idea de discusión sobre clasificación recorre todo el contenido de las matemáticas de la escuela secundaria. Los problemas matemáticos que deben resolverse clasificando las ideas de discusión se pueden resumir de la siguiente manera: ① Clasificar y definir los conceptos matemáticos involucrados ② Clasificar los teoremas, fórmulas, propiedades operativas y reglas matemáticas utilizadas; ③ Las conclusiones de los problemas matemáticos resueltos; muchas situaciones o Posibilidad; ④ Hay variables de parámetros en problemas matemáticos, y los valores de estas variables de parámetros conducirán a resultados diferentes. La aplicación de discusiones categóricas a menudo puede simplificar problemas complejos. El proceso de clasificación puede cultivar la minuciosidad y el orden del pensamiento de los estudiantes, y las discusiones sobre clasificación pueden promover la capacidad de los estudiantes para investigar problemas y explorar leyes.
A diferencia del conocimiento matemático general, la idea de clasificación se puede dominar a través de varias clases de enseñanza. De acuerdo con las características de edad de los estudiantes, los niveles de comprensión y las características de conocimiento de los estudiantes en cada etapa del aprendizaje penetran gradualmente y ascienden en espiral, enriqueciendo constantemente sus propias connotaciones.
En la enseñanza, los estudiantes pueden formar una aplicación activa de ideas de clasificación a través de analogía, observación, análisis, síntesis, abstracción y generalización en el proceso de aprendizaje de matemáticas a partir de los siguientes aspectos.
Primero, penetrar en la idea de clasificación y cultivar la conciencia de clasificación.
Cada estudiante tiene ciertos conocimientos de clasificación en la vida diaria, como la clasificación de personas y artículos de papelería. Utilizamos esta base de conocimientos de los estudiantes para transferir clasificaciones de la vida a las matemáticas, infiltrar las ideas de clasificación matemática en la enseñanza, aprovechar las oportunidades que brindan los libros de texto y aprovechar las oportunidades de penetración. La clasificación de los números, el significado de los valores absolutos y las propiedades de las desigualdades son buenas oportunidades para penetrar en el pensamiento de la clasificación.
Enteros,
Marcas
Números racionales positivos
Cero
Números racionales negativos
Después de enseñar los conceptos de números negativos y números racionales, guíe a los estudiantes a clasificar los números racionales en el tiempo, para que comprendan que los números racionales tienen diferentes métodos de clasificación para diferentes estándares, tales como:
Números racionales
son los siguientes. Sienta las bases para la discusión de clasificación a continuación.
Después de saber que el número A puede representar cualquier número, permita que los estudiantes clasifiquen el número A y obtengan tres categorías: números positivos, números cero y números negativos.
Al explicar el significado de los valores absolutos, guíe a los estudiantes a las siguientes clasificaciones:
Al comprender los valores absolutos de los números positivos, cero y negativos, podrá comprender cómo aprender y comprender a través de discusiones de clasificación conceptos matemáticos.
Otro ejemplo es la comparación de dos números racionales, que se dividen en números positivos y números positivos, números positivos y cero, números positivos y números negativos, números negativos y cero, números negativos y números negativos. La comparación de números negativos y números negativos es un nuevo punto de conocimiento que resalta el enfoque del aprendizaje.
Combinado con la enseñanza del capítulo "Números racionales", la idea de clasificación matemática se fortalece repetidamente, de modo que los estudiantes puedan formar gradualmente una conciencia de clasificación en el aprendizaje de matemáticas.
Y cuando se habla de clasificación, se puede prestar atención a algunos principios básicos. Por ejemplo, los objetos de la clasificación deben ser ciertos y los estándares deben estar unificados. De lo contrario, si los objetos se mezclan y los estándares son diferentes, se producirán errores como omisiones y duplicaciones. ocurrirá. Si dividimos los números racionales en números positivos, números negativos y enteros, sería un error hacer criterios de clasificación diferentes. Después de determinar los objetos y estándares, también debes prestar atención a distinguir los niveles y no discutir más allá de los niveles.
En segundo lugar, aprender a clasificar y potenciar el rigor del pensamiento.
Al impregnar la idea de clasificación en la enseñanza, los estudiantes deben comprender que clasificar significa elegir estándares apropiados, dividir los objetos en varias categorías, sin duplicaciones ni omisiones, y luego responder preguntas en cada subcategoría. Dominar métodos de clasificación razonables se convierte en la clave para resolver problemas.
El método de clasificación suele ser el siguiente:
1. Según el concepto de clasificación matemática.
Algunos conceptos matemáticos se dan en categorías. La resolución de dichos problemas generalmente se clasifica según la forma de clasificación de los conceptos.
Ejemplo 1, solución simplificada:
Se clasifica según el significado de valor absoluto.
Ejemplo 2, comparación y errores fáciles, que nos llevan a no darnos cuenta de que los números pueden representar diferentes tipos de números. Al clasificar y discutir logaritmos, puedes obtener la respuesta correcta:
> 0, = 0,
Al aprender el discriminante de las raíces de una ecuación cuadrática, para la ecuación de deformación
Para resolver problemas utilizando raíces cuadradas bilaterales es necesario clasificar y estudiar las situaciones correspondientes a la solución de la ecuación que son mayores que 0, iguales a 0 y menores que 0. El signo de esta pregunta determina si se puede elevar al cuadrado, que es la base de la clasificación. Así se obtienen tres casos de raíces de ecuaciones cuadráticas de una variable.
Ejemplo 3. Resuelve la desigualdad con respecto a X: ax+3 > 2x+a.
El análisis se convierte a (a-2) x >: forma A-3, y luego según las propiedades de la desigualdad, se puede dividir en a-2 > 0, a-2 = 0, a-2 < 0 para resolver las desigualdades respectivamente.
Cuando a-2 > 0, es decir, A > 2, la solución de la desigualdad es X >
Cuando a-2 = 0, es decir, A = 2 , el lado izquierdo de la desigualdad = 0, el lado derecho de la desigualdad = -1.
Como 01-1, las soluciones a la desigualdad son todas números reales.
Cuando a-2 < 0, es decir, a < 2, la solución de la desigualdad es x
3 según las características de la gráfica o la relación entre ellas.
Por ejemplo, los triángulos se clasifican según sus ángulos, incluyendo triángulos agudos, triángulos rectángulos y triángulos obtusos. Según el número de veces que una línea recta corta un círculo, una línea recta y un círculo se pueden dividir en: una línea recta se separa de un círculo, una línea recta tangente a un círculo y una línea recta corta un círculo.
Por ejemplo, el ángulo entre la altura de una cintura y la altura de la otra cintura de un triángulo isósceles es 30°, y la longitud de la base es a, por lo que la altura de su cintura es
Análisis: Según las características de la figura, los triángulos isósceles se dividen en triángulos de ángulos agudos y triángulos de ángulos obtusos en función del CD alto. Como se muestra en la figura, la altura de la cintura se puede clasificar desde diferentes posiciones de. puntos y rectas en figuras geométricas
Al demostrar el teorema del ángulo circular. Debido a que la posición del centro del círculo está en el borde del ángulo, dentro del ángulo y fuera del ángulo, lo discutiremos y lo demostraremos en tres situaciones diferentes. Primero prueba que el centro del círculo está en un lado del filete, que es el caso más fácil de resolver. Luego cambiando el diámetro del vértice del filete y usando la evidencia previa (el centro del círculo está en un lado del filete), podemos resolver las dos situaciones del centro del círculo dentro del filete y el centro del círculo que queda fuera del filete. Esta es una idea y un método de discusión de clasificación que se reflejan en el proceso de demostración de teoremas. Es un método para resolver problemas uno por uno según las diferentes posiciones de puntos y rectas en figuras geométricas. El teorema del ángulo tangente a la cuerda se demuestra en el libro de texto: el ángulo tangente a la cuerda es igual al ángulo circunferencial del arco que contiene. También se puede resolver en tres situaciones diferentes: el centro del círculo está a un lado del ángulo tangente a la cuerda, dentro del ángulo tangente a la cuerda y fuera del ángulo tangente a la cuerda.
En tercer lugar, orientar las discusiones clasificadas y mejorar la capacidad de resolver problemas de manera razonable.
Hay muchos teoremas, reglas, fórmulas y ejercicios en los libros de texto de la escuela secundaria que deben clasificarse y discutirse. Al enseñar estos contenidos, los estudiantes deben fortalecer continuamente su conocimiento de las discusiones clasificadas para concienciarlos sobre estos temas. Sólo mediante una discusión clasificada se puede llegar a una conclusión completa y correcta. Si no discute las cosas en categorías, es fácil cometer errores. En la enseñanza de resolución de problemas, las discusiones clasificadas también pueden ayudar a los estudiantes a resumir y resumir cosas regulares, mejorando así el orden y la meticulosidad del pensamiento de los estudiantes.
En términos generales, existen dos tipos de problemas que se resuelven mediante ideas y métodos de discusión de clasificación: uno es discutir y resolver expresiones, funciones o ecuaciones algebraicas dentro de diferentes rangos de valores en función de los diferentes valores de las letras. problemas en. El segundo es discutir y resolver problemas uno por uno según las diferentes posiciones de puntos y rectas en figuras geométricas.
Ejemplo 4: Función conocida Y = (m-1)x2+(m-2)x-1 (m es un número real). Si la gráfica de la función interseca el eje x en un solo punto, encuentre el valor de m.
Análisis: Desde la perspectiva de la clasificación de funciones, este artículo estudia y resuelve dos casos: M-1 = 0 y M-110.
Solución: Cuando m = L, la función es una función lineal Y =-x -1, con un solo punto de intersección (-1, 0) con el eje X.
Cuando m11, la función es la función cuadrática y = (m-1) x2+(m-2) x-1.
Cuando △ = (m-2) 2+4 (m-1) = 0, m=0.
El vértice (-1, 0) de la parábola y =-x2-2x-1 está en el eje X.
El ejemplo 5, función y = X6–X5+X4-X3+X2–X+1, demuestra que el valor de y siempre es positivo.
Análisis: Es difícil probar la conclusión factorizando la expresión de y. Se puede encontrar que si la variable X se clasifica adecuadamente dentro del rango de números reales, el problema se resolverá fácilmente.
Prueba: (1) Cuando x ≤ 0
∵ x5-x3-x ≥0, ∴ y≥1 se cumple;
Cuando 0, es 2
y = X6+(x4–X5)+(x2–x3)+(x–1)
∵x4> se ha establecido 0;
(3) Cuando x = 1, se establece y = 1 > 0
(4) Cuándo Cuando x > 1
y = (X6–X5)+(x4–x3)+(x2–x)+1
∵X6 & gt; x5, x4 & gtx3, x2 & gtx
∴ y > 1 se mantiene.
Resumiendo, se establece y > 0.
Ejemplo 6: Se sabe que △ABC es un triángulo equilátero con longitud de lado 2, y △ACD es un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°. △ABC y △△ACD se combinan para formar un cuadrilátero convexo ABCD. (1) Dibuja el cuadrilátero ABCD (2) Encuentra el área del cuadrilátero ABCD.
Al analizar el triángulo rectángulo ACD con un ángulo de 30°, podemos estudiar dos situaciones: AC es la hipotenusa y AC es un ángulo recto. Como se muestra en la Figura 1, es un cuadrilátero ABCD compuesto por AC como hipotenusa y el triángulo equilátero ABC (las áreas del cuadrilátero ABCD calculadas por DDAC = 30 y DDAC = 60 son iguales, por lo que se clasifican en la misma categoría) . AC es un lado rectangular y se puede dividir en dos situaciones diferentes, como se muestra en las Figuras 2 y 3. De la Figura 1, S cuadrilátero ABCD =; de la Figura 2, S cuadrilátero ABCD = se puede calcular como s cuadrilátero ABCD=3.
Como se puede ver en los ejemplos anteriores, las discusiones clasificadas a menudo pueden hacer que algunos problemas complejos sean extremadamente simples. Las ideas y los pasos para resolver los problemas son muy claros. Por otro lado, durante la discusión se puede estimular el interés de los estudiantes por aprender matemáticas.
Utilice los materiales didácticos existentes para hacer todo lo posible para ayudar a los estudiantes a dominar los métodos de pensamiento de clasificación y preste atención a combinar el aprendizaje de otros métodos de pensamiento matemático, utilizando de manera integral varios métodos de pensamiento, proporcionando a los estudiantes suficientes materiales y tiempo. e inspirándolos a pensar activamente. Creo que mejorará enormemente el nivel de comprensión de los estudiantes y obtendrá el doble de resultado con la mitad de esfuerzo.
Prueba 2: Prueba de enseñanza de matemáticas en la escuela secundaria: Enseñar a los estudiantes a resolver problemas difíciles en los exámenes de matemáticas de la escuela secundaria.
Resumen: permita a los estudiantes consolidar conocimientos básicos, adquirir ciertas habilidades de resolución de problemas, cultivar la capacidad de los estudiantes para analizar, sintetizar y asociar, cultivar el pensamiento intuitivo de los estudiantes y permitirles dominar rápidamente los conocimientos básicos. involucrado en problemas matemáticos, es la clave para permitir a los estudiantes resolver problemas de exámenes de matemáticas de la escuela secundaria.
Palabras clave: habilidades para resolver problemas, asociación y captación de la esencia del problema
El examen anual de matemáticas de la escuela secundaria generalmente se divide en preguntas fáciles (preguntas básicas), preguntas intermedias y Preguntas difíciles.
En los exámenes recientes de matemáticas de la escuela secundaria, las preguntas difíciles generalmente representan más de una cuarta parte de la puntuación total del examen. Es difícil para los estudiantes lograr buenos resultados en los exámenes sin superar las preguntas difíciles.
El examen de matemáticas de la escuela secundaria incluye principalmente las siguientes preguntas: 1. Requiere cierta profundidad de pensamiento o fuertes habilidades. 2. La idea de la pregunta es novedosa o la idea de resolver el problema es novedosa. 3. Explorar o abrir preguntas matemáticas.
Los diferentes tipos de preguntas deben tener diferentes estrategias de enseñanza. Independientemente del tipo de problema que resuelvan, los estudiantes deben tener ciertos conocimientos básicos de matemáticas y habilidades básicas para la resolución de problemas (una buena comprensión de los conceptos, teoremas y fórmulas matemáticos, y una comprensión de las demostraciones de teoremas y fórmulas; aplicación directa de fórmulas de teoremas para resolver problemas Las preguntas básicas son muy competentes y rápidas, por lo que es necesario cultivar estudiantes de "base doble". La primera etapa de revisión para los graduados de la escuela secundaria es, por supuesto, la formación de "base doble". si los estudiantes tienen una comprensión más profunda del conocimiento matemático y fortalecen sus habilidades básicas, el efecto de revisión mejorará.
Algunos profesores piensan que solo las preguntas leves deben ser revisadas por toda la clase. y las preguntas difíciles no necesitan ser revisadas. Aquellos estudiantes con buena inteligencia pueden hacerlo sin ayudarlos a repasar, es una pérdida de tiempo si les enseñas a estudiantes con ciertos conocimientos matemáticos y habilidades básicas para la resolución de problemas. Es posible que no puedan resolver problemas difíciles, esto se debe a que parten de los conocimientos básicos de matemáticas para obtener respuestas a los problemas del examen de ingreso a la escuela secundaria, o tienen una gran profundidad de pensamiento: la profundidad de pensamiento de los estudiantes es insuficiente o tienen ideas nuevas. Los estudiantes nunca han estado expuestos a él. Sin embargo, los años de práctica de muchos maestros experimentados en el tercer grado de la escuela secundaria han demostrado que es necesario revisar solo las preguntas difíciles. Esto mejorará en gran medida la capacidad de los estudiantes de las escuelas secundarias técnicas. En este sentido, es necesario entrenar la capacidad de pensamiento de los estudiantes y ampliar su pensamiento en la segunda etapa de revisión. Por supuesto, este tipo de capacitación también debe centrarse en las preguntas de "doble base" y matemáticas de los estudiantes. La formación debe prestar atención a la selección de preguntas, no solo para el examen, sino también para las deficiencias de pensamiento de los estudiantes. Es necesario darles a los estudiantes suficiente tiempo para reflexionar y resumir sus propios métodos e ideas de resolución de problemas. reflexionando más y resumiendo más se pueden mejorar las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes. Los profesores deben prestar atención a la orientación y no pueden reemplazar las ideas de los estudiantes con las suyas propias, porque el método de resolución de problemas de todos puede no ser el mismo. >Anteriormente, cuando algunos profesores de la promoción de graduación de la escuela secundaria estaban revisando en HKCEE, buscaban preguntas de simulación de todo el país y distritos para capacitar a sus estudiantes uno tras otro. Después de las conferencias y prácticas, los profesores y estudiantes trabajaron duro. , pero los resultados no fueron ideales, esto se debe a que este método de revisión táctica de hacer preguntas no enseña a los estudiantes de acuerdo con sus aptitudes. La enseñanza del maestro no es específica de los conocimientos, habilidades, capacidad de pensamiento y problemas matemáticos de los estudiantes. los estudiantes no reflejan la subjetividad del aprendizaje y no hay suficiente tiempo para resumir y reflexionar. Por lo tanto, las habilidades de resolución de problemas y de pensamiento de los estudiantes no han mejorado realmente. Las preguntas del examen son difíciles, nuevas y esquivas. Las preguntas del examen simuladas de varias regiones de ese año son difíciles de mejorar sustancialmente la capacidad de los estudiantes para resolver problemas difíciles. Los estudiantes de secundaria están diseñados para evaluar a nuestros graduados de secundaria para dominar los conocimientos básicos de matemáticas de la escuela secundaria, las preguntas de la prueba son, por supuesto, inseparables de los conocimientos básicos de la escuela secundaria. capas de velo en la jaula, lo que nos dificulta ver su verdadero rostro. La tarea de nuestro maestro es enseñar a nuestros estudiantes a descubrirlos y captar sus verdaderos colores. Nuestros estudiantes han dominado todos los conocimientos básicos de la secundaria. matemáticas escolares y tienen ciertas habilidades para resolver problemas. Siempre que guiemos y capacitemos a los estudiantes correctamente, nuestros estudiantes definitivamente ganarán en la sala de exámenes.
El punto clave es que nuestra capacitación de revisión para estudiantes puede ayudarlos a dominar el conocimiento y fortalecer las habilidades de resolución de problemas. Al mismo tiempo, la orientación adecuada de nuestros profesores, las reflexiones y resúmenes de los estudiantes después de la formación y la construcción independiente de conocimientos pueden ayudarnos a captar la esencia de diversos problemas matemáticos: la conexión con los conocimientos básicos de las matemáticas de la escuela secundaria.
Al clasificar problemas de repaso, debemos centrarnos en cultivar la capacidad de los estudiantes para captar la conexión entre los problemas matemáticos y el conocimiento básico, guiarlos para que analicen rápida y correctamente las ideas de resolución de problemas y cultivar el pensamiento intuitivo de los estudiantes en resolviendo problemas. Los problemas deben clasificarse primero. Luego realice un entrenamiento de clasificación. Durante la clase, los estudiantes no necesitan escribir el proceso de resolución de problemas en detalle para cada pregunta. Una o dos preguntas por categoría son suficientes. Algunos estudiantes solo requieren que escriban rápidamente sus ideas para resolver el problema y luego las escriban. el proceso detallado de resolución de problemas después de regresar.
Creo que las preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria se pueden dividir en las siguientes categorías para una revisión especial:
La primera categoría: preguntas estrechamente relacionadas con uno o dos puntos de conocimiento:
p>
Por ejemplo 1, en ⊙O, C es el punto medio del arco AB, D es cualquier punto del arco AC (no coincide con D C los puntos A y C), entonces () A.
(A)AC+CB = AD+DB(B)AC+CB <AD+DB
(C)AC+CB>AD+DB (D )La relación entre AC+CB y AD+DB es incierto.
Orientación docente: ¿Cuál es el conocimiento relevante sobre la comparación del tamaño de segmentos de línea? (La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado o el lado mayor es opuesto al ángulo mayor, etc.)
Cómo combinar AC+CB y AD+DB en un triángulo para comparar sus tamaños?
Solución adicional: Con C como centro del círculo y CB como radio, como línea de extensión de la intersección del arco BD, conecta AE, CE y AB del punto e.
∫ce = CB ∴∠ceb=∠cbe y ∠DAC=∠CBE.
∴∠CEB=∠CAD y CA=CE ∠CEA=∠CAE.
∴∠CEA-∠CEB=∠CAE-∠CAD
∴∠DEA=∠DAE
∴DE=DA
En △CEB, CE+CB > BE es AC+CB > AD+DB. Entonces elija (c).
Comentarios: La clave para enseñar este ejemplo es guiar a los estudiantes a construir AC, CB, AD y DB en un triángulo.
Ejemplo 2: Se sabe que ⊙O1 y ⊙O2 se cruzan en los puntos A y b. Si PM corta ⊙O1 a m y PN corta ⊙O2 a n, PM >: Intente indicar el rango de. punto p.
Orientación didáctica: (1) Primero haga un dibujo, intente juzgar y trate de demostrar. (2) Mire varias situaciones posibles.
(3) Muestre la imagen de la derecha y pida a los estudiantes que señalen el rango del punto P (el punto P está dentro de ⊙O2 de la línea recta AB)
En un lado, fuera de ≧O2), los estudiantes señalan el alcance del punto P y requieren que los estudiantes
certifiquen. (4) Cuando los estudiantes tengan dificultades para demostrar, se les debe dar orientación: si el punto P está en la línea recta AB, ¿qué se puede demostrar? (PM=PN), ¿cómo demostrarlo?
(Usa el teorema de la secante: PM2=PA*PB, PN2=PA*PB, por lo tanto, PM=PN) ¿Ahora podemos aplicar el teorema de la secante para demostrar PM & gtPN?
(5) Cuando los estudiantes no puedan demostrarlo, dé una pista:
Conecte PB, cruce ⊙O1 en el punto C y cruce ⊙O2 en el punto d, usando el teorema de la línea de corte. .
(Prueba: PM2=PC*PB, PN2=PD*PB, porque PC>PD, entonces PC*PB>PD*PB, es decir, PM2>PN2, entonces PM>PN)
(6) ¿Existen otras situaciones? (Guíe a los estudiantes para que encuentren las siguientes dos situaciones: Figura 2 y Figura 3, y solicite que señalen el rango del punto P y lo demuestren)
Comentarios: La clave de esta pregunta es guiar a los estudiantes a usar el teorema de la secante para probar y clasificar discutir.
La clave para enseñar este tipo de problemas difíciles es guiar a los estudiantes para que se ciñan a los puntos de conocimiento relacionados con el tema hasta que se resuelva el problema.
La segunda categoría: problemas que combinan múltiples puntos de conocimiento o requieren ciertas habilidades de resolución de problemas para resolverlos.
La clave para enseñar problemas tan difíciles es exigir a los estudiantes que utilicen métodos analíticos e integrales, algunas ideas y métodos matemáticos y ciertas habilidades de resolución de problemas para resolverlos.
Ejemplo 1 En el triángulo ABC, el punto I es el centro, las rectas BI y CI pasan por AC, AB está en D, e. Se sabe que ID=IE.
Verificación: ∠ABC=∠BCA, o ∠A = 60.
Orientación docente: Esta cuestión debe analizarse desde dos direcciones: condiciones y conclusiones mediante un método analítico e integral. Del análisis condicional, de ID=IE e I es el corazón, se puede concluir que △AID y △AIE son dos diagonales correspondientes. Hay dos posibilidades: AD=AE o AD≠AE.
De aquí se puede derivar la relación entre ∠ADI y ∠AEI. Del análisis de conclusiones, necesitamos encontrar la relación entre ∠ABC y ∠ACB∠ADI = 1/2∠ABC+∠ACB∠AEI = 1/2∠AC.
Adjunto el proceso de prueba: vinculando AI, en △AID y △AIE, hay dos situaciones posibles para los tamaños de AD y AE: AD=AE, o AD≠AE.
(1) Si AD=AE, entonces △AID≔△AIE, donde ∠ADI=∠AEI.
Y ∠Adi=1/2∠ABC+∠ACB, ∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.
Entonces 1/2∠ABC+∠ACB = 1/2∠ACB+∠ABC.
Es decir, ∠ABC=∠ACB.
(2) Si AD≠AE, entonces AD>;AE, intercepta AE' = AE en AE, conecta IE'. Entonces △AIE≑△AIE.
Por lo tanto ∠AE'I = ∠AEI. IE' = IE = ID.
Por lo tanto, △IDE’ es un triángulo isósceles,
Existe ∠ e' di = ∠ de' i.
Dado que ∠ AE' i+∠ de' i = 180,
Por lo tanto ∠ AEI+∠ AIE = 180.
Por lo tanto, (1/2∠ACB+∠ABC)+(1/2∠ABC+∠ACB)= 180.
Entonces ∠ ABC+∠ ACB = 120,
Entonces ∠ a = 180-120 = 60.
Si es publicidad
Ejemplo 2: como se muestra en la figura, AB es el diámetro ⊙O, AE biseca ∠BAF y cruza ⊙O en el punto E, y una línea recta cruza a AF perpendicularmente en el punto E se cruza con la línea extendida AF en el punto D, y se cruza con la línea extendida AB en el punto c.
(1) Verificación: CD y ⊙O son tangentes al punto e.
(2) Si CE*DE=15/4 y AD=3, encuentre la recta tangente entre el diámetro ⊙O y ∠AED.
Orientación didáctica: (1) Certificado OE⊥CD.
(2) Si se requiere el diámetro ⊙O, primero puede encontrar el radio OE.
Porque OE∑AD, OE/AD=CO/CA, AD=3, CO y CA están relacionados con BC, OB, AB (radio y diámetro ⊙ O).
Entonces, si obtienes BC, puedes obtener OE. ¿Cómo llegar a BC? ¿Se puede utilizar la condición CE*DE=15/4?
Permita que los estudiantes discutan.
Se adjunta el proceso de solución: (1) omitido. (2) Si el punto D es DG∑AC y AE.
Si la línea de extensión está en el punto g y conecta BE y OE, entonces ∠BAG=∠G y ∠C=∠EDG. ∵CD y ⊙O son tangentes al punto E,
∴∠BEC=∠BAG.
∴∠BEC=∠G ∴△BEC∽△EGD.∴DE/CB. =DG/CE.
∴CB*DG=DE*CE.
∠包=∠达=∠G. 15/4. ∴CB=5/4.
Supongamos que OE∑ad de (1), ∴CO/CA=OE/AD es OE = x (x >; 0), entonces CO=5/4+x =(5+4x)/4,
CA=5/4+2x=(5+8x)/4, ∴(5+4x)/(5+8x)=x/3. Es 8x2-7x-15=0. La solución es x1=-1. CE2=CB*CA=25/4, ∴de=15/4*1/ce=3/2
En Rt△ADE, tan∠AED=AD/ DE. =2.
El tercer tipo de problemas matemáticos abiertos y exploratorios.
Ya sea que se trate de un problema matemático exploratorio o abierto, el enfoque de la enseñanza es enseñar a los estudiantes la clave para comprender el problema.
Ejemplo 1 Escribe la expresión analítica de una función cuadrática, en la que una imagen solo pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante.
Nota didáctica: la imagen de una función cuadrática solo pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante, pero no por el primer cuadrante, es decir, x & gt0, y < 0; ? Éste es el núcleo del problema.
(Respuesta: Cuando a, byc en la función cuadrática y=ax2+bx+c son todos negativos, debe haber x > 0, y
Ejemplo 2 conocido : Como se muestra en la figura, AB y AC son dos cuerdas de ⊙ O., AB=AC=1,
∠ BAC = 120, p es cualquier punto del arco óptimo BC,
(1) Verificación: PA biseca ∠BPC,
(2) Si la longitud de PA es m, encuentre el perímetro del cuadrilátero PBAC,
(3) Si el punto P se mueve en el arco óptimo BC, ¿existe una posición P tal que S△PAC=2S△PAB? Si es así, demuéstrelo; si no, explique el motivo. ) Debido a que AB=AC=1, PA=m, puedes usar (1) para demostrar que ∠ APB = ∠ APC = 30, entonces ∠ AOB = 60, entonces OA = OB = AB = 6544, entonces PB y PC han cambiado , pero solo hay dos cambios, PB+PC debe permanecer sin cambios. Si se encuentra PB+PC, se puede encontrar el perímetro del cuadrilátero PBAC. La clave de este problema es combinar PB y PC. ) La clave es cómo determinar el punto p, que se puede derivar de la relación de área entre el triángulo PAC y el triángulo PAB
(Puntos clave: (1) omitido. (2) Extienda PC a P'. , de modo que CP' =BP, conecte BC, encuentre BC, pruebe △PAB≔△P ' AC, obtenga AP'=AP, pruebe △ ABC ∽△ APP ', encuentre PP ', es decir, Pb+PC, la proporcional relación de los lados correspondientes (3). Conecte BC y PA en el punto g, BG/CG = BM/CN = S△PAB/S△PAC = 1/2. Por lo tanto, la intersección del punto A y el punto G es la intersección. de rayo y ⊙O, que es P que cumple con los requisitos de la pregunta)
El cuarto tipo de pregunta nuevo (un tipo de pregunta que solo ha aparecido en los exámenes de ingreso a la escuela secundaria en todo el país en los últimos años. )
No importa cuán nuevas sean las preguntas del examen, no se pueden separar los conocimientos básicos en la escuela secundaria, por lo que la clave para resolver este tipo de preguntas es encontrar los conocimientos básicos relacionados con la pregunta de la pregunta. significado de la pregunta y luego utilizar los conocimientos básicos relevantes para encontrar una solución al problema mediante análisis, síntesis, comparación y asociación.
Ejemplo 1: Figura 1. El pentágono es un diagrama esquemático de un. Terreno contratado por el tío Zhang hace diez años. Después de años de recuperación, el terreno baldío se ha convertido en un hexágono ABCMNE como se muestra en la Figura 1. Sin embargo, el camino límite entre el terreno contratado y el terreno baldío recuperado (es decir, la línea de puntos CDE en). La Figura 1) todavía existe. El tío Zhang quiere construir un camino recto en el punto e. Una vez construido el camino recto, el área de terreno en el lado izquierdo del camino recto debe conservarse tanto como cuando se contrató el contrato. El área lateral es igual al terreno baldío recuperado. Utilice el conocimiento geométrico relevante para diseñar el plan de construcción de la carretera de acuerdo con los requisitos del tío Zhang (excluyendo el área del canal de desvío y la carretera recta).
(1) Redactar un plan y dibujar el gráfico correspondiente en la Figura 2;
(2) Explicar los motivos del diseño del plan.
Guía didáctica:
Como se muestra en la Figura 2, intenté convertir E en una línea recta EHF, cruzando CD en H y cruzando CM en f. pregunta, EABCF El área = el área de EABCD, el área de EDCMN = el área = EFMN (cumpliendo con los requisitos del tío Zhang). Es decir, el área del triángulo EHD = el área del triángulo CHF. ¿Cuáles son las condiciones? (Respuesta: conecte EC, el cruce D es DF∨EC, cruce CM en el punto F, EF es el lugar donde el tío Zhang quiere construir la carretera).
Comentarios: esta pregunta es una pregunta de aplicación práctica. y sus conocimientos básicos relacionados. Estas son algunas propiedades de los trapecios, como se muestra en la siguiente figura.
En el trapezoide ABCD, ABCD, el área del triángulo ADC = el área del triángulo BCD, resta a todo el área del triángulo CDO, y el área del triángulo ADO = el área del triángulo BCO. Ser capaz de relacionarse con este conocimiento es clave para resolver este problema.
Ejemplo 2 Los chips de CPU de computadora están hechos de un material llamado "silicio monocristalino". El material de silicio monocristalino sin cortar es una oblea delgada llamada "oblea". Para producir un determinado chip de CPU, se requiere una gran cantidad de pequeñas obleas de silicio cuadradas con una longitud y un ancho de 1 cm. Si el diámetro de la oblea es de 10,05 cm, ¿se pueden cortar de una oblea 66 pequeñas obleas de silicio del tamaño requerido? Describa su enfoque y justificación.
(Excluyendo pérdida de corte)
Orientación didáctica: todos comenzarán a hacer esta pregunta, pero deben cortar en un orden determinado para obtener la respuesta correcta.
Método: (1) Primero, coloque 10 cuadrados pequeños en una fila.
Como rectángulo largo, este rectángulo puede caber en un círculo con un diámetro de 10,05 cm, como se muestra en la figura, rectángulo ABCD.
∫AB = 1, BC=10,
∴Diagonal ac2 = 102+12 = 101 = 101
(2) Rectángulo ABCD Nueve pequeños Los cuadrados se pueden colocar arriba y abajo.
De esta manera, las dos filas de cuadrados pequeños recién agregadas más parte de ABCD pueden considerarse como un rectángulo EFGH, longitud 9, altura 3, diagonal EG2 = 92+32 = 81+9 = 90
(3) De la misma manera, ∫82+52 = 64+25 = 89
Por lo tanto, se pueden disponer ocho pequeños cuadrados encima y debajo del EFGH rectangular, por lo que ahora hay cinco capas Cuadrados pequeños.
(4) Sobre la base original, agregue otra capa hacia arriba y hacia abajo, hasta 7 capas. La altura del nuevo rectángulo puede considerarse como 7, por lo que las dos filas recién agregadas pueden ser 7 pero no. 8. .
∫72+72 = 49+49 = 98 <10.052
82+72 = 64+49 = 113>10.052.
( 5) Activado Sobre la base de 7 capas, agregue otra capa hacia arriba y hacia abajo. La altura del nuevo rectángulo puede verse como 9 y cada fila puede ser 4, pero no 5. ∫42+92 = 16+81 = 97 & lt; 10.052 y 52+92 = 25+81 = 106 & gt; y quedan arriba y abajo un espacio de aproximadamente 0,5 cm. Como la posición del rectángulo ABCD no se puede ajustar, no hay espacio para un cuadrado pequeño.
Por lo tanto, 12*9+2*8+2*7+2*4=66 (piezas).
Comentarios: La clave para resolver este problema es alinear los cuadrados pequeños y usar el conocimiento de que la diagonal del rectángulo inscrito de un círculo es el diámetro del círculo.