Acerca de convertir una integral simple en una integral doble
La integral doble tiene una amplia gama de aplicaciones y se puede utilizar para calcular el área de una superficie curva, el centro de gravedad de una lámina plana, el momento de inercia de una lámina plana, la fuerza gravitacional fuerza de una lámina plana sobre una partícula, etc. Además, la integral doble también se utiliza mucho en la vida real, como en la radio.
Creo que no sabes lo suficiente sobre integrales dobles. Puedes consultar la siguiente información. Si no puedes ver la imagen, puedes ir directamente a /jingpin/gdsx/ja/z9/z9-3.htm
En cuanto a la integral cuadrática, hace mucho que no la uso. tiempo y no puedo explicártelo claramente, pero cuando estaba en la escuela, sentí que no era difícil sumar puntos. Tiene una gama muy amplia de funciones, como encontrar áreas. Para los regulares, podemos usar las fórmulas aprendidas en la escuela secundaria, pero después de todo, hay más objetos irregulares en el mundo, por lo que necesitamos usar integrales. Si una integración no puede resolver el problema, se deben utilizar múltiples integraciones. Primero aclare el concepto y luego mire algunos ejemplos y, naturalmente, comprenderá su aplicación.
1.Repaso de puntos clave de conocimiento
1. Definición de integral doble;
2. El significado geométrico de la integral doble y su modelo físico
3. Propiedades de las integrales dobles: (1) Propiedades lineales; (2) Aditividad regional; (3) Teorema de comparación; (5) Desigualdad de valoración; (6) Teorema del valor medio de las integrales dobles.
4. Transformar una integral doble en una integral cuadrática bajo el sistema de coordenadas rectangular
(1) Características de la región en forma de X y convertir la integral doble en una integral cuadrática cuando la región integral es una región en forma de X;
( 2) Características de la región en forma de Y y la transformación de la integral doble en integral cuadrática cuando la región integral es una región en forma de Y
5. Cálculo de integrales dobles en el sistema de coordenadas polares
(1) Se debe considerar qué integral doble es adecuada para el cálculo en coordenadas polares tanto desde el área de integración como desde el integrando
( 2; )．
2. Práctica
1. Estimación de integrales usando las propiedades de integrales dobles
Análisis Para usar la desigualdad de valoración en las propiedades de integrales dobles, primero debes encontrar los valores máximo y mínimo del integrando en .
La solución está arriba
,
Por lo tanto, arriba, y el área de >.
2． Intercambiar el orden de integración.
2
1
-1
1
4
y
x
O
Figura 1
Análisis Para intercambiar el orden de integración, primero debemos encontrar el área de integración, que debe darse en base a condiciones conocidas Resulta que, dado que se sabe que es una integral cuadrática de pares primero y luego de pares, es una integral cuadrática que trata el área de integración como un área en forma de Y. Para intercambiar el orden de integración, el área de integración debe considerarse como un área en forma de X. Primero determinamos el área de integración según condiciones conocidas y luego la convertimos en una integral cuadrática de acuerdo con el área en forma de X.
Solución De acuerdo con las condiciones del problema, el área de integración está rodeada de líneas rectas y curvas, la cual se dibuja (Figura 1). La integral cuadrática dada en la pregunta se obtiene tratándola como un área en forma de Y. Cambiar el orden de integración es tratar (si es necesario, dividir en varias partes) como un área en forma de X.
Obviamente se puede considerar como un área en forma de X, pero en este momento, su límite inferior es una curva suave por partes conectada por una parábola y una línea recta. Para ello, es necesario dividirla.
Resolver el sistema de ecuaciones
,
Encontrar los puntos de intersección de y , trazar una línea recta para dividir y en dos partes. Según el p>.
Resumen (1) La esencia de intercambiar el orden de integración es considerar el área de integración como otro tipo de área. Si el área de integración no puede considerarse como otro tipo de área, debe dividirse en varias. subáreas para que cada subregión pueda considerarse como otro tipo de región. Por ejemplo, suponiendo que es el área delimitada por la curva, obviamente es un área en forma de Y, no un área en forma de X. Para ello utilizamos el eje para dividirlo en tres pequeñas subregiones (Figura 2), cada una de las cuales es una región en forma de X.
(2) Cuando una región se considera una región en forma de X, si (al menos) una de las ecuaciones de límite superior o inferior es una función por partes, se debe trazar una línea recta paralela al eje. dividirlo en varias áreas pequeñas, de modo que no aparezca ninguna función por partes en las ecuaciones de límites superior e inferior de cada subárea. De manera similar, si aparecen funciones por partes en las ecuaciones de límites izquierdo y derecho, dibuje líneas rectas paralelas al eje para dividir el área.
3. Calcula la integral, donde es el área encerrada por la curva y la recta.
D
Figura 3
El área de integración del análisis se muestra en la parte sombreada de la Figura 3. Puede considerarse como un área en forma de X o Área en forma de Y. Si se ve como un área en forma de X, parecerá que
(1) El límite superior del área está conectado por dos líneas rectas, lo que requiere que el área se divida, lo que causa problemas.
(2) Dado que la región en forma de X debe convertirse en una integral para , pero para , esto también es difícil.
Para ello,
Trátelo como un área en forma de Y.
Solución: Primero encuentra los vértices de , que son los puntos de intersección de cada arista. Para resolver este sistema de ecuaciones
las coordenadas de los vértices son .
Considerando que es un área en forma de Y, entonces
Entonces
Figura 4
4. Calcula dónde está el área rodeada por líneas rectas y curvas.
Análisis En primer lugar, notamos que la función original del integrando no se puede calcular, por lo que debemos evitar integrar con primero, es decir, no podemos considerar como una región de tipo X, por lo que consideramos como una región de tipo Y.
La solución se considerará como un área en forma de Y, ver Figura 4. Los dos vértices obtenidos al resolver el sistema de ecuaciones
se pueden expresar como, Entonces
Resumen Como se puede ver en los ejercicios 3 y 4, si se debe considerar una región como una región en forma de X o una región en forma de Y
(1) En primer lugar, preste atención a las características del integrando, y asegúrese de evitar que aparezca la integral no calculada, como etc., o en otras palabras, la integral se puede "acumular" lo más fácilmente posible.
(2) Cuando no existen requisitos especiales para el integrando, trate de evitar que el límite de un lado sea una función por partes, es decir, trate de evitar que el límite de un lado sea una curva suave formada por partes conectando curvas. Si es realmente inevitable, se debe utilizar el "método de corte" indicado en la pregunta 2.
(3) Para encontrar la proyección del área de integración en el eje de coordenadas, generalmente se determina resolviendo el sistema de ecuaciones compuesto por las ecuaciones en ambos lados adyacentes para encontrar los vértices del área.
5. Calcula la integral cuadrática.
Análisis Si calcula directamente la integral cuadrática dada en la pregunta, primero encontrará el problema de encontrar la función original, que no se puede calcular. Por lo tanto, la integral cuadrática primero debe restaurarse a una integral doble. Luego seleccione el método adecuado según las características del área de integración.
Resolviendo la integral cuadrática dada, obtenemos la región de integración, donde
x
O
y
R
D1
D2
y=x
Figura 5
¿Es un ángulo central es un sector con un radio de (Figura 5). Por lo tanto, se pueden utilizar coordenadas polares para el cálculo. En el sistema de coordenadas polares, hay
Por lo tanto
Resumen (1) Al calcular integrales dobles, es muy importante seleccionar adecuadamente las coordenadas. sistema de coordenadas y el orden de integración, no solo afecta la complejidad y simplicidad del cálculo, sino que también afecta si se puede realizar el cálculo.
(2) Al convertir la integral doble en el sistema de coordenadas rectangulares en la integral doble en el sistema de coordenadas polares, generalmente debes usar
1) Primero, usa la representación de coordenadas polares
2) El rango determinado, es decir, el área de integración en el sistema de coordenadas polares.
3) Reemplace el integrando en el integrando con respectivamente y use el elemento de área Reemplazo; .
6. Calcula la integral doble, donde es el área encerrada por la recta y el semicírculo superior.
El análisis del integrando contiene factores, que es muy sencillo de expresar en coordenadas polares. El límite del área de integración contiene un círculo, y la circunferencia también es muy sencilla de expresar en coordenadas polares, por lo que. integrar la integral doble dada Calculada para coordenadas polares.
La solución está en el sistema de coordenadas polares y las ecuaciones de frontera de se expresan como (Figura 6)
Figura 6
Por lo tanto, se puede expresar como
Entonces
．
Resumen: El tipo de coordenadas que se deben utilizar para calcular la integral doble debe basarse en el área de integración y el integrando. Cuando el área de integración es un dominio circular, un dominio de toro, un dominio de sector o una parte de un dominio de toro interceptado por dos rayos a partir del origen cuando el integrando tiene la forma de etc., se pueden considerar coordenadas polares;
Si las coordenadas polares no son adecuadas, utilice coordenadas rectangulares.
7. Calcula, donde.
El área de integración del análisis es un dominio circular, por lo que se puede considerar el cálculo de coordenadas polares. Tenga en cuenta que el área de integración es simétrica y el integrando es una función impar y aproximadamente es una función par. Primero usamos la simetría de la región integral con respecto al eje de coordenadas y la paridad del integrando para simplificar la operación.
Solución a , dado que es simétrico con respecto al eje, el integrando es una función impar respecto a , es una función par y es un dominio circular, por lo
y el área de es, entonces
,
Entonces
．
Resumen (1) Al calcular integrales dobles, se debe prestar atención a utilizar la simetría de la región integral con respecto al eje de coordenadas y, al mismo tiempo, simplificar la operación utilizando la paridad del integrando. con respecto a una variable correspondiente.
(2) Cuando el integrando es el producto de dos funciones unarias, y los límites superior e inferior de cada variable son constantes, después de convertir la integral pesada en una integral cuadrática, se pueden calcular las dos ecuaciones definidas Integre de forma independiente y luego multiplique los resultados.
8. Calcula, donde.
Análisis Dado que el integrando contiene un signo de valor absoluto, el signo de valor absoluto debe eliminarse antes de poder realizar el cálculo. El signo de in es incierto, por lo que según las características del integrando, se divide la región (ver Figura 7), de modo que cada subregión tenga un signo definido.
x
O
y
D1
D2
D2
D2 p>
-1
1
Figura 7
La parábola solución se dividirá en partes superior e inferior, denotadas respectivamente como, entonces
.
Resumen: Cuando el integrando contiene un valor absoluto, primero debe intentar eliminar el signo del valor absoluto. Si en el área de integración, el signo de la fórmula en el signo del valor absoluto es incierto, debe utilizarlo. el signo de valor absoluto Las características de la fórmula son agregar líneas auxiliares para dividir el área de modo que la fórmula tenga un símbolo determinado en cada subárea.
Cuando el integrando contiene radicales de orden par o el integrando es una función general por partes, a menudo es necesario considerar dividir el área de integración.