De cualquier secuencia, se debe encontrar una subsecuencia monótona.

Supongamos que la secuencia {an} prueba la existencia de la subsecuencia monótona {bn} de {an}.

1.

Si {an} no está limitado, es posible que desees establecer un límite superior y luego puedes construir la subcolumna de la siguiente manera:

B1= a1, porque {an} no tiene sesión previa, y la existencia de n hace un >: A1, b2=aN.

Del mismo modo, existen aM & gtAN, b3=aM. Las líneas continuas pueden formar una secuencia monótonamente creciente {bn}.

Si {an} no tiene una próxima sesión, puedes construir una secuencia de resta como se indica arriba.

2.

Si {an} es acotado, se puede suponer que {an} converge al número real A, porque debe tener una subsecuencia convergente.

Divide la recta numérica en tres áreas: menor que a, mayor que a e igual a a. Debe haber al menos una de estas tres áreas.

Contiene una cantidad infinita de puntos en {an}.

I Si hay infinitos puntos en el intervalo iguales a A, sólo es necesario construir la sucesión constante BN = A.

Ii Si hay infinitos puntos en el intervalo menos que a, estos son menores que Los elementos de a pueden formar una nueva secuencia {a'n} y converger a a, por lo que puede registrarse como {an}. La secuencia se puede construir de la siguiente manera:

B1=a1, para (A-A 1)/2 & gt; 0, la existencia de n hace (a-an); >; 0, la existencia de m hace (a-am); AN, b3=aM, si continuamos esta línea, podemos obtener la secuencia monótonamente creciente {bn}.

Si hay infinitos puntos mayores que a, se puede construir una secuencia de resta como se indicó anteriormente.

En definitiva, esta proposición ha quedado demostrada