Las cuatro etapas del desarrollo algebraico: aritmética, álgebra elemental, álgebra avanzada y álgebra abstracta.
La aritmética generalmente se refiere a las cuatro operaciones de números naturales y fracciones positivas. Al mismo tiempo, como contenido del plan de estudios de la escuela primaria moderna, algunos problemas de aplicación simples se introducen principalmente mediante el conteo y la medición. Aunque el contenido principal de la aritmética no es difícil, es la rama más antigua de las matemáticas. Miles de años después, se acumuló gradualmente como experiencia y se solidificó en la conciencia de las personas. Los números naturales son conceptos abstractos propuestos para satisfacer las necesidades de cálculo y conteo en la producción y la vida. Además de contar los requisitos, también se calculan varias cantidades, incluidas la longitud, el peso y el tiempo, por lo que aparecen más fracciones. El desarrollo de las operaciones aritméticas elementales modernas se originó en la India en los siglos X u XI. Se extendió a Europa a través de los árabes. En el siglo XV se transformó a su forma actual. A mediados del siglo XIX, Glassmann logró por primera vez seleccionar un sistema de axiomas básicos que definían las operaciones de suma y multiplicación. De este sistema se pueden derivar otras proposiciones de la aritmética como consecuencias lógicas. Posteriormente, Piano mejoró aún más el sistema de Glassmann. Los conceptos básicos de la aritmética y las reglas del razonamiento lógico se basan en actividades prácticas humanas, reflejan profundamente las leyes objetivas del mundo y forman la base más sólida para otras ramas de las matemáticas.
El álgebra elemental es la evolución, popularización y desarrollo de la aritmética antigua. En la antigüedad, cuando la aritmética acumulaba una gran cantidad de soluciones a problemas cuantitativos, con el fin de encontrar un método más sistemático y general para resolver diversos problemas de relaciones cuantitativas, se produjo álgebra elemental con la solución de ecuaciones como problema central. Así, durante mucho tiempo, los matemáticos entendieron el álgebra como la ciencia de las ecuaciones y centraron su energía en el estudio de las ecuaciones. Es decir, la teoría y método de operaciones algebraicas de números y palabras, más precisamente, la teoría y método de operaciones algebraicas de polinomios, y su método de investigación es computacional.
Para analizar ecuaciones, el primer paso es cómo expresar relaciones cuantitativas reales en expresiones algebraicas y enumerar ecuaciones basadas en relaciones de equivalencia. Las expresiones algebraicas incluyen fórmulas algebraicas, fracciones y radicales. Las expresiones algebraicas pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división, así como operaciones de multiplicación y raíz cuadrada, y siguen las reglas básicas de operación.
En el desarrollo de la resolución de problemas de ecuaciones se amplió el sistema numérico. Los conceptos de números enteros y fracciones discutidos en aritmética se extienden al rango de números racionales, de modo que se pueden resolver más problemas en álgebra elemental. Pero todavía hay algunas ecuaciones que no tienen solución dentro del rango de números racionales. Así, el concepto de número se extendió una vez más a los números reales y, posteriormente, a los complejos.
Entonces, ¿todavía hay ecuaciones sin solución dentro del rango de números complejos? ¿Es necesario expandir los números complejos? no quiero! Un famoso teorema de álgebra: el teorema fundamental del álgebra establece que una ecuación de grado n tiene n raíces. El 15 de febrero de 1742, Euler expuso claramente el teorema básico del álgebra en una carta, y el príncipe matemático alemán Gauss hizo una prueba rigurosa en 1799.
Con base en la descripción anterior, el contenido básico del álgebra elemental es:
Con el contenido básico anterior, podemos ver que el aprendizaje del contenido del álgebra elemental está configurado en el mundo moderno. plan de estudios de la escuela media. Como continuación y extensión de la aritmética, los principales problemas son las operaciones algebraicas de orden finito del álgebra y la solución de sistemas generadores de ecuaciones.
Una breve historia de la resolución de ecuaciones algebraicas;
El álgebra elemental se ha desarrollado aún más en dos direcciones: ecuaciones lineales con más incógnitas; ecuaciones de orden superior con incógnitas más altas. El desarrollo en estas dos direcciones ha llevado al álgebra a la etapa de álgebra avanzada. Álgebra avanzada es un término general para el desarrollo del álgebra hasta una etapa avanzada, que incluye muchas ramas. El álgebra avanzada que se enseña en las universidades ahora generalmente incluye dos partes: álgebra lineal y álgebra polinomial.
Los objetos de investigación del álgebra avanzada se amplían aún más sobre la base del álgebra elemental y se introducen nuevos conceptos que incluyen conjuntos, vectores, espacios vectoriales, matrices, determinantes, etc. Estos nuevos conceptos tienen características operativas similares a las de los números, pero sus métodos de investigación y métodos operativos son más abstractos y complejos. Las operaciones con objetos nuevos no siempre se basan en las reglas aritméticas básicas para números simbólicos. Entonces el álgebra se incluyó en el sistema de álgebra, incluida la teoría de grupos, la teoría de anillos y la teoría de campos. Entre ellos, la teoría de grupos es una herramienta poderosa para estudiar las leyes de simetría de las matemáticas y los fenómenos físicos. También se ha convertido en el concepto matemático más común e importante en las matemáticas modernas y se utiliza ampliamente en otros departamentos.
Contenido básico de álgebra avanzada
El polinomio puede considerarse como una función simple y sus aplicaciones son muy amplias. El problema central de la teoría polinomial es el cálculo y distribución de las raíces de ecuaciones algebraicas, también conocida como teoría de ecuaciones. El estudio de la teoría polinómica se centra principalmente en discutir las propiedades de las ecuaciones algebraicas y encontrar métodos para resolverlas.
Los contenidos de la investigación del álgebra polinomial incluyen la teoría de la divisibilidad, el máximo común divisor, los factores múltiples, etc. La divisibilidad es muy útil para resolver ecuaciones algebraicas. Resolver el problema del punto cero del polinomio correspondiente a la ecuación algebraica. Si el punto cero no existe, la ecuación algebraica correspondiente no tiene solución.
Los conceptos más importantes en álgebra lineal son determinantes y matrices. El concepto de determinante fue propuesto por primera vez por el matemático japonés Guan Xiaohe en el libro "Métodos de resolución de problemas" publicado en 1683, y se describió en detalle. Leibniz fue el primer europeo en proponer el concepto de determinantes. En 1841, el matemático alemán Jacobi resumió y propuso la teoría sistemática de los determinantes.
El determinante tiene ciertas reglas de cálculo y puede usarse como herramienta para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Expresa la solución de un sistema de ecuaciones lineales como una fórmula, lo que también significa que el determinante es un. número o una operación.
Debido a que el determinante tiene el mismo número de filas y columnas, la tabla ordenada es cuadrada. A través del estudio de los determinantes se descubrió la teoría de matrices. Una matriz es una matriz y no es necesario que el número de filas y columnas sea igual. Usando matrices, los coeficientes en un sistema de ecuaciones lineales se pueden formar en vectores en un espacio vectorial; según la teoría de matrices, el problema estructural de resolver un sistema de ecuaciones lineales multivariadas se ha resuelto por completo. Además, las matrices se utilizan ampliamente en mecánica, física, ciencia y tecnología.
El álgebra abstracta también se llama álgebra moderna. Uno de sus fundadores es Galois, conocido como un genio matemático. Al estudiar las condiciones para la existencia de soluciones raíz de ecuaciones algebraicas, Galois dio una respuesta completa y exhaustiva, resolvió un problema que había preocupado a los matemáticos durante cientos de años y propuso el "campo de Galois" y el "grupo de Galois". "Teoría" es el tema más importante en la investigación algebraica moderna. La teoría de grupos de Galois es reconocida como uno de los logros matemáticos más destacados del siglo XIX. La teoría de grupos de Galois también proporciona un método general para juzgar si se pueden dibujar figuras geométricas con una regla y resuelve satisfactoriamente los problemas de bisección de ángulos arbitrarios y multiplicación de cubos. Más importante aún, la teoría de grupos abrió un nuevo campo de investigación, reemplazó el cálculo con la investigación estructural, cambió la forma de pensar de enfatizar la investigación del cálculo al uso de la investigación de conceptos estructurales, clasificó las operaciones matemáticas e hizo que la teoría de grupos se convirtiera rápidamente en una nueva rama de las matemáticas. que tuvo un impacto significativo en la formación y desarrollo del álgebra moderna.
En 1843, Hamilton inventó los "cuaterniones" que no cumplían la ley conmutativa de la multiplicación. Al año siguiente, Glassmann derivó varias álgebras más generales. En 1857, Gloria diseñó otra álgebra matricial no conmutativa. Estos estudios abrieron la puerta al álgebra abstracta. De hecho, se puede obtener una amplia variedad de sistemas algebraicos debilitando o eliminando ciertos supuestos del álgebra ordinaria, o reemplazando ciertos supuestos por otros compatibles.
El fundador y teoría del álgebra abstracta
El objeto de investigación del álgebra abstracta son varios sistemas algebraicos abstractos y axiomáticos. Dado que el álgebra puede manejar vectores, matrices, transformaciones y otros objetos además de números reales y números complejos, y depender de sus respectivas leyes de cálculo, los matemáticos han sublimado y abstraído sus puntos comunes, alcanzando un nivel más alto de álgebra abstracta. lenguaje de la mayoría de las matemáticas contemporáneas. El álgebra abstracta en sí incluye muchas ramas, como grupos, anillos, teoría de Galois y teoría de celosías, y se cruza con otras ramas de las matemáticas para producir nuevas disciplinas matemáticas como la geometría algebraica, la teoría algebraica de números, la topología algebraica y los grupos topológicos.