Preguntas de ejercicio sobre rectas auxiliares de triángulos congruentes
Ejemplo 1 (2006·Zhejiang Jinhua) Como se muestra en la Figura 1, en △ABC y △ABD, AD y BC se cruzan en el punto O, ∠1=∠2, agregue una condición (sin otras adiciones). ) segmento de línea (sin etiquetar ni usar otras letras), de modo que AC=BD, y dar la prueba
Las condiciones que agregaste son:
Prueba:
.El análisis necesita explicar AC=BD Según el gráfico, pensamos en explicar △ABC≌△BAD primero. Ya se sabe en la pregunta que ∠1=∠2, AB=AB, y solo un conjunto. de lados opuestos son iguales o un conjunto de ángulos opuestos son iguales
Solución: La condición sumada es: BC=AD
Demostración: En △ABC y △BAD, ∠1. =∠2, AB=AB, BC=AD.
∴ △ABC≌△BAD (SAS).
∴ AC=BD. La pregunta examina la determinación y las propiedades de los triángulos congruentes, y la respuesta no es única, si agrega condiciones de una de las siguientes maneras: ①BC=AD, ②∠C=∠D, ③∠CAD=∠DBC, ④∠CAB= ∠DBA, puede obtener △CAB≌△DBA, por lo tanto AC=BD
2. Tipo abierto integral
Ejemplo 2 (2006·Panzhihua) Como se muestra en la Figura 2, punto. E está en AB, AC=AD, por favor agrega una condición para que en la figura existan triángulos congruentes y pruébalo
La condición agregada es
El par de triángulos congruentes. lo que obtienes es:
△ ≌△
Prueba:
Análisis: En las condiciones conocidas, ya existe un conjunto de lados iguales, y existe. también es un lado común en la gráfica, por lo que los ángulos entre los dos lados son iguales U otro conjunto de lados opuestos también son iguales para obtener un triángulo congruente
Solución: La condición sumada es CE=ED.
El par resultante de triángulos congruentes es △CAE ≌△DAE
Demostración: En △CAE y △DAE, AC=AD, AE=AE, CE=DE,
p>
Entonces △CAE≌△DAE (SSS).
Resumen: Esta pregunta es una buena pregunta con condiciones y conclusiones abiertas. La pregunta en sí no es complicada, pero es muy abierta y puede. Estimular el pensamiento divergente de los estudiantes. Merece atención.
3. Tipo de operación práctica
Ejemplo 3 (2006·Jinan) Como se muestra en la Figura 3, se muestra una hoja de papel rectangular. doblado por la mitad a lo largo de AB, con el punto medio O de AB como vértice, divide el ángulo cuadrado en cinco partes iguales, dobla la línea del quintil y luego córtala desde el punto C para hacer que la forma expandida sea un pentágono regular. Luego el ángulo ∠. OCD entre la línea de corte y OC es (
A 126° B. 108° C. 90° D.72°
Parece difícil analizar esta cuestión al principio.
Solución: C.
Reflexionar sobre esta pregunta es cultivar nuestra imaginación espacial, por un lado, y por otro lado, cultivar nuestra capacidad de operación práctica.
Ejemplo 4 (2006·Nanning) Corta el rectángulo ABCD en la imagen a lo largo de la diagonal AC y luego traslada △ABC a lo largo de la dirección AD, excepto Además de obtener la congruencia de △C′BA′ y △ADC en la imagen, que ¿Puedes señalar pares de triángulos congruentes (no se pueden agregar líneas ni letras auxiliares)? Elija uno de los pares para probar.
Analice el rectángulo cortado a lo largo de la diagonal para obtener un par de triángulos rectángulos congruentes. A partir de las propiedades inherentes del par de triángulos y rectángulos congruentes y las propiedades de traslación. podemos obtener una serie de condiciones útiles
Solución: Hay dos pares de triángulos congruentes, a saber:
△AA′E≌△C′CF, △A′DF≌. △CBE .
① Demuestre: △AA′E≌△C′CF
Demostración: Por las propiedades de traducción, sabemos: AA′=CC′. >
También ∵ ∠A=∠C′, ∠AA′E=∠C′CF=90°,
∴ △AA′E≌△C′CF
p>Prueba: Por las propiedades de traslación, sabemos: A′E‖CF, A′F‖CE,
∴ El cuadrilátero A′ECF es un paralelogramo
∴. A′F= CE, A′E=CF
También ∵ A′B=CD,
∴ DF=BE
También ∵ ∠B. =∠D= 90°,
∴ △A′DF≌△CBE.
4. Tipo de prueba de conjeturas
Ejemplo 5 (2006·Dalian) Figura 4, E, F son dos puntos en la línea recta donde se encuentra la diagonal BD del paralelogramo ABCD. Tome F como punto final y conéctelo a un cierto punto marcado con una letra en la figura para formar un nuevo. segmento de línea. Conjetura y pruébalo. Es igual a un segmento de línea existente en la imagen (solo necesitas estudiar la igualdad de un grupo de segmentos de línea). Conjetura;
(3) Prueba:
(Nota: escriba las bases importantes para el proceso de prueba)
Análisis: Observamos la gráfica y adivinamos la conexión FC basada en la propiedad de que los lados opuestos del paralelogramo son iguales y paralelos
Solución: Conectar FC, conjetura: AE=CF
Prueba: Porque el cuadrilátero ABCD es un. paralelogramo,
Entonces AB‖CD, AD‖BC, BC=AD,
Entonces ∠ADB=∠CBD (Las dos rectas son paralelas y los ángulos interiores son iguales)
Entonces ∠ADE=∠CBF
Y porque DE=BF, BC=DA
Entonces △ADE≌△CBF (SAS). >
Entonces AE=CF.
Resumen: esta pregunta es para preguntas de prueba de exploración, conjetura y prueba. La conjetura es una actividad de pensamiento de alto nivel. Basándonos en la primera observación, proponemos una posible conjetura y luego intentamos probarla, que está en línea con nuestras leyes cognitivas.
Explorando la regularidad
.Ejemplo 6 (2006·Xiamen) Utilice la altura de un triángulo equilátero con una longitud de lado de 2 cm como longitud del lado para construir un segundo triángulo equilátero, y utilice la altura del segundo triángulo equilátero como longitud del lado para construir un tercer triángulo equilátero, y así sucesivamente, entonces la longitud del lado del décimo triángulo equilátero es cm
Análisis basado en el significado de la pregunta:
La longitud del lado del segundo triángulo. es 2×,
La longitud del lado del tercer triángulo es 2×()2,
La longitud del lado del cuarto triángulo es 2×()3,
……,
Se puede ver a partir de esto que el exponente en los datos anteriores es siempre 1 menor que el número ordinal del triángulo, mientras que otras cosas permanecen sin cambios. A partir de esto, la longitud del lado. del décimo triángulo es 2×()9
Solución: 2×()9
Ejemplo 7 (2006·Distrito de Bijie, Guizhou) Como se muestra en la figura, △. ABC es un triángulo equilátero con longitud de lado 1, y BB1 es la altura de △ABC, B1B2 es la altura de △ABB1, B2B3 es la altura de △AB1B2, B3B4 es la altura de △AB2B3,..., Bn-1Bn es la altura de △ABn-2Bn-1
(1) Encuentra BB1, la longitud de B1B2 y B2B3
(2) Adivina el valor de Bn-1Bn según; los resultados del cálculo de (1) (expresados por una fórmula algebraica que contiene n, n es un entero positivo
Análisis Al calcular las longitudes de BB1, B1B2 y B2B3 en (1), podemos encontrar el regla general para encontrar la longitud de Bn-1Bn Tenemos muchos métodos para encontrar la longitud de BB1, B1B2 y B2B3, pero necesitamos encontrar una regla general.
Solución: (1) En. triángulo equilátero ABC, BB1 es la altura,
∴ ∠B1BC=30°, y BC=1,
∴ BB1=cos30°·BC=×1=
En Rt△BB1B2,
B1B2=sin30°·BB1=×=
De manera similar, B2B3=
(2) Según. del cálculo de (1), podemos obtener
Bn-1Bn=.
6 Inducción de lectura
Ejemplo 8 Sabemos que dos triángulos con lados iguales. y un ángulo opuesto puede no ser congruente. Entonces, ¿bajo qué circunstancias serán congruentes?
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(1) Lectura y prueba
Porque estos dos triángulos son triángulos rectángulos, obviamente son congruentes
Porque estos dos triángulos son triángulos obtusos, se puede demostrar. que son congruentes (se omite la prueba).
Porque estos dos triángulos son triángulos agudos, también son congruentes la prueba es la siguiente:
Se sabe que △ABC. y △A1B1C1 Todos son triángulos agudos, AB=A1B1, BC=B1C1, ∠C=∠C1
Demuestre △ABC≌△A1B1C1
(Complete la siguiente prueba. proceso)
Demostración: Por los puntos B y B1 respectivamente, sea BD⊥CA en D, B1D1⊥C1A1 esté en D1,
Entonces ∠BDC=∠B1D1C1=90°.
∵ BC=B1C1, ∠C=∠C1,
∴ △BCD≌△B1C1D1
∴ BD=B1D1. > (2) Resumen y narrativa
Se puede obtener una conclusión correcta de (1), escriba esta conclusión
El análisis debe probar △ABC≌△A1B1C1, porque ya. sabes que los ángulos de ambos lados son iguales, así que siempre que encuentres el conjunto restante de lados opuestos que son iguales o el conjunto de ángulos opuestos que son iguales, puedes demostrar que los dos triángulos son congruentes
Solución: (1) ∵ AB=A1B1, ∠ADB=∠ A1D1B1=90°, ∴ △ADB≌△A1D1B1,
∴ ∠A=∠A1,
Y ∵ ∠C=∠C1, BC=B1C1,
Así, obtenemos △ABC≌△A1B1C1
(2) Se puede resumir de la siguiente manera: dos triángulos de ángulo agudo. (o triángulos rectángulos o triángulos de ángulos obtusos) cuyos dos lados y el ángulo opuesto de un lado respectivamente corresponden a iguales son congruentes.