Puntos de conocimiento del círculo de matemáticas de noveno grado
1. Conceptos relacionados con las circunferencias
1. Definición de circunferencias
En cada plano, el segmento de recta OA gira alrededor de su punto final fijo O, La figura formado por la rotación del otro extremo A se llama círculo, el punto extremo fijo O se llama centro del círculo y el segmento de línea OA se llama radio.
2. Representación geométrica de un círculo
Un círculo con el punto O como centro se registra como "⊙O" y se pronuncia "círculo O"
2. Cuerda, arco y otras definiciones relacionadas con círculos
(1) Cuerda
El segmento de línea que conecta dos puntos cualesquiera en el círculo se llama cuerda. (Como AB en la imagen)
(2) Diámetro
La cuerda que pasa por el centro del círculo se llama diámetro. (Como un CD en camino)
El diámetro es igual a 2 veces el radio.
(3) Semicírculo
Los dos puntos extremos de cualquier diámetro de un círculo dividen el círculo en dos arcos, y cada arco se llama semicírculo.
(4) Arco, arco superior, arco menor
La parte entre dos puntos cualesquiera del círculo se llama arco, o arco para abreviar.
El arco se representa con el símbolo "⌒". El arco con A y B como puntos finales se registra como " " y se pronuncia como "arco AB" o "arco AB".
Los arcos que son más grandes que un semicírculo se llaman arcos superiores (generalmente representados por tres letras) los arcos más pequeños que un semicírculo se llaman arcos menores (generalmente representados por dos letras)
3 Teorema del diámetro perpendicular y su Corolario
Teorema del diámetro perpendicular: El diámetro perpendicular a una cuerda biseca la cuerda y biseca el arco subtendido por la cuerda.
Corolario 1: (1) El diámetro que biseca la cuerda (no el diámetro) es perpendicular a la cuerda y biseca los dos arcos subtendidos por la cuerda.
(2) La mediatriz de la cuerda pasa por el centro del círculo y biseca los dos arcos subtendidos por la cuerda.
(3) El diámetro de un arco que biseca la cuerda biseca la cuerda perpendicularmente y biseca el otro arco subtendido por la cuerda.
Corolario 2: Los arcos entre dos cuerdas paralelas de una circunferencia son iguales.
El teorema del diámetro perpendicular y su corolario se pueden resumir de la siguiente manera:
Por el centro del círculo
Perpendicular a la cuerda
> Si el diámetro biseca la cuerda, sabemos que dos y tres
El arco superior subtendido por una cuerda bisectriz
El arco menor subtendido por una cuerda bisectriz
4. Simetría de un círculo
1. Simetría axial de un círculo
Un círculo es una figura axialmente simétrica, y toda recta que pasa por el centro del círculo es su eje. de simetría.
2. Simetría central de un círculo
Un círculo es una figura centralmente simétrica con el centro del círculo como centro de simetría.
5. Teorema de relación entre arco, cuerda, distancia cuerda-centro y ángulo central
1. Ángulo central
El ángulo con el vértice en el centro del círculo se llama ángulo central.
2. Distancia entre el centro de la cuerda
La distancia desde el centro del círculo hasta la cuerda se llama distancia entre el centro de la cuerda.
3. El teorema de relación entre arcos, cuerdas, distancias cuerda-centro y ángulos centrales
En círculos congruentes o círculos iguales, los arcos opuestos a ángulos centrales iguales son iguales, entonces Si las cuerdas opuestas son iguales, las distancias entre los centros de las cuerdas de las cuerdas opuestas son iguales.
Corolario: En círculos congruentes o círculos iguales, si un conjunto de cantidades en los ángulos centrales de dos círculos, dos arcos, dos cuerdas o la distancia cuerda-centro de dos cuerdas son iguales, entonces sus correspondientes las cantidades restantes de cada grupo son iguales.
6. Teorema del ángulo circunferencial y su corolario
1. Ángulo circular
Un ángulo cuyo vértice está en un círculo y ambos lados se cruzan con el círculo se llama ángulo circunferencial.
2. Teorema del ángulo circunferencial
El ángulo circunferencial subtendido por un arco es igual a la mitad del ángulo central subtendido por el mismo.
Corolario 1: Los ángulos circunferenciales subtendidos por un mismo arco o arcos iguales son iguales; los arcos subtendidos por ángulos circunferenciales iguales en un mismo círculo o círculos iguales también son iguales;
Corolario 2: El ángulo circunferencial subtendido por el semicírculo (o diámetro) es un ángulo recto; la cuerda subtendida por el ángulo circunferencial de 90° es el diámetro.
Corolario 3: Si la línea media de un lado de un triángulo es igual a la mitad de este lado, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.
7. Relación posicional entre puntos y círculos
Supongamos que el radio de ⊙O es r, y la distancia desde el punto P al centro O del círculo es d, entonces:
d
d=r punto P está en ⊙O;
dgt; r punto P está fuera de ⊙O.
8. Círculo que pasa por tres puntos
1. Círculo que pasa por tres puntos
Tres puntos que no están en la misma recta determinan un círculo.
2. La circunferencia circunstante de un triángulo
La circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo se llama circunferencia circunstante de un triángulo.
3. Circuncentro de un triángulo
El centro de la circunferencia circunstante de un triángulo es el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los tres lados del triángulo. el triangulo.
4. Propiedades de un cuadrilátero inscrito en un círculo (condiciones de juicio para un círculo de cuatro puntos)
Las diagonales de un cuadrilátero inscrito en un círculo son complementarias.
9. Prueba por contradicción
Primero supone que la conclusión de la proposición no es verdadera y luego, mediante el razonamiento, conduce a contradicciones, determina que los supuestos hechos son incorrectos y luego obtener que la proposición original sea verdadera. Este tipo de método de prueba se llama prueba por contradicción.
10. Relaciones posicionales entre rectas y circunferencias
Existen tres relaciones posicionales entre rectas y circunferencias, de la siguiente manera:
(1) Intersección: Hay Hay dos tipos de relaciones posicionales entre líneas rectas y círculos. Cuando se alcanza un punto común, se llama línea recta que cruza un círculo. En este momento, la línea recta se llama secante del círculo y el punto común se llama. un punto de intersección;
(2) Tangencia: La recta y el círculo tienen un punto común* Cuando la recta y el círculo están en un punto común, se llama recta tangente al círculo. esta vez, la recta se llama tangente al círculo.
(3) Separación: Cuando la recta y el círculo no tienen punto común, se llama recta y círculo por ser. separado.
Si el radio de ⊙O es r, y la distancia del centro O a la recta l es d, entonces:
La recta l corta a ⊙O d
Recta l tangente a ⊙O d=r;
La recta l está separada de ⊙O dgt
11. Juicio y propiedades de las rectas tangentes
1, El teorema de determinación de rectas tangentes
Una línea recta que pasa por el extremo exterior del radio y es perpendicular al radio es la línea tangente del círculo.
2. Teorema de las propiedades de las rectas tangentes
La recta tangente de una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto tangente.
12. Teorema de la longitud tangente
1. Longitud tangente
En la recta tangente de un círculo que pasa por un punto fuera del círculo, la distancia entre este punto y el punto tangente es La longitud del segmento de recta se llama longitud tangente desde este punto al círculo.
2. El teorema de la longitud de la tangente
Dos tangentes que conducen a un círculo desde un punto fuera del círculo tienen longitudes de tangente iguales. La línea que conecta el centro del círculo y este punto biseca el. ángulo entre las dos tangentes.
13. Círculos inscritos de triángulos
1 Círculos inscritos de triángulos
Un círculo que es tangente a todos los lados de un triángulo se llama círculo inscrito de. un triángulo.
2. El incentro de un triángulo
El centro de la circunferencia inscrita de un triángulo es el punto de intersección de las tres bisectrices interiores del triángulo. Se llama incentro de. el triangulo.
14. La relación posicional entre el círculo y el círculo
1. La relación posicional entre el círculo y el círculo
Si los dos círculos no tienen nada en común punto, entonces Se dice que estos dos círculos están separados entre sí, y la separación se divide en dos tipos: separación externa y separación interna.
Si dos circunferencias tienen un solo punto común, entonces se dice que las dos circunferencias son tangentes. Hay dos tipos de tangencia: circunscrita e inscrita.
Si dos círculos tienen dos puntos comunes, entonces se dice que los dos círculos se cortan.
2. Distancia al centro del círculo
La distancia entre los centros de dos círculos se llama distancia al centro de los dos círculos.
3. La naturaleza y el juicio de la relación entre círculos y posiciones de los círculos.
Supongamos que los radios de los dos círculos son R y r respectivamente, y la distancia entre los centros de los círculos. es d, entonces
La circunferencia de dos círculos es dgt; r (Rgt; r)
Dos círculos contienen dr)
4. Propiedades importantes de la tangencia e intersección entre dos circunferencias
Si dos circunferencias son tangentes, entonces el punto tangente debe estar en la recta que une los centros. Son figuras axialmente simétricas. El eje de simetría es la recta que une los centros de las dos. círculos; la línea que conecta los centros de los dos círculos que se cruzan corta perpendicularmente la cuerda común de los dos círculos.
15. Polígonos regulares y círculos
1. Definición de polígono regular
Un polígono con lados iguales y ángulos iguales se llama polígono regular.
2. La relación entre polígonos regulares y círculos
Siempre que un círculo se divida en arcos iguales, se puede formar el polígono regular inscrito del círculo, y el círculo es el polígono regular. círculo circunscrito.
16. Conceptos relacionados con los polígonos regulares
1. El centro de un polígono regular
El centro del círculo circunscrito de un polígono regular se llama centro del polígono regular.
2. Radio de un polígono regular
El radio del círculo circunscrito de un polígono regular se llama radio del polígono regular.
3. Distancia al centro de un polígono regular
La distancia desde el centro de un polígono regular a un lado del polígono regular se llama distancia al centro de un polígono regular. polígono.
4. Ángulo central
El ángulo central de la circunferencia circunscrita subtendido por cada lado de un polígono regular se llama ángulo central del polígono regular.
17. Simetría de polígonos regulares
1. Simetría axial de polígonos regulares
Los polígonos regulares son todas figuras con simetría axial. Un n-gon regular tiene n ejes de simetría, y cada eje de simetría pasa por el centro del n-gon regular.
2. Simetría central de los polígonos regulares
Un polígono regular con un número par de lados es una figura centralmente simétrica, y su centro de simetría es el centro del polígono regular.
3. Cómo dibujar un polígono regular
Primero utiliza un transportador o regla y un compás para dividir el círculo en partes iguales, y luego haz un polígono regular.
18. Longitud del arco y área del sector
1. Fórmula de la longitud del arco
La fórmula de cálculo de la longitud del arco l subtendido por un ángulo central de n° es: /p>
2. Fórmula del área del sector
Donde n es el ángulo central del sector, R es el radio del sector y l es la longitud del arco del sector.
3. Área lateral del cono
Donde l es la longitud de la generatriz del cono, y r es el radio del suelo del cono.
Propiedades matemáticas
Las propiedades matemáticas son las características aparentes e intrínsecas de las matemáticas, los atributos que distinguen una cosa de otras. Por ejemplo: las propiedades de un paralelogramo: los lados opuestos son paralelos, iguales, las diagonales se bisecan y el centro es simétrico.
Puntos de conocimiento de matemáticas de la escuela secundaria
Suma: ① Agregue el mismo signo, tome el mismo signo y agregue los valores absolutos. ②Sumar con signos diferentes Cuando los valores absolutos son iguales, la suma es 0 cuando los valores absolutos son desiguales, tome el signo del número con el valor absoluto mayor y reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor; . ③Un número no cambia cuando se suma a 0.
Resta: Restar un número es igual a sumar el opuesto de ese número.
Multiplicación: ① Si se multiplican dos números, los números con el mismo signo serán positivos, los números con signos diferentes serán negativos y los valores absolutos se multiplicarán entre sí. ②Cualquier número multiplicado por 0 da 0. ③Dos números racionales cuyo producto es 1 son recíprocos entre sí.
División: ①Dividir por un número es igual a multiplicar por el recíproco de un número. ②0 no se puede utilizar como divisor.
Potencia: La operación de encontrar el producto de N factores idénticos A se llama exponenciación, el resultado de la exponenciación se llama potencia, A se llama base y N se llama grado.
Orden mixto: primero calcula la multiplicación, luego calcula la multiplicación y la división, y finalmente calcula la suma y la resta. Si hay paréntesis, calcula primero los que están entre paréntesis.