¿Qué es el movimiento pendular?
En primer lugar, basándonos en la mecánica newtoniana, el movimiento del péndulo se puede describir de la siguiente manera:
El momento gravitacional que experimenta el péndulo es:
M = - m * g * l * Sin x.
Donde m es la masa, g es la aceleración de la gravedad, l es la longitud del péndulo y x es el ángulo del péndulo.
Esperamos obtener la función del ángulo del péndulo x con respecto al tiempo para describir el movimiento del péndulo. No es difícil obtener de la relación entre par y aceleración angular,
M = J * β
Donde J = m * l^2 es el momento de inercia del. péndulo simple, β = x'' (la segunda derivada del ángulo del péndulo con respecto al tiempo) es la aceleración angular.
Entonces simplificamos para obtener
x'' * l = - g * Sin x
Podemos seleccionar apropiadamente el coeficiente proporcional para la fórmula anterior, y luego se reducen las constantes l y g, y luego se mueven los términos para obtener la ecuación de movimiento simplificada
x'' + Sin x = 0.
Porque la ecuación de el movimiento del péndulo simple (ecuación diferencial) es
x'' + Sin x = 0…………(1)
Y la oscilación armónica simple estándar (como un resorte oscilador) es
x'' + x = 0………………(2)
Sabemos que la ecuación (1) es una ecuación diferencial no lineal y la ecuación (2 ) es una ecuación diferencial lineal. En sentido estricto, el movimiento del péndulo descrito por la ecuación (1) anterior no es un movimiento armónico simple.
Sin embargo, cuando x es relativamente pequeño, Sin x ≈ x aproximadamente. (Aquí se utiliza el sistema en radianes. Es decir, cuando x -> 0, hay Sin x / x = o(1).) Por lo tanto, en este momento, la ecuación (1) se convierte en la ecuación (2), y el movimiento no lineal del péndulo se aproxima linealmente como movimiento armónico simple.
Entonces hablemos de por qué es 5°. Porque la fórmula aproximada Sin La fórmula es razonable.
De hecho, 5°≈0.087266 radianes, Sin 5°≈0.087155, la diferencia entre los dos es solo de unas pocas milésimas, lo cual es muy cercano. En experimentos de baja precisión, este error sistemático se puede ignorar (porque el error accidental en la operación experimental es mayor que él). Pero si se cambia a 25°, el error llega al 3% y ya no debe considerarse como una simple vibración armónica.
Debido a la naturaleza de la función seno, esta aproximación es más precisa para ángulos más pequeños y menos precisa para ángulos más grandes. Si el ángulo es muy grande (por ejemplo, a 60 grados, el error llega al 17%), no se puede decir que sea un movimiento armónico simple en absoluto.