¿Qué es la topología?
La topología es una rama de la geometría, pero esta geometría es diferente de la geometría plana habitual y la geometría sólida. Habitualmente el objeto de estudio en geometría plana o geometría sólida es la relación posicional entre puntos, líneas y superficies y sus propiedades métricas. La topología no tiene nada que ver con las propiedades de medición y las relaciones cuantitativas de la longitud, tamaño, área y volumen de los objetos de investigación.
Por ejemplo, en geometría plana ordinaria, si una figura en el plano se mueve sobre otra figura, si coinciden completamente, entonces las dos figuras se llaman conformes. Sin embargo, la figura estudiada en topología cambia en movimiento, independientemente de su tamaño o forma. En topología no hay elementos que no se puedan doblar y el tamaño y la forma de cada figura se pueden cambiar. Por ejemplo, cuando Euler resolvió el problema de los siete puentes de Königsberg, no consideró su tamaño ni su forma, sino sólo el número de puntos y líneas. Estos son los puntos de partida del pensamiento topológico.
¿Qué son las propiedades topológicas? Primero introducimos la equivalencia topológica, que es una propiedad topológica fácil de entender.
En topología no se discute el concepto de congruencia entre dos grafos, pero sí el concepto de equivalencia topológica. Por ejemplo, aunque los círculos, cuadrados y triángulos tienen diferentes formas y tamaños, todos son diagramas equivalentes bajo transformación topológica. Las tres cosas de la izquierda son topológicamente equivalentes, en otras palabras, son exactamente iguales desde un punto de vista topológico.
Selecciona algunos puntos de una esfera y conéctalos con líneas que no se cruzan, de modo que la esfera quede dividida en muchos pedazos por estas líneas. Bajo transformación topológica, el número de puntos, líneas y bloques sigue siendo el mismo que el número original, lo cual es equivalencia topológica. En términos generales, para una superficie cerrada de cualquier forma, siempre que la superficie no se rasgue ni corte, su transformación es un cambio topológico y existe equivalencia topológica.
Cabe señalar que el toroide no tiene esta propiedad. Por ejemplo, si el toroide se corta como se muestra a la izquierda, no se dividirá en muchos pedazos, sino que se convertirá en un barril curvado. En este caso, decimos que la esfera topológicamente no puede convertirse en un toro. Por tanto, la esfera y el toro son superficies topológicamente diferentes.
Las relaciones de combinación y orden entre puntos y líneas en una línea recta permanecen sin cambios bajo la transformación topológica, que es una propiedad topológica. En topología, las propiedades cerradas de curvas y superficies también son propiedades topológicas.
Los planos y superficies curvas de los que solemos hablar suelen tener dos caras, al igual que un trozo de papel tiene dos caras. Pero el matemático alemán Möbius (1790 ~ 1868) descubrió la superficie de Möbius en 1858. Esta superficie no se puede pintar con colores diferentes por ambas caras.
Existen muchas invariantes e invariantes de transformación topológica, que no se presentarán aquí.
Después del establecimiento de la topología, también se desarrolló rápidamente debido a las necesidades de desarrollo de otras disciplinas matemáticas. Especialmente después de que Riemann fundó la geometría riemanniana, utilizó el concepto de topología como base de la teoría analítica de funciones, promoviendo aún más el progreso de la topología.
Desde el siglo XX, la teoría de conjuntos se ha introducido en la topología, abriendo una nueva mirada a la topología. La topología se convierte en el concepto correspondiente a cualquier conjunto de puntos. Algunos problemas de topología que requieren una descripción precisa se pueden analizar mediante conjuntos.
Debido a que una gran cantidad de fenómenos naturales son continuos, la topología tiene la posibilidad de estar ampliamente conectada con diversas cosas prácticas. A través del estudio de la topología, podemos aclarar la estructura establecida del espacio y comprender la relación funcional entre espacios. Desde la década de 1930, los matemáticos han llevado a cabo investigaciones más profundas sobre topología y han propuesto muchos conceptos nuevos. Por ejemplo, conceptos como estructura consistente, distancia abstracta y espacio aproximado. Hay una rama de las matemáticas llamada geometría diferencial. Las herramientas diferenciales se utilizan para estudiar la curvatura de líneas y superficies cerca de un punto, y la topología estudia las conexiones globales de las superficies. Por tanto, debería existir alguna conexión esencial entre estas dos disciplinas. En 1945, el matemático chino Chen Shengshen estableció la conexión entre la topología algebraica y la geometría diferencial, promoviendo el desarrollo de la geometría global.
Hasta el día de hoy, la topología se ha dividido teóricamente en dos ramas. Una rama se centra en los métodos analíticos, llamados topología de conjuntos de puntos o topología analítica. Otra rama se centra en los métodos algebraicos y se llama topología algebraica. Ahora, las dos ramas tienen una tendencia unificada.
La topología se utiliza ampliamente en análisis funcional, teoría de grupos de Lie, geometría diferencial, ecuaciones diferenciales y muchas otras ramas de las matemáticas.