¿Qué es una ecuación en diferencias?

(Lo digo en serio...)

Un sistema de ecuaciones en diferencias es un sistema de ecuaciones formado por la unión de múltiples ecuaciones que contienen funciones desconocidas y sus derivadas.

Ecuación en diferencias

Descripción detallada:

Significado

La ecuación en diferencias es la discretización de la ecuación diferencial. Es posible que una ecuación diferencial no necesariamente dé una solución exacta. Al convertirla en una ecuación en diferencias, se puede obtener una solución aproximada.

Por ejemplo, dy+y*dx=0,y(0)=1 es una ecuación diferencial y el valor de x

(Nota: la solución es y(x )=e^( -x));

Para realizar la discretización de la ecuación diferencial, el intervalo de x se puede dividir en muchos intervalos pequeños

De esta manera, lo anterior La ecuación diferencial se puede discretizar como:

y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0, k=0 ,1,2,...,n- 1 (n ecuaciones discretas)

Usando la condición de y(0)=1 y la ecuación en diferencias anterior, el valor aproximado de y(k/n) se puede calcular.

§1 Teoría básica

Ecuación de diferencia

1. Diferencia

2 Para cualquier secuencia {xn}, defina el operador de diferencia. Δ De la siguiente manera:

Δxn=xn+1-xn

Aplicar el operador de diferencia a la nueva secuencia, tenemos

Δ2xn=Δ(Δkxn).

Propiedades

Propiedades 1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn

Propiedades 2 Δk(cxn)=cΔkxn

Propiedades 3 Δkxn= ∑(-1)jCjkXn+k-j

Propiedad 4 El término general de la secuencia es una función infinitamente diferenciable de n. Para cualquier k>=1, existe eta, y Δkxn=f(. k)(η)

Ecuación en diferencias

Definición 8.1 Ecuación Ecuación en diferencias de orden K sobre la secuencia:

xn-a1xn-1-a2xn-2- ……aBxn- k=b(n=k,k+1,...)

Donde a1, a2, ------ak son constantes, ak≠0. , entonces la ecuación es Ecuación homogénea

Ecuación algebraica sobre λ

λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0

es la ecuación característica correspondiente de , las raíces son los valores propios.

Editar este párrafo

1. Contenido experimental y ejercicios

2.1 Diferencia

Ejemplo 1 Xn={n3}, encuentra las series de diferencias de cada orden:

xn △xn △2xn △3xn △4xn

1 7 12 6 0

8 19 18 6 0

27 37 24 6 0

64 61 30 6

125 91 36

216 127

343

Se puede observar que {n3}, la fracción en diferencias de tercer orden es una secuencia constante y el cuarto orden es 0.

Ejercicio 1 Para {1}, {n}, {n2}, {n4}, {n5}, encuentra las series de diferencias de cada orden.

Ejercicio 2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1}, {C4n-1}, encuentra las series de diferencias de cada orden

La general de {. Xn} El término es una función cúbica de n,

Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0

Demuestra que es una secuencia constante.

Demuestre que Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0 se puede calcular directamente.

Teorema 8.1 Si el término general de la secuencia es un polinomio de grado k con respecto a n, entonces la fracción de diferencia de orden k es una secuencia distinta de cero, y la k+1-ésima la fracción de diferencia de orden es 0.

Ejercicio 3 Demuestra el teorema 8.1.

Teorema 8.

2 Si la interpolación de k-ésimo grado de {Xn} se divide en una secuencia constante distinta de cero, entonces {Xn} es un polinomio de k-ésimo grado de n,

Ejercicio 4 Demuestre el teorema 8 basado en las propiedades de las diferencias. 2

Ejemplo 2. Encuentre ∑i3

Ejemplo 4

Supongamos que Sn=∑i3 Tabla

Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn

1 8 19 18 6 0

9 27 37 24 6 0

36 64 61 30 6 0

100 125 91 36 6 0

225 216 127 42

441 343 169

784 512

1296

Supongamos Sn=a4n4+a3n3+a2n2+ a1n+ a0,s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225, obtenemos

a0=0,a1=0,a2=1/4,a3=1/ 2 ,a4=1/4.

Entonces, Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2

Practica {Xn} El general. término

2.2 Ecuación en diferencias

Para una ecuación en diferencias, si puedes encontrar un término general de la secuencia e incorporarlo a la ecuación en diferencias, la ecuación se convierte en una identidad. se llama solución en diferencias de la ecuación.

Ejemplo 3 Para la ecuación en diferencias xn-5xn-1+6xn-2=0, se puede verificar directamente que xn=c13n+c22n es la solución de esta ecuación.

La solución del ejemplo 3 contiene constantes arbitrarias y el número de constantes arbitrarias es el mismo que el orden de la ecuación en diferencias. Esta solución se llama solución general de la ecuación en diferencias.

Si a la ecuación en diferencias de orden k se le dan los valores de los primeros k términos de la secuencia, entonces se puede determinar cualquier constante de la solución general y la solución especial de la diferencia.

se puede obtener.

Ejemplo 4: Para la ecuación diferencial xn-5xn-1+6xn-2=0, si se conoce x1=1, x2=5, la solución especial de la ecuación diferencial se puede obtener como xn= 3n-2n .

Primero estudiamos la solución de ecuaciones en diferencias lineales homogéneas.

xn=rxn-1

Para la ecuación en diferencias de primer orden

x1=a

Obviamente xn=arn-1. Por lo tanto, si una secuencia satisface una ecuación en diferencias de primer orden, entonces la secuencia es una secuencia geométrica.

Ejemplo 5 Encuentra el término general de la secuencia de Fibonacci {Fn}, donde F1=1, F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2

Los primeros. de la secuencia de Fibonacci Los elementos son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…. Esta secuencia tiene una gama muy amplia de aplicaciones.

La ecuación en diferencias que satisface la secuencia de Fibonacci es Fn-Fn-1-Fn-2=0,

La ecuación característica es λ2-λ-1=0

Las raíces son λ1=, λ2= Usando λ1λ2, la ecuación en diferencias se puede escribir como

Fn-(λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0,

Es decir, Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)

La secuencia {Fn-λ1Fn-1} satisface una ecuación en diferencias de primer orden. Obviamente ( )

Del mismo modo, podemos obtener ( )

El término general de se puede resolver a partir de las dos ecuaciones anteriores.

Ejercicio 9 Demuestra que si la secuencia { } satisface la ecuación en diferencias de segundo orden, y su ecuación característica consta de dos raíces desiguales, entonces existen dos soluciones especiales de la ecuación en diferencias. Así es su interpretación general.

Del ejercicio 9, si la ecuación característica de la ecuación en diferencias de segundo orden tiene dos raíces desiguales, se puede escribir la fórmula general de su solución general. Luego, los coeficientes se pueden resolver con base en el valor de y se puede escribir la solución especial de la ecuación en diferencias.

Ejercicio 10 Encuentra concretamente el término general de la sucesión de Fibonacci y pruébalo.

Entonces, si una ecuación en diferencias lineal homogénea de segundo orden tiene dos raíces iguales, ¿cómo encontrar su solución?

Supongamos que la ecuación característica de la ecuación en diferencias lineal homogénea de segundo orden tiene dos raíces iguales, entonces la ecuación en diferencias se puede escribir como. Dividiendo ambos lados de la ecuación en diferencias por , tenemos. Supongamos, entonces (n>=3). Dado que esta fórmula es válida para n>=3, la reescribimos como (n>=1). (8.2)

El lado izquierdo de la ecuación (8.2) es la diferencia de segundo orden de , entonces tenemos, entonces es una función lineal de n, si es , entonces tenemos. Lo anterior es la solución general de la ecuación en diferencias.

Ejercicio 11 Demuestre: Si la ecuación característica de la ecuación en diferencias de tercer orden satisfecha por la secuencia { } tiene tres raíces iguales, entonces la solución general de la ecuación en diferencias es.

Generalmente, sean ··· todas las diferentes soluciones de la ecuación característica de la ecuación en diferencias, y sus multiplicidades son ···, , entonces la ecuación en diferencias corresponde a las raíces (i=1, 2 ,···, solución especial de l)···.

Para la ecuación en diferencias lineal homogénea general de orden k, podemos obtener k soluciones especiales de la forma anterior a través de su ecuación característica, y luego obtener la solución general de la ecuación en diferencias.

Ejercicio 12 Si la sucesión { } satisface la ecuación en diferencias

y encuentra el término general de { }.

Ejemplo 6 Si la raíz de la ecuación en diferencias con coeficientes reales es un número imaginario, su solución también se expresa en números imaginarios, lo que trae inconvenientes a la discusión. El valor propio de la ecuación en diferencias

xn-2xn-1+4xn-2=0

es i. Si x1=1, x2=3, se puede obtener fácilmente mediante siguiente programa La solución especial es:

xn=( )(1+ i)n+(-)(1- i)n

Clear

l1; =l/ .solución];

l2=l/.solución];

c=Resolver

l1=1/.solución]; p>

l2=l/.solution];

Asigna las dos raíces de la ecuación l^2-2l+4==0 a l1 y l2 respectivamente. 2. c= Resolver[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}]; ,c2}= {c1,c2}/.c[[1]];

Establece el sistema de ecuaciones {c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2* l2^2==x2 } asigna la solución a c1 y c2

3.c1=Simplificar[Re[c1]]+Simplificar]*I

Simplifica el número complejo c1. .