¿Qué es la transformada de Fourier?
Aquí no hay un estudio en profundidad ni una derivación de fórmula matemática. Sólo queremos explicar brevemente al público qué es la transformada de Fourier. Lo más sorprendente de la transformada de Fourier es que puede transformar señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, así que primero expliquemos qué son el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.
①Dominio del tiempo
El dominio del tiempo describe la relación entre funciones matemáticas o señales físicas y el tiempo. Por ejemplo, la forma de onda en el dominio del tiempo de una señal puede representar cambios en la señal a lo largo del tiempo. Por ejemplo, en el siguiente diagrama en el dominio del tiempo, la vibración se repite cinco veces en 1 segundo, con una frecuencia de 5 y una amplitud máxima de 1. El gráfico completo describe el valor de la señal en cada momento:
②Dominio de frecuencia
El dominio de frecuencia es un sistema de coordenadas utilizado para describir las características de una señal en frecuencia. Un gráfico en el dominio de la frecuencia muestra el número de señales en cada banda de frecuencia determinada dentro de un rango de frecuencia. El diagrama anterior en el dominio del tiempo se expresa en el dominio de la frecuencia, como se muestra a continuación. La abscisa representa la frecuencia y la ordenada representa la amplitud. Este diagrama muestra una onda con frecuencia 5 y amplitud 1.
Además, la representación en el dominio de la frecuencia también puede incluir la fase de cada sinusoide, permitiendo recombinar los componentes de la frecuencia para recuperar la señal temporal original. Diferentes fases determinan la posición de la onda, y la fase es muy importante para recuperar la información del dominio de la frecuencia a la información del dominio del tiempo.
La diferencia de fase entre las ondas sinusoidales roja y azul es θ.
Transformada de Fourier
Primero resaltemos la fórmula general de Fourier. ("Fórmula fobia", por favor cierra los ojos y deslízate...)
La transformada de Fourier, como su nombre indica, significa que funciones que cumplen ciertas condiciones se pueden expresar como combinaciones lineales de funciones trigonométricas o sus integrales. . En pocas palabras, recorre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia y puede descomponer infinitamente cualquier forma de señales periódicas en múltiples señales regulares de onda sinusoidal simple. Una onda sinusoidal es la proyección de un movimiento circular en línea recta, por lo que la unidad básica del dominio de la frecuencia también puede entenderse como un círculo que siempre está girando. )
Animación circular de onda cuadrada de la serie de Fourier
Por ejemplo, la forma de onda siguiente también es regular y se puede descomponer en la superposición de varios grupos de ondas.
En otras palabras, la transformada de Fourier puede descomponer una onda compleja en un conjunto de ondas regulares y simples. Luego, estas ondas regulares se describen en el dominio de la frecuencia para obtener el diagrama de líneas del espectro de la onda completa.
Como se muestra en la figura siguiente, la señal de onda cuadrada observada en el dominio del tiempo es la superposición de varias señales sinusoidales. Cuando se utiliza el tiempo como eje horizontal, se puede ver la imagen en el dominio del tiempo obtenida por la acumulación de estas señales, y desde otro ángulo, cuando se utiliza la frecuencia como coordenada, se pueden obtener pulsos de diferentes frecuencias. La transformación de una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia es la transformada de Fourier directa, y la representación del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo es la transformada de Fourier inversa. Por lo tanto, el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia representan la misma información desde perspectivas completamente diferentes. (De repente quiero memorizar un poema: Mirando de lado, la ladera de la montaña se convierte en un pico, diferente de cerca y de lejos...)
Muchas operaciones que parecen imposibles en el dominio del tiempo son muy fáciles en el dominio de la frecuencia. Aquí es donde se requiere una transformada de Fourier. En particular, eliminar ciertos componentes de frecuencia de una curva, lo que en ingeniería se llama filtrado, es uno de los conceptos más importantes en el procesamiento de señales y sólo se puede lograr fácilmente en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, en el procesamiento de imágenes, los términos de baja frecuencia determinan la forma general de la imagen y los términos de alta frecuencia proporcionan detalles. Controlando el filtro, se puede filtrar información en diferentes frecuencias, determinando así el efecto de la imagen de salida.