¿Por qué la Sociedad de Álgebra China Antigua formuló la idea de algoritmos? ¿Qué impacto tendrá en las generaciones futuras?
De la historia del cálculo, ¿podemos saber que el surgimiento del cálculo es el resultado de encontrar un algoritmo universal para resolver una serie de problemas prácticos? 6?. Estos problemas incluyen: determinar la velocidad instantánea de un objeto, encontrar los valores máximo y mínimo, encontrar la tangente a una curva, encontrar el centro y el centro de gravedad de un objeto y calcular el área y el volumen. Durante más de 100 años, desde mediados del siglo XVI, muchos grandes matemáticos trabajaron para obtener algoritmos especiales para resolver estos problemas. La contribución de Newton y Leibniz fue unificar estos algoritmos especiales en dos operaciones básicas: diferencial e integral, y señalar además su relación recíproca. Ya fueran los pioneros de Newton o el propio Newton, los algoritmos que utilizaron no fueron rigurosos y no hubo una derivación completa. Los defectos lógicos de las técnicas de flujo newtonianas son bien conocidos. Para los académicos de la época, la primera prioridad era encontrar un algoritmo eficiente, no probarlo. Esta tendencia continuó hasta el siglo XVIII. Los matemáticos del siglo XVIII a menudo lograron avances audaces a pesar de las dificultades en los conceptos básicos del cálculo. Por ejemplo, la fórmula de Taylor, Euler, Bernoulli e incluso la expansión del triángulo descubierta por Fourier a principios del siglo XIX han carecido durante mucho tiempo de pruebas rigurosas. Como señaló von Neumann: Ningún matemático consideraría el desarrollo de este período como una herejía; los logros matemáticos producidos en este período son reconocidos como de primer nivel. Por otro lado, si los matemáticos de entonces tuvieran que admitir la racionalidad del nuevo algoritmo después de rigurosas pruebas deductivas, hoy no existiría el cálculo ni todo el edificio del análisis.
Ahora nos fijamos en el nacimiento de la geometría analítica temprana. En general, se cree que la idea básica detrás de la invención de la geometría analítica por parte de Descartes fue utilizar métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Esto es bastante diferente de la deducción euclidiana. De hecho, si leemos la obra original de Descartes, encontraremos un profundo espíritu algorítmico recorriéndola. El capítulo inicial de "Geometría" declara: "Para volverme más inteligente, no dudaré en introducir términos aritméticos en la geometría". Como todos sabemos, la Geometría de Descartes fue un apéndice de su obra filosófica Discurso del método. En otra obra filosófica inédita, "Leyes para guiar el pensamiento" (en adelante, "Leyes"), Descartes criticó duramente los métodos de investigación tradicionales, principalmente los métodos griegos, y creía que el razonamiento deductivo de los antiguos griegos sólo podía utilizarse para demostrar lo que que ya sabemos “no nos ayuda a descubrir lo que no sabemos”. Por ello, propuso "la necesidad de un método para descubrir la verdad" y lo llamó "universo matemático". Descartes describió este modelo para las matemáticas ordinarias en "Las Leyes". Su audaz plan era, en pocas palabras, transformar todos los problemas científicos en problemas matemáticos de resolución de ecuaciones algebraicas:
Cualquier problema → Problema de matemáticas → Problema de álgebra → Solución de ecuaciones. La geometría de Descartes es la realización y demostración concreta de su esquema antes mencionado. La geometría analítica juega un papel importante como herramienta en el esquema general, convirtiendo todos los problemas geométricos en problemas algebraicos que pueden resolverse de forma sencilla, casi automática o más bien mecánica. Esto está en consonancia con la ruta de resolución de problemas de los antiguos matemáticos chinos presentada anteriormente.
Por lo tanto, tenemos todas las razones para decir que el ritmo de las matemáticas orientales, especialmente las matemáticas chinas, tuvo eco en la gran marea desde el Renacimiento hasta el surgimiento de las matemáticas modernas en el siglo XVII. Todos los siglos XVII y XVIII deben considerarse como una época heroica para encontrar algoritmos infinitesimales, aunque los algoritmos infinitesimales de este período supusieron un salto cualitativo en comparación con los algoritmos de la Edad Media. Sin embargo, a partir del siglo XIX, y especialmente desde los años 1970 hasta mediados del siglo XX, la tendencia deductiva volvió a afianzarse a un nivel muy superior a la geometría griega.
Por lo tanto, el desarrollo de las matemáticas presenta un proceso en el que dos corrientes principales, la creación de algoritmos y la prueba deductiva, prosperan y se espiralizan alternativamente:
Tradición deductiva-actividad de demostración de teoremas
Tradición algorítmica-creación de algoritmos actividad
Los antiguos matemáticos chinos hicieron grandes contribuciones a la formación y desarrollo de la tradición algorítmica.
Hacemos hincapié en la tradición algorítmica de las matemáticas chinas antiguas, lo que no significa que las matemáticas chinas antiguas no tengan tendencias deductivas. De hecho, en los trabajos de algunos matemáticos de las dinastías Wei, Jin, del Sur y del Norte, ya existen argumentos bastante profundos. Por ejemplo, ¿la prueba del teorema de Pitágoras de Zhao Shuang, la "cría de caballos" de Liu Hui? La prueba del volumen de un cono rectangular, la derivación de la fórmula para el volumen de una esfera por parte de Zu Chongzhi y su hijo, etc. , comparable al trabajo correspondiente de los antiguos matemáticos griegos. El prototipo de "diagrama de cuerdas" del diagrama de prueba del teorema de Pitágoras de Zhao Shuang ha sido adoptado como emblema del Congreso Internacional de Matemáticos de 2002. Lo que resulta desconcertante es que con el fin de las dinastías del Norte y del Sur, se puede decir que esta tendencia controvertida llegó a un final abrupto. Debido a limitaciones de espacio y al enfoque de este artículo, este aspecto no se puede desarrollar aquí. ¿Los lectores interesados pueden consultarlo? 3?.
3 Aplicar el pasado al presente, innovar y desarrollar
En el siglo XX, al menos desde mediados del siglo XX, la aparición de los ordenadores electrónicos tuvo un profundo impacto en el desarrollo de las matemáticas, dando origen a una serie de Logros notables, como la teoría del solitón, la dinámica del caos, la demostración del teorema de los cuatro colores, etc. Con la ayuda de computadoras y algoritmos efectivos, podemos adivinar y descubrir nuevos hechos, generalizar y probar nuevos teoremas e incluso realizar razonamientos automáticos más generales... Se puede decir que estos han revelado un nuevo auge algorítmico en la historia de las matemáticas. El gran comienzo de la era. Personas entusiastas y conocedoras de la comunidad científica ya han previsto esta tendencia en el desarrollo de las matemáticas. En nuestro país, ya en la década de 1950, el profesor Hua dirigió personalmente el establecimiento de un grupo de investigación en informática, sentando las bases para el desarrollo de la informática y las matemáticas en nuestro país. A mediados de la década de 1970, el profesor Wu Wenjun pasó resueltamente del campo inicial de la topología al estudio de la demostración mecánica de teoremas y comenzó un nuevo campo de las matemáticas modernas: la mecanización matemática. El método de mecanización matemática se conoce internacionalmente como "Método Wu", lo que coloca a mi país en una posición de liderazgo en el campo de la mecanización matemática. Como dijo el propio profesor Wu Wenjun: "La mecanización de la demostración de teoremas geométricos se puede encontrar en todo, desde el pensamiento hasta los métodos, al menos en las dinastías Song y Yuan. Su trabajo se inspiró "principalmente en las antiguas matemáticas chinas". El "Método Wu" es el desarrollo de la esencia de la algoritmización y mecanización de las matemáticas chinas antiguas.
Bajo la influencia de las computadoras, la tendencia de desarrollo de los algoritmos ha despertado naturalmente el interés de algunos académicos extranjeros en la tradición algorítmica de las matemáticas chinas antiguas. Ya a principios de la década de 1970, el famoso informático D.E. Knuth llamó la atención sobre los antiguos algoritmos chinos e indios. 5?. A lo largo de los años se han logrado algunos avances en esta área, pero en general todavía es necesario mejorar. Como todos sabemos, la antigua cultura china, incluidas las matemáticas, se extendió hacia Occidente a través de la famosa Ruta de la Seda, y la región árabe fue un importante punto de tránsito para la difusión de esta cultura. Algunas obras árabes existentes sobre matemáticas y astronomía contienen algunos conocimientos de matemáticas y astronomía chinas. Por ejemplo, hay un número considerable de problemas matemáticos en el famoso libro de Al Kesey "La clave de la aritmética" que muestran directa o indirectamente su origen chino. Según el relato de Al Cassie, había muchos eruditos de China en el observatorio donde trabajaba.
Sin embargo, durante mucho tiempo, debido a la influencia del "centrismo occidental", especialmente el "centrismo griego" y las barreras lingüísticas, la información relevante no se ha explorado muy lejos. Con el fin de revelar completamente la relación entre las matemáticas orientales y el Renacimiento matemático europeo, el profesor Wu Wenjun asignó especialmente fondos especiales del más alto premio científico nacional que recibió para establecer el "Fondo de la Ruta de la Seda de Matemáticas y Astronomía de Wu Wenjun" para alentar y apoyar a los jóvenes académicos. llevar a cabo investigaciones en profundidad en este campo es de gran importancia.