¿Por qué un grupo cíclico debe ser un grupo conmutativo?
El motivo está compuesto por su propio conjunto G y operaciones binarias. Además de satisfacer los axiomas generales del grupo, es decir, la ley asociativa de operaciones, G tiene elementos identidad y todos los elementos de G tienen elementos inversos, también satisface el axioma de la ley conmutativa. Debido a que la operación de grupo del grupo abeliano satisface la ley conmutativa y la ley asociativa, el valor del producto de los elementos del grupo no tiene nada que ver con el orden de las operaciones de multiplicación.
El concepto de grupo abeliano es uno de los conceptos básicos del álgebra abstracta. Sus objetos básicos de investigación son los módulos y los espacios vectoriales. La teoría de los grupos abelianos es más simple que la de otros grupos no abelianos. Los grupos abelianos finitos han sido estudiados a fondo. La teoría de los grupos abelianos infinitos es un área de investigación en curso. De forma similar a las dimensiones de los espacios vectoriales, todos los grupos abelianos tienen rango.
Información relacionada
En términos generales, el símbolo de multiplicación es un símbolo común para grupos y el símbolo de suma es un símbolo común para módulos. La notación aditiva también se puede utilizar para enfatizar que los grupos abelianos son grupos específicos cuando se consideran grupos tanto abelianos como no abelianos. Esto es válido porque si es un grupo abeliano, entonces gi?gj = gj?gi. Esto implica que la (i, j)ésima entrada es igual a la (j, i)ésima entrada, lo que significa que esta representación es simétrica con respecto a la diagonal principal.
Comprueba que el grupo finito es un grupo abeliano y podrás construir una tabla (matriz) similar a la tabla de multiplicar, que se llama tabla de Cayley. Si el grupo G = {g1 = e, g2, ..., gn} está en operación, entonces la (i, j)ésima entrada de esta tabla contiene el producto gi?gj. Un grupo es un grupo abeliano si y sólo si la tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal (es decir, la matriz es simétrica).