¿Qué es el teorema de Cauchy? ¿Para qué sirve?
El teorema del valor medio de Cauchy es una extensión del teorema del valor medio de Lagrange y es uno de los teoremas básicos del cálculo diferencial.
Teorema del valor medio de Cauchy
Cauchy
Supongamos que las funciones f(x), g(x) satisfacen
⑴ Continua en la intervalo cerrado [a, b];
⑵ Diferenciable en el intervalo abierto (a, b
⑶ Para cualquier x∈ (a, b) Si g'(x) ≠0,
existe ξ∈(a,b), tal que
[f(b)-f(a)]/[g(b )-g(a )]=f'(ξ)/g'(ξ)
Prueba:
Como función auxiliar F(x)=f(x)-[f (a)- f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
Obviamente, F(a)=F(b)=[f(a)g (b)- f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
Según el teorema del valor medio de Rolle: existe ξ∈(a,b), tal que F'( ξ)=0.
Entonces F'(ξ)=f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a) -g( b)]=0, es decir, f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
La proposición está probada.
Relación con el teorema de Lagrange:
En el teorema del valor medio de Cauchy, si se toma g(x)=x, la forma de conclusión es la misma que la del teorema del valor medio de Lagrange. La conclusión es de la misma forma.
Por lo tanto, el teorema del valor medio de Lagrange es un caso especial del teorema del valor medio de Cauchy; a la inversa, el teorema del valor medio de Cauchy puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio de Lagrange.
Significado geométrico:
Si u=f(x), v=g(x), esta forma puede entenderse como una ecuación paramétrica, y [f(a)-f ( b)]/[g(a)-g(b)] es la pendiente del punto final de la curva del parámetro de conexión, f'(ξ)/g'(ξ) representa la pendiente tangente en un cierto punto de la curva, bajo las condiciones del teorema, se pueden entender de la siguiente manera:
Existe al menos un punto en la curva representada por una ecuación paramétrica, y su tangente es paralela a la cuerda donde se ubican los dos puntos extremos.
Uso para juzgar la monotonicidad de una función:
La monotonicidad de una función es el aumento o disminución de una función. ¿Cómo podemos juzgar el aumento o disminución de una función?
Sabemos que si una función aumenta (o disminuye) monótonamente en un determinado intervalo, la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en ese intervalo es positiva (o negativa), es decir, la derivada de la función en este intervalo Todas toman valores positivos (o valores negativos). Por lo tanto, podemos determinar el aumento o disminución de la función determinando el signo de la derivada de la función.
Ejemplo 1 Supongamos. f(0)=0, f(x) en Aumenta monótonamente en (0, +∞). Prueba: f(x)x aumenta monótonamente en (0, +∞).
Prueba: Según Según el teorema del valor medio de Cauchy, se puede concluir que f(x)x= f(x)-f(0)x-0=f′(ξ)1=f′(ξ), 0<;ξ
Observa atentamente la forma de la expresión del teorema del valor medio de Cauchy, puedes ver que la razón de dos expresiones funcionales se puede convertir en la razón de las derivadas de dos funciones en condiciones de movimiento. De esta manera, es posible realizar la función representada por el numerador y denominador de una fracción no formulada. Usaremos el teorema del valor medio diferencial como teoría basada, a través de la derivación, en un método simple y efectivo para encontrar límites no indeterminados. se establece el siguiente teorema:
⑴Las dos funciones f(x) y g(x) que están en el intervalo abierto (a, b) son derivables, y en este intervalo abierto, la derivada de. g(x) no es igual a 0;
⑵Hay un límite limx→a+0f′(x)g′(x)= A, donde A es una constante finita. Entonces, en los siguientes casos. : limx→a+0f(x)=0 y limx→a+0g(x)=0 o limx→a+0g(x)=∞ Entonces hay: limx→a+0f(x)g(x) =limx→a+0f′(x)g′(x)=A. A su vez, existe un resultado similar en el otro punto final del intervalo. Este teorema se llama ley de Robida y se puede aplicar eficazmente a cálculos de límites no formulados. .
La regla de Lópida se puede aplicar a 7 cálculos de límites no formulados, y solo hay dos formas no formuladas más básicas: 00 y Todos conocemos los tipos ∞∞.00 y ∞∞, por lo que no los introduciremos. aquí Otros tipos indefinidos se pueden transformar en estas dos formas:
①0; ∞ tipo.
A través de la identidad: f(x)·g(x)=f(x). )1g(x), se obtienen las dos formas básicas de 00 o ∞∞.
Tipo ②∞-∞
A través de la identidad: f(x)-g(x). )=1g(x)-1f(x)1f(x)×1g(x), obtenemos el tipo 00.
③00,∞0,1∞ tipo.
A través la identidad f(x)g(x)=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x), obtenemos 00-∞, ∞-∞, 00, ∞0, 1∞ tipo. Luego transfórmalo aún más en las dos formas básicas de 00 o ∞∞.
Para las formas no finalizadas de las dos formas básicas, aplique directamente Luobei. Es suficiente para alcanzar la regla, que se expresa como limf(x )g(x)=limf′(x)g′(x)=A.
Obviamente las condiciones en este momento son f′(x), g ′(x) existen y g′ (x)≠0 Hay otro lugar que no es muy obvio, por lo que los principiantes a menudo cometen errores, que es exigir que f (x) y g (x) tengan 0 o ∞ como límites al mismo tiempo. Al resolver el problema, asegúrese de verificar estas tres condiciones en cualquier momento; de lo contrario, definitivamente cometerá errores.
Ejemplo 2 Prueba: limx→x1-ex=-1.
Demuestre que sea t=x, cuando x→, hay t→, entonces podemos obtener:
limx→x1-ex=limx→t1-et= limx→ 1-et=-1. Derivación de la fórmula de la mediana Ejemplo 3 Supongamos que f(x) es dos veces diferenciable en el intervalo abierto (a, b), demuestre: para cualquier x, x0∈(a, b), existe existe ξ ∈ (x, x0), de modo que f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x
0)+12f″(ξ)(x-x0)2 se cumple (esta es la expansión de primer orden de la fórmula de Taylor).
La prueba se puede ver en la pregunta, y solo necesitamos probar el caso de x>x0 Sea
F(x)=f(x)-f(x0)-f′(x0)(x-x0), G(x)=12(x-). x0)2.
Por derivación, podemos obtener F′(x)=f′(x)-f′(x0), G′(x)=x-x0.
Debido a que F(x0)=G(x0 )=0, F′(x0)=G′(x0)=0 aplicado al teorema del valor medio de Cauchy dos veces, podemos obtener:
f(x )-f(x0)-f(x0)( x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0 )=F′(η)G′(η) =F′(η)-F′(x0)G′(η)-G′(x0)=F″(ξ)G″(ξ)=F″( ξ).
Donde η ∈ (x, x0), ξ∈ (x0, η), entonces f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+12f ″(ξ)(x-x0)2 está probada. Entonces la proposición está probada Estudia algunas características de la función ⑴ Prueba la existencia del punto mediano
Ejemplo 4[1] Supongamos que la función f es. continua en el intervalo [a, b], en (a, b ), entonces ?ξ∈(a, b), tal que f(b)-f(a)=ξlnbaf′(ξ).
Prueba Supongamos que g(x)=lnx, obviamente En [a, b], junto con f, se satisfacen las condiciones del teorema del valor medio de Cauchy, entonces existe ξ∈(a, b), tal que f(b )-f(a)lnb-lna=f′(ξ)1ξ, es decir, existe ξ∈(a,b) hace f(b)-f(a)=ξf′(ξ)lnba.
⑵Demostrar la identidad
Ejemplo 5 Demostración: arcsinx+arccosx= π2, x∈[0, 1].
Demostrar que si f(x)=arcsinx+arccosx , entonces f′(x)=11-x2-11-x2≡0,?x∈(0 , 1), ya que f(x) es continua en [0, 1], entonces f(x)≡f(0 )=π2.