Historial de puntos dobles
En el siglo III a.C., Arquímedes de la antigua Grecia implicaba conceptos modernos al estudiar y resolver problemas como el área de un arco parabólico, el área de una esfera y una corona esférica, el área bajo una espiral y el volumen de una hipérbola giratoria La idea del cálculo integral. La teoría de los límites, como base del cálculo diferencial, ha sido claramente discutida ya en la antigüedad.
Por ejemplo, el libro "Zhuangzi" escrito por Zhuang Zhou de nuestro país registra que "un pie de espacio se puede usar inagotablemente" Liu Hui durante el período de los Tres Reinos mencionado en su "Cut the Circle". "Corta el círculo" Adelgaza, pierde menos y vuelve a cortar, ni siquiera la circunferencia y el cuerpo se dañarán."
Estos son conceptos extremos simples y típicos. En el siglo XVII, había muchos problemas científicos que debían resolverse, y estos problemas se convirtieron en los factores que llevaron a la creación del cálculo.
En resumen, existen cuatro tipos principales de problemas: El primer tipo es el problema que surge directamente al aprender educación física, es decir, el problema de encontrar la velocidad instantánea. El segundo tipo de problema consiste en encontrar la tangente de una curva.
El tercer tipo de problema consiste en encontrar los valores máximo y mínimo de una función. La cuarta pregunta es encontrar la longitud de la curva, el área encerrada por la curva, el volumen encerrado por la superficie curva, el centro de gravedad del objeto y la gravedad de un objeto bastante grande que actúa sobre otro objeto.
Muchos matemáticos, astrónomos y físicos famosos del siglo XVII realizaron muchos trabajos de investigación para resolver los problemas anteriores, como la rejilla de Fermat, Descartes, Robois y Gerard Descha. Los británicos Barrow y Wallis; el alemán Kepler; los italianos Cavalieri y otros han propuesto muchas teorías fructíferas. Contribuyó a la creación del cálculo.
En la segunda mitad del siglo XVII, el gran científico británico Newton y el matemático alemán Leibniz estudiaron y completaron de forma independiente la creación del cálculo en sus respectivos países basándose en el trabajo de sus predecesores, aunque esto fue sólo Un trabajo muy preliminar. Su mayor logro es conectar dos problemas aparentemente no relacionados, uno es el problema de la tangente (el problema central del cálculo diferencial) y el otro es el problema de la cuadratura (el problema central del cálculo integral).
Newton y Leibniz establecieron el cálculo a partir de lo intuitivo infinitesimal, por lo que esta disciplina también fue llamada en sus inicios análisis infinitesimal, de donde también deriva el nombre de la actual rama de las matemáticas. El estudio del cálculo de Newton se centró en la cinemática, mientras que Leibniz se centró en la geometría.
Newton escribió "El método del flujo y las series infinitas" en 1671, que no se publicó hasta 1736. En este libro, Newton señaló que las variables se producen por el movimiento continuo de puntos, líneas y planos, negando su creencia anterior de que las variables son objetos estáticos de elementos infinitesimales. Llamó flujo a las variables continuas, y las derivadas de estos flujos se denominaron números de flujo.
El problema central de Newton en la tecnología de flujo es: conocer la trayectoria del movimiento continuo, encontrar la velocidad en un momento dado (método diferencial, dada la velocidad del movimiento, encontrar la distancia recorrida en un tiempo dado (); método de integración). Leibniz de Alemania fue un erudito. En 1684 publicó lo que se considera el documento de cálculo más antiguo del mundo. Este artículo tiene un nombre muy largo y extraño: Un nuevo método para encontrar máximos y tangentes, aplicable tanto a fracciones como a números irracionales, y a un curioso tipo de cálculo de este nuevo método.
Es un artículo con un razonamiento vago, pero tiene un significado trascendental. Ya contiene notación diferencial moderna y leyes diferenciales básicas.
En 1686, Leibniz publicó el primer documento sobre cálculo integral. Fue uno de los mayores estudiosos de la semiótica de la historia. Los símbolos que creó eran muy superiores a los símbolos de Newton y tuvieron una gran influencia en el desarrollo del cálculo.
La notación universal para el cálculo que utilizamos ahora fue cuidadosamente elegida por Leibniz en aquel momento. El establecimiento del cálculo impulsó en gran medida el desarrollo de las matemáticas. Muchos problemas que en el pasado estaban fuera del alcance de las matemáticas elementales a menudo pueden resolverse utilizando el cálculo, lo que demuestra el extraordinario poder del cálculo.
Como se mencionó anteriormente, el establecimiento de una ciencia no es de ninguna manera el logro de una sola persona. Debe ser completado por una o varias personas mediante el esfuerzo de muchas personas y sobre la base de la acumulación de muchos logros. También lo hace el cálculo.
Desafortunadamente, mientras la gente apreciaba el magnífico papel del cálculo, cuando propusieron quién fue el fundador de esta materia, en realidad causó un descarado * * * que causó revuelo en el continente europeo. Rivalidad permanente entre matemáticos y matemáticos británicos. Las matemáticas británicas estuvieron cerradas al país durante un período de tiempo, limitadas por prejuicios nacionales y se adhirieron demasiado rígidamente al "conteo de flujo" de Newton, por lo que el desarrollo de las matemáticas se quedó atrás durante cien años completos.
De hecho, Newton y Leibniz estudiaron de forma independiente y los completaron aproximadamente al mismo tiempo. Lo que es más especial es que Newton fundó el cálculo unos 10 años antes que Leibniz, pero Leibniz publicó la teoría del cálculo tres años antes que Newton.
Su investigación tiene ventajas y desventajas. Debido a los prejuicios nacionales de la época, el debate sobre la prioridad de la invención duró más de 100 años desde 1699.
2. Calcular la integral doble 1 y la integral del cartel involucra el tema de la distribución normal y la función de error = función de error 2. Este integrando = integrando proviene de la física, la química y una suposición común en astronomía; es decir, homogeneidad = isotropía, es una función obtenida mediante la derivación rigurosa de análisis matemático e ideas físicas. 3. La integración específica implica convertir la integral única de una función de una variable en una integral doble a través de coordenadas polares. 4. Si no puede ver con claridad, haga clic para ampliar; 5. Si tiene alguna pregunta o duda, no dude en preguntar, responder y liberar cualquier duda.
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3. Historia de la fórmula 1 de Green. Las fórmulas más básicas del cálculo de una variable, las fórmulas de Newton y Leibniz, muestran que la integral definida de una función en un intervalo se puede expresar mediante los valores de la función original en los dos puntos finales del intervalo. Casualmente, la integral doble en la región plana también se puede expresar mediante la integral de curva a lo largo de la curva límite de la región. Esta es la fórmula de Green que vamos a presentar. 1. El concepto de región simplemente conexa se establece en un plano. De lo contrario, se denomina región multiconectada. En términos generales, una región simplemente conectada es una región sin "agujeros" (incluidos los "agujeros puntuales") ni "grietas". 2. La dirección de avance de la curva límite del área se define como la curva límite del área plana. La dirección de avance especificada es: cuando el observador camina en esta dirección, la parte que se encuentra cerca de él siempre está a su izquierda. En resumen, la dirección de la curva límite regional debe ser adecuada a las condiciones y la gente debe seguir esa dirección. El teorema de la fórmula de Green supone que el área cerrada está rodeada por curvas suaves por partes y que la suma de funciones tiene derivadas parciales continuas de primer orden, entonces hay una curva límite con (1), donde sí es positivo. La fórmula (1) se llama fórmula de Green. Se demuestra que la forma de la región hipotética es la siguiente (una línea recta paralela al eje pasa por la región y la intersección con la curva límite de la región es como máximo dos puntos). El área que se muestra en la Figura 2 es un caso especial del área que se muestra en la Figura 1, por lo que solo necesitamos probar el área que se muestra en la Figura 1. Por otro lado, de acuerdo con las propiedades integrales de la curva y el método de cálculo de las coordenadas, se supone que los puntos de intersección de las curvas límite de las líneas rectas que pasan por el área y son paralelas al eje son como máximo dos puntos. De manera similar se puede demostrar que lo tenemos y se cumple simultáneamente cuando los puntos de intersección de la curva límite de la región y cualquier recta que pase por el interior y sea paralela al eje de coordenadas (eje o eje) son como máximo dos. agujas. Al combinar las dos fórmulas, se obtiene la fórmula de Green. Nota: Si el área no cumple las condiciones anteriores, es decir, cuando la línea recta que pasa por el área y es paralela al eje de coordenadas se cruza con la curva límite en más de dos puntos, se pueden introducir una o varias curvas auxiliares en el área. área para dividirla en varias áreas locales, de modo que cada área local sea adecuada para las condiciones anteriores, aún se puede probar la fórmula de Green. La fórmula de Green comunica la relación entre integrales dobles e integrales de curva de coordenadas, por lo que se usa ampliamente. Si tomamos, entonces la fórmula de Green toma el área del área original como ejemplo para encontrar el área de la figura encerrada por la línea de estrella. Solución: Al cambiar de 2. La condición de que la integral de curva plana sea independiente de la trayectoria es 1. La definición de la integral de curva cuyas coordenadas son independientes de la trayectoria se define como una región abierta y una función de derivadas parciales continuas de primer orden. Si está dentro de dos puntos cualesquiera y dentro de una curva entre dos puntos cualesquiera, se llama dependencia de la trayectoria.
Por otro lado, de acuerdo con las propiedades integrales de la curva y el método de cálculo de las coordenadas, se supone que los puntos de intersección de las curvas límite de las líneas rectas que pasan por el área y son paralelas al eje son como máximo dos puntos. De manera similar se puede demostrar que lo tenemos y se cumple simultáneamente cuando los puntos de intersección de la curva límite de la región y cualquier recta que pase por el interior y sea paralela al eje de coordenadas (eje o eje) son como máximo dos. agujas. Al combinar las dos fórmulas, se obtiene la fórmula de Green. Nota: Si el área no cumple las condiciones anteriores, es decir, cuando la línea recta que pasa por el área y es paralela al eje de coordenadas se cruza con la curva límite en más de dos puntos, se pueden introducir una o varias curvas auxiliares en el área. área para dividirla en varias áreas locales, de modo que cada área local sea adecuada para las condiciones anteriores, aún se puede probar la fórmula de Green. La fórmula de Green comunica la relación entre integrales dobles e integrales de curva de coordenadas, por lo que se usa ampliamente. Si tomamos, entonces la fórmula de Green toma el área del área original como ejemplo para encontrar el área de la figura encerrada por la línea de estrella. Solución: Al cambiar de 2. La condición de que la integral de curva plana sea independiente de la trayectoria es 1. La definición de la integral de curva cuyas coordenadas son independientes de la trayectoria se define como una región abierta y una función de derivadas parciales continuas de primer orden. Si está dentro de dos puntos cualesquiera y dentro de una curva entre dos puntos cualesquiera, se llama dependencia de la trayectoria. La definición de uno también se puede reemplazar por la siguiente afirmación equivalente: Si la integral de la curva es independiente de la trayectoria, significa que la integral de la curva cerrada formada por en la región es cero. Por el contrario, si la integral de la curva a lo largo de cualquier curva cerrada en la región es cero, entonces se puede deducir fácilmente que la integral de la curva es independiente de la trayectoria. Definir una integral hiperbólica significa que para cualquier curva cerrada en una región, siempre hay. El teorema condicional de que la integral de la curva es independiente de la trayectoria supone que la región abierta es una región simplemente conexa y la función tiene una derivada parcial continua de primer orden. Entonces se cumple la condición necesaria y suficiente de que la integral de la curva interna sea independiente de la trayectoria. es que la ecuación es constante internamente. La suficiencia se prueba tomando cualquier curva cerrada hacia el interior, porque está simplemente conexa y todas las áreas encerradas por la curva cerrada están incluidas, por lo que es constante en el interior. Según la fórmula de Green, existe una definición 2. La integral de la curva interior es independiente del camino. La necesidad de volver a probar (usando la prueba por contradicción) supone que la ecuación interna no es una constante, entonces hay al menos un punto en ella, por lo que es posible suponer que hay un área circular con un radio lo suficientemente pequeño como el centro del círculo De esta manera, usando la fórmula de Green y las propiedades de las integrales dobles, el mundo siempre tiene una curva límite positiva. Sí, esta zona. Esto contradice la condición de que la integral de curva en cualquier curva cerrada sea cero. Por lo tanto, la ecuación interna siempre debe cumplirse. Nota: Las dos condiciones requeridas por el teorema son indispensables. Como contraejemplo, es una curva suave por tramos alrededor del origen, que viaja en sentido antihorario. Aquí, salvo el origen, existe, es continuo y está contenido dentro de un área cerrada. Hay tres fórmulas de Green para hacer un círculo con un radio suficientemente pequeño en el dominio complejo conectado encerrado por y. Si la integral de la curva no depende de la trayectoria en el dominio abierto, solo depende de las coordenadas de los puntos inicial y final de la curva. Se supone que el punto inicial y el punto final de la curva son , que pueden representarse mediante una marca o , sin necesidad de escribir explícitamente la ruta de integración. Obviamente, esta forma integral es muy similar a la integral definida. De hecho, tenemos el siguiente teorema importante: supongamos que una función es una región abierta simplemente conexa, en la que hay una derivada parcial continua de primer orden, y es una función de un solo valor, en la que es un punto fijo. En otras palabras, se demuestra que para cualquier punto con Para una curva con un punto inicial y un punto final, la integral de la curva no tiene nada que ver con la trayectoria y solo está relacionada con las coordenadas de su punto inicial y final. punto, es decir, de hecho es una función de un solo valor de un punto. Se demuestra que, dado que puede considerarse como una curva integral a lo largo de cualquier camino de un punto a otro, también se puede demostrar que el Teorema 2 es un dominio abierto simplemente conexo y que hay una derivada parcial continua de orden en la parte superior. entonces la función es completamente diferencial en la mitad interior. La condición requerida es una constante. Es obvio que la suficiencia del Teorema 1 es internamente continua si es necesario. Entonces la ecuación es adecuada para derivadas parciales mixtas de segundo orden, por lo que el teorema 3 es un dominio abierto simplemente conexo en el que la función tiene derivadas parciales continuas de primer orden. Si hay una función binaria, entonces son dos puntos cualesquiera en ella.
El Teorema 1 demuestra que la función es adecuada o por lo tanto (es una constante), es decir, debido a que un punto regresa al punto a lo largo de cualquier camino interno para formar una curva cerrada, el método para determinar la función diferencial total es porque.
5.¿Debería dx^2 ignorar Feliz Año Nuevo en la integral doble? ¡Feliz Festival de Primavera! Feliz año nuevo
1. = 2xdx
2. En integral doble, esta situación no ocurre. Cuando se deriva la fórmula integral,
(Δx)? Tomando el límite ya es cero.
3. En la actualidad, esta generación de ancianos y ancianas jubilados, así como sus profesores, profesores y enfermeros.
S, algunas ideas engañosas son populares, como (dx)? ¿Tenaz? 10. El cálculo ha sido rigurosamente probado por la ciencia, la ingeniería, la ciencia y la tecnología, y al menos se ajusta al análisis dimensional.
Sí. Pero los ignoramos y todavía nos aferramos a alguna teoría extraña que no encaja con el análisis dimensional. Debido a que las fuentes de estas declaraciones provienen todas de académicos destacados, todavía están en el mercado hoy en día. Se puede esperar con optimismo, y luego
Décadas más tarde, ya no deberíamos engañar a nuestros nietos, el precio ya lo hemos pagado nosotros.
Gracias.
4. Sería mejor si la pregunta del autor fuera más detallada.
6. Las integrales dobles y las integrales múltiples de números elevados se pueden resolver multiplicando la integral doble por dos integrales definidas.
¿Qué pasa si satisfaces d como x? ¿Y? Esto se puede resolver usando coordenadas polares, suponiendo x = x = rcosθy = rsinθθ y luego escribir los rangos de valores de r y θ. Sustitúyelos en el integrando. (Esto se aplica a cualquier integral doble). Para saber cómo dividir una integral doble en dos fracciones, primero dibuje el área D dada en la pregunta y luego dibuje una línea paralela al eje X o al eje Y en el área D. (Si X se integra primero, es una línea de dirección paralela) se cruzará primero.
(Si integras x primero, los límites superior e inferior de la integral deben representarse por y. Si acumulas y primero, debes expresarlo por x.) Luego sale una integral, ¿bien? Otro punto es simple. Por ejemplo, si integras x primero y luego y, los límites superior e inferior de la integral de y son el rango de valores de y en el área D, y el integrando es la primera integral.
Espero que puedas entenderlo.
7. ¿Por qué el producto de una integral doble es igual a una integral doble? Vea la imagen para más detalles. ¡Buena pregunta! La pregunta del cartel se puede explicar a la inversa y es fácil de entender: 1. Una integral doble es una integral de principio, que solo se puede integrar en una integral iterativa. Si se puede integrar depende de la forma del integrando y del orden; de integración es apropiado.
.2. Cuando una integral iterativa se puede integrar, las dos variables independientes tienden a integrarse de forma independiente, lo cual es causado por la factorización. Una vez que una variable independiente se descompone completamente, las variables independientes restantes se integran primero y luego se integran las variables descompuestas originales. Esto no es raro en integrales dobles.
El problema que menciona el cartel es este proceso inverso.