Ejercicios de funciones cuadráticas (versión original)
Ejemplo 1. Un atleta salta para lanzar una pelota a 4 metros de distancia de la canasta. La trayectoria de la pelota es una parábola. Cuando la distancia horizontal de la pelota es de 2,5 metros, alcanza la altura máxima de 3,5 metros y luego cae con precisión en la canasta. Se sabe que la distancia desde el centro del aro hasta el suelo es de 3,05 metros.
(1) Establezca el sistema de coordenadas rectangulares como se muestra en la figura y encuentre la fórmula analítica de la parábola;
(2) La altura del atleta es de 1,8 m. tiro en suspensión, el balón está a 0,25 por encima de su cabeza.
P: Cuando se suelta la pelota, ¿a qué altura del suelo salta?
Solución simple:
(1) Dado que el vértice de la parábola es (0, 3,5), su fórmula analítica se puede establecer como y=ax2+3,5. Como la parábola pasa por (1,5, 3,05), obtenemos a=-0,2. La fórmula analítica de la parábola es y=-0,2x2+3,5.
(2) Cuando x=-2,5, y=2,25. Cuando se suelta la pelota, su altura sobre el suelo es 2,25-1,8-0,25=0,20 (metro).
Comentario: Es común la aplicación de funciones cuadráticas utilizando la trayectoria de la pelota al lanzar, la trayectoria del cuerpo humano al lanzarse y el diseño de aberturas de puentes parabólicos. La solución de este tipo de problema generalmente se divide en los siguientes cuatro pasos:
(1) Establecer un sistema de coordenadas rectangulares adecuado (como se indica en la pregunta, no es necesario reconstruirlo
); (2) Según las condiciones dadas, encuentre los puntos conocidos en la parábola y escriba las coordenadas;
(3) Utilice las coordenadas de los puntos conocidos para obtener la fórmula analítica de la parábola. ① Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos, la fórmula general y=ax2+bx+c se puede utilizar para encontrar su fórmula analítica (2) Cuando las coordenadas del vértice son (k, h) y las coordenadas de otro punto; , la fórmula analítica se puede obtener desde el vértice y =a(x-k)2+h se obtiene ③Cuando las coordenadas de los dos puntos de intersección de la parábola y -x2) Obtenga la fórmula analítica;
(4) Utilice la fórmula analítica de la parábola para encontrar las coordenadas de los puntos relacionados con el problema, de modo que el problema pueda resolverse.
Ejemplo 2: un centro comercial compró un lote de artículos de primera necesidad por un precio unitario de 16 yuanes. A través de experimentos, se descubrió que si se vende a un precio de 20 yuanes por pieza, se pueden vender 360 piezas por mes, y si se vende a un precio de 25 yuanes por pieza, se pueden vender 210 piezas por mes. Supongamos que el número de piezas vendidas por mes y (piezas) es una función lineal del precio x (yuanes/pieza).
(1) Intente encontrar la relación entre y y x;
(2) Sin considerar factores como la cartera de productos, ¿cuál es el precio de venta con la mayor ganancia mensual? ¿Cuál es la ganancia mensual máxima?
Solución: (1) Supongamos y=kx+b según el significado de la pregunta, entonces existe
Entonces y =-30x+960 (16 ≤ x ≤ 32) .
(2) Beneficio mensual P=(-30x+960)(x-16)
=30(-x+32)(x-16)
= 30(+48-512)
=-30 +1920.
Entonces, cuando x=24, P tiene un valor máximo y el valor máximo es 1920.
Respuesta: cuando el precio es de 24 yuanes, el beneficio máximo se puede obtener cada mes y el beneficio máximo es de 1920 yuanes.
Nota: Las preguntas de aplicación de matemáticas provienen de la práctica y se utilizan para la práctica. En el entorno actual de economía social de mercado, deberíamos tener algún conocimiento sobre los precios y las ganancias de las materias primas. La ganancia total es igual a los ingresos totales menos los costos totales y luego se maximiza mediante una función cuadrática.
Ejemplo 3: Examen de educación física, un niño alto de tercer grado de secundaria en lanzamiento de peso. Se sabe que el recorrido del lanzamiento de peso forma parte de una imagen de función cuadrática. Como se muestra en la imagen, si las coordenadas del punto A en la mano de este estudiante son (0, 2), entonces las coordenadas del punto B en el punto más alto de la trayectoria del lanzamiento de peso son (6, 5).
(1) Encuentre la expresión analítica de esta función cuadrática;
(2) ¿Hasta dónde empujó el estudiante el lanzamiento de peso? (Con una precisión de 0,01 metros)
Solución: (1) Suponga que la fórmula analítica de la función cuadrática es
y la coordenada del vértice es (6, 5)
A (0,2) está en la parábola.
(2) Cuándo,
(irrelevante, rendirse)
(metro)
a: El alumno empujó el lanzamiento de peso 13,75 metros.
Ejemplo 4.
Un centro comercial compró una prenda de vestir a un precio de 42 yuanes por pieza. Según las ventas de prueba, el volumen de ventas diario (piezas) de este tipo de ropa puede considerarse como una función lineal del precio de venta (yuanes/pieza) de cada pieza:
1. número de días que se vende este tipo de ropa en el centro comercial La relación funcional entre la ganancia de ventas y el precio de venta de cada pieza (la ganancia de ventas diaria se refiere a la diferencia entre el precio de venta de la ropa vendida y el precio de compra);
2. A través de la fórmula de la relación funcional obtenida Señale que si el centro comercial quiere obtener la máxima ganancia por ventas todos los días, ¿cuál es el precio de venta más adecuado para cada artículo?
Análisis: La ganancia de un centro comercial está determinada por la ganancia de cada artículo multiplicada por el número de ventas por día.
En este problema, si la ganancia de cada prenda es () y el número de piezas vendidas es (+204), entonces podemos obtener una relación funcional entre y, que es una función cuadrática.
El beneficio máximo requerido para las ventas es el valor máximo requerido por esta función cuadrática.
Solución: (1) Desde la perspectiva de la pregunta, la relación funcional entre la ganancia por ventas de cada pieza y el precio de venta es
= (-42) (-3+ 204), también Eso es =-3^2+8568.
(2) Fórmula =-3 (-55) 2+507.
Cuando el precio de venta de cada pieza es de 55 yuanes, se puede obtener el beneficio máximo y el beneficio de venta diario máximo es de 507 yuanes.
Ejemplo 5: Cuando un buzo realiza un entrenamiento de buceo en plataforma de 10 metros, la ruta de movimiento de su cuerpo (como punto) en el aire es la parábola que pasa por el origen O en el sistema de coordenadas como se muestra en la figura (marcada en la figura Los datos están en condiciones conocidas). Al saltar una acción prescrita, en circunstancias normales, el punto más alto en el aire está a metros de la superficie del agua y la distancia desde el punto de entrada del agua hasta el borde de la piscina es de 4 metros. Antes de que el atleta salga del agua 5 metros,
(1) Encuentre la expresión analítica de esta parábola
(2) En un salto de prueba, mida el movimiento del atleta en el; aire La ruta es la parábola en (1). Cuando el atleta ajusta la postura de entrada al agua en el aire, la distancia horizontal desde el borde de la piscina es de metros. ¿Habrá algún error en esta inmersión?
Y explicar los motivos mediante el cálculo.
Análisis: (1) En un sistema de coordenadas rectangular dado, para determinar la fórmula analítica de la parábola, es necesario determinar las coordenadas de tres puntos de la parábola, como el punto de salto O (0 , 0), se marca el punto de entrada de agua ( 2, -10), se marca el punto vertical del punto más alto.
(2) Después de encontrar la fórmula analítica de la parábola, es necesario determinar si el clavado será incorrecto, es decir, si el atleta se encuentra a 5 metros sobre la superficie del agua cuando la distancia horizontal desde el La piscina esta a metros.
Solución: (1) En el sistema de coordenadas rectangular dado, sea A el punto más alto, B el punto de entrada de agua y la fórmula analítica de la parábola sea.
Por el significado de la pregunta, sabemos que O (0, 0), B (2, -10) y la ordenada del vértice A lo son.
Resuelve o
∵El eje de simetría de la parábola está en el lado derecho del eje, ∴
Y la apertura de la ∵parábola está hacia abajo , ∴ A < 0, B > 0.
La fórmula analítica de la ∴parábola es
(2) Cuando la distancia horizontal entre el deportista en el aire y el borde de la piscina es de 100 metros,
Finalmente,
∴En este momento, la altura del atleta desde el agua es
Así que este salto saldrá mal.
Ejemplo 6. Un comerciante de ropa A almacena 1200 conjuntos de ropa de la marca A con un precio de compra de 400 yuanes. Durante las ventas normales, con 600 yuanes por juego se pueden comprar 1.000 juegos al mes y se agotan en un año. La ropa de marca B ahora es popular en el mercado. El precio de compra de esta marca de ropa es de 200 yuanes y el precio de venta es de 500 yuanes. Puedes comprar 1 o 20 conjuntos (dos conjuntos de ropa) por mes. Actualmente existe la oportunidad de ingresar a la Marca B. Si pierde esta oportunidad, este tipo de ropa probablemente desaparecerá dentro de un año. Sin embargo, el comerciante no tiene capital de trabajo disponible y solo transfiere ropa de marca A a bajo precio. Después de negociar con el distribuidor B, se llegó a un acuerdo. El precio de transferencia (RMB/Taiwán) y la cantidad de transferencia (Taiwán) tienen la siguiente relación:
La cantidad de transferencia (establecida) es 1200 100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100.
Precio (RMB/Taiwán) 240 250 260 270 280 290 300 365 438+00 320 330 340 350
Opción 1: Ni transferir ropa de marca A ni distribuir ropa de marca B <; /p>
Opción 2: transferir toda la ropa de la marca A, usar los fondos transferidos para comprar ropa de la marca B y distribuir ropa de la marca B
Opción 3: transferir parte de la ropa de la marca A, después de usarla; Los fondos transferidos para comprar ropa de marca B, ropa de marca B y ropa de marca A se distribuirán al mismo tiempo.
Pregunta:
(1) ¿Cuánta ganancia obtiene el banquero A de la opción 1 y la opción 2 en un año?
(2) ¿Qué plan elige el banquero A para obtener la mayor ganancia en un año? Si elige la opción 3, ¿cuál es la cantidad de una determinada marca de ropa que transfiere al distribuidor B (con una precisión de 100 juegos)? ¿En este momento cuánto gana al año?
Solución: Costo de compra del distribuidor A = = 480.000 yuanes.
① Si elige la opción 1, la ganancia es 1200 600-480000=240000 yuanes.
Si eliges la opción 2, la tarifa de transferencia es 1200240 = 288000 yuanes y podrás comprar conjuntos de ropa de la marca B. Si solo vende al descubierto en un año, puede obtener una ganancia de 1440 500-480 000 = 240 000 yuanes.
② Si transfieres X conjuntos de ropa de la marca A, el precio de transferencia es RMB por conjunto, puedes comprar ropa de la marca B y obtener RMB después de vender toda la ropa de la marca B. En este momento, quedan (1200-x) conjuntos de ropa de la marca A. Después de vender toda la ropa de la marca A, se obtendrá RMB x = 600 (1200-x), por lo que X = * *Beneficio.
3. Preguntas del ejercicio:
1. Un centro comercial compró un producto a un precio de 30 yuanes cada uno. Durante el proceso de marketing de prueba, se descubrió que el volumen de ventas diario (piezas) del producto y el precio de venta (yuanes) de cada pieza satisfacen una relación funcional lineal:
(1) Escriba el precio de venta diario beneficio de ventas y la relación entre cada producto en el centro comercial Relación funcional entre los precios de venta.
(2) Si el centro comercial quiere obtener el máximo beneficio en ventas cada día, ¿cuál es el precio más adecuado para cada bien? ¿Cuál es el beneficio máximo por ventas?
2. Como se muestra en la imagen, un lado está cerca de la pared de la escuela y los otros tres lados están rodeados por vallas de 40 metros de largo, formando un jardín rectangular de 40 metros cuadrados.
(1) Encuentra la relación funcional entre: Relación, encuentra el largo y el ancho del rectángulo áureo.
Respuesta al ejercicio 1:
Cuando el precio es de 42 yuanes, la ganancia máxima por ventas es de 432 yuanes.
Respuesta al ejercicio 2: (1)
Cuándo,
(2) Si ①
(2)
De las soluciones de ① y ②,
20 de ellas son irrelevantes, por lo que se descartan.
Cuando el rectángulo se convierte en un rectángulo áureo, el ancho es y el largo es.
3. Se construirá una fuente circular en algún lugar. Se instala una columna OA en forma de flor perpendicular a la superficie del agua en el centro de la fuente, y O está exactamente en el centro de la superficie del agua. La boquilla situada en la parte superior del pilar A rocía agua hacia afuera y el agua fluye hacia abajo a lo largo de una trayectoria parabólica con la misma forma en todas las direcciones. En cualquier plano que pase por OA, la forma de parábola es como se muestra en la figura y el sistema de coordenadas rectangular se establece como se muestra en la figura. La relación entre la altura y la distancia horizontal del chorro de agua es la siguiente.
Por favor responda las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es la altura de la columna OA?
2. ¿Cuál es la altura máxima del agua rociada desde la superficie horizontal?
3. Si no se consideran otros factores, ¿cuántos metros debe tener al menos el radio de la piscina para evitar que el agua rociada caiga fuera de la piscina?
Respuesta al ejercicio 3:
(1) La altura de OA es metros.
(2) Cuando, la altura máxima del agua desde la superficie horizontal es de metros.
(3)
Entre ellos, es irrelevante.
Respuesta: El radio de la piscina debe ser de al menos 2,5 metros, para que el agua pulverizada no caiga fuera de la piscina.