¿Por qué basta con usar solo 4 colores para tierra (algo parecido a tierra)?

El problema de los cuatro colores, también conocido como la conjetura de los cuatro colores, es uno de los tres principales problemas matemáticos de los tiempos modernos.

El contenido del problema de los cuatro colores es: "Cualquier mapa que use solo cuatro colores puede hacer que países con las mismas fronteras estén coloreados en diferentes colores, expresado en lenguaje matemático, es decir, "el avión es". subdividido arbitrariamente en regiones que no se superponen, y cada región siempre se puede etiquetar con uno de los cuatro números 1, 2, 3 o 4 sin que dos regiones adyacentes reciban el mismo número” (imagen de la derecha)

El área adyacente a la que aquí se hace referencia se refiere a una sección completa del límite que es justo. Si dos áreas sólo se encuentran en uno o en un número finito de puntos, no se llaman adyacentes. Porque colorearlos del mismo color no causará confusión.

La conjetura de los cuatro colores provino del Reino Unido. En 1852, cuando Francis Guthrie, graduado de la Universidad de Londres, llegó a una unidad de investigación científica para colorear mapas, descubrió un fenómeno interesante: "Parece que cada mapa se puede colorear con cuatro colores, de modo que los países con los mismos bordes están coloreados en diferentes colores. ¿Se puede demostrar rigurosamente matemáticamente este fenómeno? Él y su hermano menor Gris, que estudiaba en la universidad, decidieron intentarlo. Los dos hermanos han acumulado una gran cantidad de manuscritos para demostrar este problema, pero su trabajo de investigación no ha avanzado.

El 23 de octubre de 1852, su hermano preguntó a su maestro, el famoso matemático De Morgan, sobre la prueba de este problema. Morgan no podía encontrar una manera de resolver este problema, por lo que le escribió a Xin que le preguntó a su amigo. , el famoso matemático Sir Hamilton, para pedirle consejo. Después de recibir la carta de Morgan, Hamilton discutió sobre el problema de los cuatro colores. Pero hasta la muerte de Hamilton en 1865, el problema no se resolvió.

En 1872, Kelly, el matemático británico más famoso de la época, planteó formalmente esta cuestión a la Sociedad Matemática de Londres, y la conjetura de los cuatro colores se convirtió en un motivo de preocupación para la comunidad matemática mundial. Muchos de los principales matemáticos del mundo han participado en el concurso de conjeturas de cuatro colores. En los dos años comprendidos entre 1878 y 1880, los famosos abogados y matemáticos Kemp y Taylor presentaron artículos que demostraban la conjetura de los cuatro colores y anunciaron que habían demostrado el teorema de los cuatro colores. Todos pensaban que la conjetura de los cuatro colores estaba resuelta.

La prueba de Kemp es la siguiente: Primero, señale que si ningún país rodea a otros países, o no se juntan más de tres países en un punto, se dice que este tipo de mapa es "regular" (imagen de la izquierda). ). Si es un mapa normal, en caso contrario es un mapa informal (imagen de la derecha). Un mapa a menudo está conectado por un mapa formal y un mapa informal, pero la cantidad de colores requeridos por un mapa informal generalmente no excede los colores requeridos por un mapa formal. Si hay un mapa que requiere cinco colores, se refiere a él. El mapa regular es de cinco colores. Para demostrar que la conjetura de los cuatro colores es cierta, basta con demostrar que no existe un mapa regular de cinco colores.

Kemp utilizó la reducción al absurdo para demostrarlo. La idea general es que si hay un mapa regular de cinco colores, habrá un "mapa regular mínimo de cinco colores" con el menor número de países. Si el mapa regular mínimo de cinco colores Si un país en el mapa tiene menos de seis países vecinos, habrá un mapa regular con un número menor de países que seguirá siendo de cinco colores. De esta manera, no habrá ningún mapa extremadamente pequeño. mapa de cinco colores con varios países, y no existirá. Es un mapa de cinco colores normal. De esta forma Kemp pensó que había demostrado el "problema de los cuatro colores", pero luego se descubrió que estaba equivocado.

Sin embargo, la prueba de Kemp aclaró dos conceptos importantes y proporcionó una manera de resolver problemas futuros. El primer concepto es "configuración". Demostró que en todo mapa regular al menos un país tiene dos, tres, cuatro o cinco países vecinos, no existe un mapa regular en el que cada país tenga seis o más países vecinos, es decir, un conjunto de "configuraciones" que consta de dos países vecinos, tres países vecinos, cuatro o cinco países vecinos es inevitable, y cada mapa contiene al menos una de estas cuatro configuraciones.

Otro concepto propuesto por Kemp es el de “reducibilidad”. El uso de la palabra "reducible" proviene del argumento de Kempe. Demostró que mientras un país en un mapa de cinco colores tenga cuatro países vecinos, habrá un mapa de cinco colores con un número reducido de países. Desde la introducción de los conceptos de "configuración" y "reducibilidad", se han desarrollado gradualmente algunos métodos estándar para verificar las configuraciones y determinar si son reducibles. Ser capaz de encontrar el grupo inevitable de configuraciones reducibles es un paso importante para demostrar la ". problema de los cuatro colores" de acuerdo con. Pero demostrar que las configuraciones grandes son reducibles requiere examinar una gran cantidad de detalles, lo cual es bastante complicado.

Once años más tarde, en 1890, Herwood, de 29 años, que estudiaba en la Universidad de Oxford, señaló las lagunas en la demostración de Kemp con sus propios cálculos precisos. Señaló los defectos del argumento de Kemp de que un país con cinco vecinos no podría existir en un mapa mínimo de cinco colores. Pronto, también se negaron las pruebas de Taylor. Se descubrió que en realidad demostraron una proposición más débil: el teorema de los cinco colores. Es decir, cinco colores son suficientes para colorear el mapa. Más tarde, cada vez más matemáticos se devanaron los sesos pero no encontraron nada. Como resultado, la gente empezó a darse cuenta de que esta pregunta aparentemente fácil era en realidad un problema difícil comparable a la conjetura de Fermat.

Desde principios del siglo XX, los científicos han seguido básicamente las ideas de Kemp para demostrar la conjetura de los cuatro colores. En 1913, el famoso matemático estadounidense Birkhoff de la Universidad de Harvard utilizó las ideas de Kemp y las combinó con sus propias ideas nuevas para demostrar que algunas configuraciones grandes son reducibles. Más tarde, el matemático estadounidense Franklin demostró en 1939 que los mapas de 22 países o menos se pueden colorear con cuatro colores. En 1950, algunas personas avanzaron de 22 países a 35 países. En 1960, alguien demostró que los mapas de menos de 39 países se podían colorear con sólo cuatro colores; luego se avanzó a 50 países. Parece que este progreso es todavía muy lento.

La invención de las computadoras digitales de alta velocidad impulsó a más matemáticos a estudiar el "problema de los cuatro colores". Heike, que había estado estudiando la conjetura de los cuatro colores desde 1936, declaró públicamente que la conjetura de los cuatro colores podría demostrarse encontrando grupos inevitables de figuras reducibles. Su alumno Duret escribió un programa de cálculo. Heike pudo no sólo utilizar los datos generados por este programa para demostrar que la configuración era reducible, sino también describir la configuración reducible transformando el mapa en lo que se llama una forma "dual". matemáticas.

Marcó la capital de cada país y luego conectó las capitales de los países adyacentes con un ferrocarril a través de la frontera, excepto la capital (llamada vértice) y el ferrocarril (llamado arco o borde). borre todas las demás líneas y el resto se denomina gráfico dual del gráfico original. A finales de la década de 1960, Heike introdujo un método similar al movimiento de cargas en una red eléctrica para encontrar el inevitable grupo de configuraciones. El "método de descarga" apareció por primera vez de forma bastante inmadura en la investigación de Heike. Fue clave para futuras investigaciones sobre grupos inevitables y también fue un elemento central en la demostración del teorema de los cuatro colores.

Tras la llegada de las computadoras electrónicas, el rápido aumento de la velocidad de cálculo y la aparición del diálogo entre humanos y computadoras aceleraron enormemente el proceso de demostración de la conjetura de los cuatro colores. Haken de la Universidad de Illinois en Estados Unidos comenzó a mejorar el "proceso de alta" en 1970 y luego colaboró ​​con Appel para compilar un buen programa. Sólo en junio de 1976, dedicaron 1.200 horas e hicieron 10 mil millones de juicios en dos computadoras diferentes en la Universidad de Illinois en los Estados Unidos. Finalmente completaron la demostración del teorema de los cuatro colores, que conmocionó al mundo.

Este es un evento importante que ha atraído a muchos matemáticos y entusiastas de las matemáticas durante más de cien años. Cuando los dos matemáticos publicaron los resultados de su investigación, la oficina de correos local los imprimió en todo el correo enviado ese día. Se estampó un matasellos especial de "Four Colors Enough" para celebrar la resolución del problema.

La prueba del "problema de los cuatro colores" sólo resolvió un problema que había durado más de 100 años y se convirtió en el punto de partida de una serie de nuevas ideas en la historia de las matemáticas. Durante el proceso de investigación del "problema de los cuatro colores", surgieron muchas teorías matemáticas nuevas y se desarrollaron muchas técnicas de cálculo matemático. Por ejemplo, convertir el problema de coloración de un mapa en un problema de teoría de grafos enriquece el contenido de la teoría de grafos. No sólo eso, el "problema de los cuatro colores" ha desempeñado un papel en el diseño eficaz de los horarios de vuelos de las aerolíneas y en el diseño de programas de codificación informática.

Sin embargo, muchos matemáticos no están satisfechos con los logros de las computadoras y creen que debería existir un método de prueba escrito simple y claro. Hasta ahora, muchos matemáticos y entusiastas de las matemáticas siguen buscando métodos de demostración más concisos.