¿Qué es la exponenciación?
El concepto de exponenciación
1. El significado de la exponenciación, los nombres de cada parte y la lectura y escritura
La operación de encontrar el producto de n multiplicadores idénticos se llama exponenciación. La exponenciación es una operación de tres niveles.
En a^n, el mismo multiplicador a se llama base, el número n de a se llama exponente y el resultado de la operación de exponenciación a^n se llama potencia. a^n se lee elevado a la enésima potencia. Si a^n se considera como el resultado de una potencia, se lee elevado a la enésima potencia. La segunda potencia de a (o la segunda potencia de a) también se puede leer como el cuadrado de a; la tercera potencia de a (o la tercera potencia de a) también se puede leer como el cubo de a.
Todo número natural puede considerarse como una potencia de dicho número, también llamado potencia. Por ejemplo: 8 puede considerarse como 8^1. Cuando el exponente es 1, normalmente se omite.
El orden de las operaciones: primero calcula la exponenciación, luego la multiplicación y división, y finalmente la suma y resta.
1． El producto de multiplicar los mismos multiplicadores se expresa como una potencia
2. Calcula la respuesta según el significado de la potencia
1) 9^4; 2) 0^6.
9^4=9×9×9×9=6561
0^6=0×0×0×0×0×0=0
Se puede ver que 0^n=0
4. Distinguir entre conceptos confusos
1) 8^3 y 8×3; 2) 5×2 y 5^2; 4×5^2 y (4×5)^2.
Las reglas para la multiplicación y división de potencias con la misma base
Las reglas para la multiplicación de potencias con la misma base:
Cuando las potencias de la misma base se multiplican y dividen, la base original se usa como base y el exponente La suma o diferencia se usa como exponente. Expresado en letras:
a^m×a^n＝a^(m+n) o a^m÷a^n＝a^(m－n) (m y n son números naturales )
1) 15^2×15^3; 2) 3^2×3^4×3^8 3) 5×5^2×5^3×5^4×…×; 5^90
1) 15^2×15^3=15^(2+3)=15^5
2) 3^2×3^4×3^ 8=3^(2+4+8)=3^14
3) 5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2 +3+…+90)=5^4095
Reglas para la multiplicación de potencias
a^m también se llama potencia. Si a^m se considera la base, entonces. Su enésima potencia se puede expresar como (a^m)^n. A esto se le llama aumentar poderes. Primero calculemos (a^3)^4.
Considerando a3 como base, según el significado de exponenciación y la regla de multiplicación de potencias con la misma base, podemos obtener:
(a^3)^4=a ^3× a^3×a^3×a^3=a^(3+3+3+3)=a^(3×4)=a^12, es decir: (a^3)^4= a^(3×4)
Del mismo modo, (a^2)^5＝a^2×a^2×a^2×a^2×a^2＝a^(2＋2＋2＋2+2 )＝a^(2×5)＝a^10 Es decir: (a^2)^5=a^(2×5)
De los ejemplos anteriores, podemos ver que al aumentar potencias , la base permanece sin cambios y los exponentes se multiplican. Expresado en letras: (a^m)^n=a^(m×n)
(x^4)^2; (a^2)^4×(a^3)^5
(x^4)^2=x^(4×2)=x^8
(a^2)^4×(a^3)^5=a ^ (2×4)×a^(3×5)=a^8×a^15=a^(8+15)=a^23
Poder del producto
Para aumentar la potencia de un producto, primero active cada multiplicador del producto por separado y luego multiplique las potencias resultantes. Expresado en letras: (a×b)^n=a^n×b^n
Esta regla de multiplicación de productos también se aplica a la potencia del producto de tres o más multiplicadores. Por ejemplo:
(a×b×c)^n=a^n×b^n×c^n
Fórmula de diferencia de cuadrados
Dos números La suma de multiplicar la diferencia entre dos números es igual a la diferencia al cuadrado de los dos números. Expresado en letras:
(a+b)×(a-b)=a^2-b^2
Esta fórmula se llama fórmula de diferencia al cuadrado. Usar esta fórmula puede facilitar algunos cálculos.
Ejemplo Calcular 104×96 de forma sencilla.
Solución: Fórmula original=(104)×(100-4)=100^2-42=10000-16=9984
Fórmula del cuadrado perfecto
El cuadrado de la suma (o diferencia) de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más (o menos) el doble de su producto. Expresado en letras:
（a＋b）^2＝a^2＋2ab＋b^2 （a－b）^2＝a^2－2ab＋b^2
Las dos fórmulas anteriores se llaman la fórmula del cuadrado perfecto. La aplicación de la fórmula del cuadrado perfecto puede facilitar algunos cálculos de potencia.
Ejemplo: Calcula las siguientes preguntas: 1) 105^2; 2) 196^2.
1) 105^2=(105)^2=100^2+2×100×5+5^2=100010025=11025
2 ) 196^2=(200-4)^2=200^2-2×100×4+4^2=40000-8016=39216
Cálculo rápido de números cuadrados
Para algunos cuadrados numéricos especiales, después de dominar las reglas, la velocidad de cálculo se puede acelerar. Se presentan a continuación.
1． Encuentra el cuadrado de un número que consta de n 1
Veamos el siguiente ejemplo.
1^2=1
11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321 p>
11111^2=123454321
111111^2=12345654321
……
De los ejemplos anteriores, podemos ver tal regla; pedir El cuadrado de un número compuesto por n 1 se escribe primero de 1 a n, y luego de n a 1, es decir:
11…1^2=1234…(n-1). )n(n-1 )...4321
n 1's
Nota: n solo ocupa un dígito y el número debe reenviarse si llega a 10. Por supuesto, tales un cálculo rápido no debería tener demasiados dígitos.
2. El cuadrado de un número compuesto por n 3
Todavía observamos ejemplos específicos:
3^2=9
33^2=1089
333^2=110889
3333^2=11108889
33333^2=111108889
Se puede ver en esto:
33…3^2 = 11…11 0 88…88 9
n 3 (n-1) 1 (n-2) 8
3. El cuadrado de un número cuyo dígito es 5
Considere a como el número de 10, por lo que el cuadrado de un número cuyo dígito es 5 se puede escribir en la forma (10a+5)^2. Derivado según el método del cuadrado perfecto;
（10a＋5）^2＝（10a）^2＋2×10a×5＋5^2
＝100a^2＋100a+25
＝100a × (a + 1) + 25
=a×(a + 1) El producto de un número multiplicado por un número 1 mayor que este número, seguido de 25.
Ejemplo de cálculo 1) 45^2; 2) 115^2.
Solución: 1) Fórmula original = 4×(4+1)×1025 2) Fórmula original=11×(11+1)×1025
= 2000 +25 = 11×12×1025
p>
＝2025＝13200＋25
＝13225
4. Multiplicación de potencias con el mismo exponente
a^2×b^2 es la multiplicación de potencias con el mismo exponente y se puede escribir de la siguiente forma:
a^2× b^2=a×a ×b×b=(a×b)×(a×b)=(a×b)^2
Se puede observar que la multiplicación de potencias con el mismo El exponente es igual al producto de la base por la base y el exponente no cambia. Según esta regla, el cálculo se puede simplificar.
Por ejemplo: 2^2×5^2＝（2×5）^2＝10^2＝100
2^3×5^3＝（2×5）^3＝10^3 ＝ 10002^4×5^4=(2×5)^4=10^4=10000
Basándonos en el cálculo anterior, podemos sacar la siguiente conclusión: