¿Por qué el Teorema Fundamental del Cálculo es una victoria para el espíritu humano?
La base ideológica del cálculo temprano
En el siglo XVII, una serie de descubrimientos de dos matemáticos, Galileo y Kepler, llevaron a la transformación de las matemáticas de las matemáticas clásicas a las matemáticas. Matemáticas modernas.
Antes de cumplir 25 años, Galileo comenzó a realizar una serie de experimentos y descubrió muchos hechos básicos sobre el movimiento de los objetos en el campo gravitacional de la Tierra, el más básico de los cuales es la ley de caída libre. Kepler resumió esto en sus famosas tres leyes del movimiento planetario alrededor de 1619. Estos logros tuvieron una gran influencia en la mayoría de las ramas posteriores de las matemáticas. Los descubrimientos de Galileo condujeron al nacimiento de la dinámica moderna y los descubrimientos de Kepler condujeron al nacimiento de la mecánica celeste moderna. En el proceso de establecimiento de estas disciplinas, todos sintieron la necesidad de una nueva herramienta matemática, que era el cálculo para estudiar los procesos de movimiento y transformación.
Curiosamente, los orígenes del cálculo integral se remontan a la antigua Grecia, pero no fue hasta el siglo XVII que se lograron avances importantes en el cálculo diferencial.
El origen del pensamiento holístico
El problema de cuadratura consiste en encontrar el área y el volumen de una gráfica. Este problema tiene una larga historia y se remonta al cálculo del área y volumen de algunas figuras simples por parte de civilizaciones antiguas, como triángulos, cuadriláteros, círculos o esferas, cilindros y conos, así como al cálculo de círculos, esferas. , triángulos curvos y triángulos curvos por los europeos en el siglo XVII Cálculo del área de un cuadrilátero. No fue hasta que Newton y Leibniz establecieron el cálculo que estos problemas quedaron fundamentalmente resueltos. El problema de cuadratura es uno de los principales factores que motivó el cálculo.
En el proceso de desarrollo del pensamiento integral, un grupo de grandes matemáticos hicieron destacadas contribuciones al mismo. El gran matemático y mecánico griego Arquímedes, y los famosos matemáticos chinos Liu Hui y Zu Chongzhi y sus hijos hicieron importantes contribuciones a la formación y desarrollo del pensamiento entero.
Los siglos XVI y XVII fueron los periodos más activos para el desarrollo del cálculo. Su destacado representante fue el astrónomo y mecánico italiano Galileo.
También están los astrónomos, matemáticos, físicos alemanes Kepler, Cavalieri, etc. Su trabajo sentó las bases para que Newton y Leibniz establecieran la teoría del cálculo.
El origen de la idea del cálculo diferencial
El cálculo diferencial proviene principalmente del estudio de dos problemas, uno es el problema de la tangente de la curva, y el otro es el problema de encontrar los valores máximo y mínimo de la función. La antigua Grecia consideró estas dos cuestiones, pero la discusión sobre estas dos cuestiones en la antigua Grecia fue mucho menos extensa y profunda que la discusión sobre el área, el volumen y la longitud del arco.
Fue Fermat quien realizó un trabajo pionero en estos dos temas. En 1629, Fermat dio métodos para encontrar los valores máximos y mínimos de funciones. Sin embargo, la idea no se hizo ampliamente conocida hasta ochenta o nueve años después.
Kepler observó que el incremento de una función suele volverse infinito en los valores máximo y mínimo de la función. Fermat aprovechó este hecho para encontrar los valores máximo y mínimo de una función. Sus raíces están en minimizar la funcionalidad. Fermat también creó un método para encontrar tangentes a curvas. La esencia de estos métodos es encontrar derivadas. Las tangentes de curvas y los minimax y minimax de funciones son problemas básicos en cálculo diferencial. Fue el estudio de estos dos problemas lo que impulsó el nacimiento del cálculo diferencial. Fermat hizo importantes contribuciones a estos dos problemas y es conocido como el pionero del cálculo.
El enfoque de Fermat para estos dos problemas es el mismo: primero tomar el incremento y luego hacer que el incremento tienda a cero. Ésta es la esencia del cálculo diferencial y lo que distingue a este método del método clásico. Fermat también habló sobre cómo encontrar el área bajo una curva. Este es un trabajo preliminar en cálculo integral. Dividió el área bajo la curva en elementos de área pequeña, utilizó las ecuaciones analíticas de rectángulos y curvas para encontrar valores aproximados de estas sumas y expresó la expresión como el límite de la suma cuando el número de elementos aumenta infinitamente y el área de cada elemento se vuelve infinito. Pero no se dio cuenta de la importancia de la operación en sí, sino que se centró en el problema de encontrar el área en sí y sólo respondió a una pregunta geométrica específica. Sólo Newton y Leibniz elevaron este problema a un concepto general, lo consideraron una operación estructural que no dependía de ninguna geometría o física y le dieron un nombre especial: cálculo.
En el proceso de establecimiento de estas disciplinas, todos sintieron la necesidad de una nueva herramienta matemática, que era el cálculo para estudiar los procesos de movimiento y cambio.
Curiosamente, los orígenes del cálculo integral se remontan a la antigua Grecia, pero no fue hasta el siglo XVII que se lograron avances importantes en el cálculo diferencial.
Fermat también creó un método para encontrar tangentes a curvas. La esencia de estos métodos es encontrar derivadas. Las tangentes de curvas y los minimax y minimax de funciones son problemas básicos en cálculo diferencial. Fue el estudio de estos dos problemas lo que impulsó el nacimiento del cálculo diferencial. Fermat hizo importantes contribuciones a estos dos problemas y es conocido como el pionero del cálculo.
El enfoque de Fermat para estos dos problemas es el mismo: primero tomando el incremento y luego haciendo que el incremento tienda a cero. Ésta es la esencia del cálculo diferencial y lo que distingue a este método del método clásico. Fermat también habló sobre cómo encontrar el área bajo una curva. Este es un trabajo preliminar en cálculo integral. Dividió el área bajo la curva en elementos de área pequeña, utilizó las ecuaciones analíticas de rectángulos y curvas para encontrar valores aproximados de estas sumas y expresó la expresión como el límite de la suma cuando el número de elementos aumenta infinitamente y el área de cada elemento se vuelve infinito. Pero no se dio cuenta de la importancia de la operación en sí, sino que se centró en el problema de encontrar el área en sí y sólo respondió a una pregunta geométrica específica. Sólo Newton y Leibniz elevaron este problema a un concepto general, lo consideraron una operación estructural que no dependía de ninguna geometría o física y le dieron un nombre especial: cálculo.
La implantación del cálculo
El siglo XVII fue un período de transición de la Edad Media a la nueva era. Durante este período, la ciencia y la tecnología lograron grandes avances. Las ciencias exactas obtuvieron un gran impulso de la producción y la vida social de la época; la navegación despertó un gran interés por la astronomía y la óptica; la construcción naval, la construcción de maquinaria, la construcción de presas y canales, la balística y los problemas militares en general promovieron el desarrollo de la mecánica.
En el desarrollo y producción real de estas disciplinas, existe una necesidad urgente de abordar las siguientes cuatro cuestiones: 1. Conociendo la relación entre la distancia y el tiempo del movimiento de un objeto, podemos encontrar la velocidad y aceleración del objeto en cualquier momento. Luego conozca la aceleración y la velocidad del objeto y encuentre la velocidad y la distancia del objeto en cualquier momento. La velocidad promedio se puede calcular dividiendo la distancia recorrida por el tiempo recorrido, pero las velocidades y aceleraciones involucradas cambiaron constantemente durante el siglo XVII. Para la velocidad instantánea, la distancia y el tiempo de movimiento son ambos cero, lo que conduce al problema 0/0. Esta es la primera vez que los humanos se enfrentan a un problema de este tipo.
2. Encuentra la tangente de la curva. Se trata de un problema puramente geométrico, pero con enormes implicaciones para las aplicaciones científicas. Por ejemplo, en óptica, el diseño de lentes utiliza el conocimiento de las tangentes y normales de las curvas. En problemas cinemáticos también se traslada a la tangente de la curva. La dirección del movimiento de un objeto en movimiento en cualquier punto de su trayectoria es la dirección tangente de la trayectoria.
3. Encuentra los valores máximo y mínimo de la función. En balística, esto se relaciona con el alcance de una bala de cañón, y en astronomía, se relaciona con las distancias más cercanas y más alejadas de un planeta al sol.
4. Problema ortogonal. Encuentre la longitud del arco de la curva, el área encerrada por la curva, el volumen encerrado por la superficie y el centro de gravedad del objeto. Estos problemas se han estudiado desde la antigua Grecia, y algunos cálculos ahora son simples ejercicios de cálculo. Esto fue un dolor de cabeza para los griegos en el pasado. De hecho, Arquímedes escribió casi exclusivamente sobre estos problemas y sus resultados marcaron el clímax de las matemáticas griegas.
Son estas importantes cuestiones de la ciencia y la producción las que promovieron el nacimiento y desarrollo del cálculo.
En el nacimiento y desarrollo del cálculo, un grupo de grandes matemáticos realizaron destacadas aportaciones, como Galileo, Kepler, Cavalieri, Fermat, Barro, Newton, Leibniz et al.
Los grandes avances científicos siempre se basan en el trabajo de muchas personas poco a poco. Pero a menudo se necesita una sola persona para completar el "último paso". Esta persona necesita tener una visión aguda y separar las valiosas ideas de sus predecesores de las caóticas especulaciones y explicaciones. Necesita tener suficiente imaginación para organizar estos "fragmentos" aislados y ser capaz de formular audazmente un gran sistema. En el nacimiento del cálculo, Newton y Leibniz fueron los gigantes que cumplieron esta misión.
En el siglo XVIII, después del nacimiento del cálculo, las matemáticas marcaron el comienzo de una prosperidad sin precedentes. La gente llama a esta era un siglo heroico en la historia de las matemáticas. El principal trabajo de los matemáticos durante este período fue aplicar el cálculo a la astronomía, la mecánica, la óptica, la térmica y otros campos, y lograron resultados fructíferos.
En 1661, Newton ingresó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge, donde estudió con Barrow y estudió las obras de Galileo, Kepler, Descartes y Wallis. Trinity College aún conserva las notas de lectura de Newton.
De estas notas se puede ver que la geometría de Descartes y la aritmética infinita de Wallis tuvieron la influencia más profunda en él en términos de la formación de ideas matemáticas. Fueron estos dos trabajos los que encaminaron a Newton hacia el establecimiento del cálculo.
En agosto de 1665 regresa a su ciudad natal, donde inicia sus grandes trabajos en mecánica, matemáticas y óptica. Estos dos años se convirtieron en el período dorado de la carrera científica de Newton. Fundó el cálculo y descubrió la teoría de la gravedad y el color... Se puede decir que la mayoría de los planos de la creación científica de Newton fueron concebidos en estos dos años.
La creación del cálculo
En el otoño de 1664, Newton comenzó a estudiar cálculo. En ese momento, leyó repetidamente la "Geometría" de Descartes, se interesó en el "método del círculo" tangente de Descartes y trató de encontrar un método mejor. En esta época, Newton fue pionero en el signo O pequeño, que representa el incremento de X y es una cantidad infinitesimal que tiende a cero.
Mientras se escondía de la plaga en su ciudad natal, Newton continuó explorando el cálculo y logró avances. Según su relato, en junio de 1665, en el año 11, se inventó el "conteo descendente" (método de diferencia), y en mayo del año siguiente, se estableció el "conteo contracorriente" (método de integración). 1666 10 Newton recopiló los resultados de la investigación de los dos años anteriores en un artículo resumido, ahora llamado "Sobre los números de fluidos". Aunque no se publicó oficialmente en ese momento, circuló entre colegas. "On Flux Numbers" es el primer documento de cálculo sistemático de la historia.
Sobre los números de flujo se refleja el trasfondo cinemático del cálculo newtoniano. De hecho, este artículo presenta el concepto de "número de tráfico" (es decir, negocio WeChat) en forma de velocidad. Aunque no se utiliza el término básico “número de flujo”, se plantea el problema básico del cálculo, que se puede expresar en el lenguaje matemático actual de la siguiente manera:
1) Conociendo la distancia de un objeto, podemos resolver el problema de encontrar el objeto El problema de la velocidad de movimiento.
2) El problema de encontrar la distancia de un objeto cuando se conoce su velocidad.
Newton señaló que el primer problema es un problema diferencial y el segundo problema es la operación inversa del primer problema, y dio el método de cálculo correspondiente. Sobre esta base se estableció el "Teorema fundamental del cálculo", que revela la "conexión intrínseca entre derivadas e integrales". Por supuesto, el teorema fundamental del cálculo aún no ha sido demostrado rigurosamente en el sentido moderno. En escritos posteriores, Newton dio una prueba explícita del teorema fundamental del cálculo, que no tenía nada que ver con la cinemática.
Antes de Newton, el área siempre se había considerado la suma de componentes infinitesimales. Newton comenzó determinando la tasa de cambio del área y calculó el área mediante diferenciación inversa. De esta manera, Newton no sólo reveló la relación recíproca entre el cálculo de áreas y los problemas tangentes, sino que también reveló claramente que se trata de una ley universal, sentando así las bases para el algoritmo universal del cálculo.
Como dijo el propio Newton en "Sobre los números de flujo": Una vez que se pueda resolver el problema diferencial inverso, muchos problemas se resolverán fácilmente.
Desde la antigua Grecia, las personas han adquirido muchas habilidades especiales para resolver problemas infinitesimales. Newton unificó estas habilidades especiales en dos algoritmos generales: contar a lo largo del flujo y contar en contra del flujo, es decir, el método diferencial y el método integral, y demostró la relación recíproca entre ellos. Además, unificó estas dos operaciones en un todo: el teorema fundamental del cálculo.
Se trata de una hazaña que supera a sus predecesores. En este sentido decimos que Newton inventó el cálculo. En el resto de "Sobre números de flujo", Newton analizó 16 tipos de problemas, como encontrar la tangente, la curvatura y el punto de inflexión de una curva, encontrar la longitud de una curva, encontrar el área encerrada por la curva, encontrar la gravedad, centro de gravedad, etc. Newton utilizó su algoritmo unificado para abordar estos problemas, lo que demostró plenamente la gran universalidad y sistematicidad del algoritmo de "cálculo" de Newton.
Newton pasó aproximadamente un cuarto de siglo estudiando cálculo desde 1667 hasta 1693. Newton hizo incansables esfuerzos para mejorar y perfeccionar su teoría del cálculo y escribió tres artículos de cálculo:
(1) Completó "Análisis con ecuaciones polinomiales infinitas" en 1669, denominado "Análisis";
(2) En 1671, se completó el "Método de flujo y series infinitas", conocido como "Método de flujo";
(3) En 1691, se completó la cuadratura de la curva.
Newton fue cauteloso a la hora de publicar sus trabajos científicos, y la mayoría de sus trabajos se publicaron sólo después de repetidas insistencias de sus amigos. Los tres artículos anteriores se publicaron muy tarde, el primero es el último, cuadratura de curva. El análisis se publicó en 1771; sin embargo, las leyes de flujo no se publicaron hasta 1736, cuando Newton ya había muerto.
En 1687, Newton publicó su famosa obra mecánica "Principios matemáticos de la filosofía natural", denominada "Principia", que expuso por primera vez la teoría del cálculo de Newton. Por lo tanto, "Principios" también se ha convertido en una obra que hace época en la historia de las matemáticas.
Página de título de Principios matemáticos de la filosofía natural
Este principio fue elogiado por Einstein como "un logro deductivo extremadamente brillante". A partir de las tres leyes básicas de la mecánica, este libro utiliza herramientas de cálculo para derivar y probar rigurosamente una serie de conclusiones que incluyen las tres leyes del movimiento planetario de Kepler y la ley de la gravitación universal. También aplica el cálculo al movimiento de fluidos, el sonido, la luz y la gravedad. mareas, cometas e incluso sistemas cósmicos, demostrando plenamente el poder de esta herramienta matemática.
Las aportaciones científicas de Newton son múltiples. En términos de matemáticas, además del cálculo, su obra maestra algebraica "Aritmética universal" contiene muchos logros en la teoría de ecuaciones, como la aparición de pares de raíces imaginarias, la generalización de la ley de signos de Descartes, la fórmula de suma de potencias de raíces y coeficientes, etc. . Su obra maestra geométrica "El conteo de curvas cúbicas" fue pionera en el estudio de la clasificación de curvas cúbicas y fue un nuevo pico en el desarrollo de la geometría analítica. En el campo del análisis numérico, el nombre de Newton no puede omitirse hoy en día en ningún curso.
Logros históricos de Newton
Newton fue un gigante científico y uno de los más grandes matemáticos de la historia de la humanidad. Al igual que Newton, Leibniz, un matemático que hizo destacadas contribuciones a las matemáticas, comentó: "El trabajo de Newton representó más de la mitad de todas las matemáticas desde el principio del mundo hasta la época en que vivió Newton".
Leibniz y el nacimiento del cálculo
Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig, Alemania. Estudió derecho en la Universidad de Leipzig en 1661 y geometría en la Universidad de Jena, y se doctoró en derecho en 1666. En 1672, viajó a París en un viaje de negocios y se inspiró en C. Huygens para estudiar matemáticas. Después de eso, ingresó al campo de las matemáticas y comenzó el trabajo creativo. Este esfuerzo condujo a muchos descubrimientos matemáticos, el más destacado de los cuales fue la teoría del cálculo. Newton fundó el cálculo principalmente desde el punto de vista de la cinemática, mientras que Leibniz lo consideró desde el punto de vista de la geometría.
A partir de 1684, Leibniz publicó numerosos artículos de cálculo. Este año se publicó su primer artículo sobre cálculo diferencial, "Un nuevo método para encontrar máximos, valores mínimos y tangentes". Este fue el documento de cálculo diferencial publicado más antiguo en el mundo. En este artículo explicó sucintamente su cálculo diferencial. Este artículo da la definición de reglas diferenciales básicas y diferenciales.
En 1686 publicó su primer artículo sobre cálculo integral en la revista "Yixue". Leibniz elaboró un conjunto satisfactorio de notaciones para el cálculo. Introdujo el símbolo integral moderno ∫ en 1675 y amplió la S inicial de la palabra latina Summa para que signifique integral. Pero el nombre "integral" apareció relativamente tarde y fue propuesto por J. Bernoulli en 1696.
Leibniz es el mayor estudioso de la semiótica en la historia de las matemáticas. En el proceso de creación del cálculo, dedicó mucho tiempo a elegir símbolos exquisitos. Se dio cuenta de que los buenos símbolos pueden expresar con precisión y profundidad conceptos, métodos y relaciones lógicas. Una vez dijo: "Si quieres inventar, debes elegir los símbolos correctos. Para ello, necesitas utilizar una pequeña cantidad de símbolos con significados simples para expresar o describir fielmente la esencia interna de las cosas, minimizando así la confusión de las personas. Trabajo de pensamiento. "Los símbolos del cálculo actual son básicamente creados por él. Estos símbolos superiores aportaron gran comodidad al desarrollo futuro de la ciencia analítica.
Leibniz inventó varios otros símbolos y términos matemáticos, como "función" y "coordenadas". La versatilidad de Leibniz no tenía precedentes.