Puntos de conocimiento de matemáticas para noveno grado, volumen 1, edición de la Universidad Normal de Beijing

Capítulo 1 Paralelogramo especial

1.1 Propiedades y juicio del rombo

Definición de rombo: Un conjunto de paralelogramos con lados adyacentes iguales se llama rombo.

※Propiedades de un rombo: Tiene las propiedades de un paralelogramo, y sus cuatro lados son iguales. Dos diagonales se bisecan entre sí perpendicularmente, y cada diagonal bisecta un conjunto de ángulos opuestos.

El rombo es una figura axialmente simétrica, y la recta donde se sitúa cada diagonal es el eje de simetría.

※Cómo identificar un rombo: Un conjunto de paralelogramos con lados adyacentes iguales es un rombo.

Un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo.

Un cuadrilátero con cuatro lados iguales es un rombo.

1.2 Propiedades y juicio del rectángulo

※Definición de rectángulo: un paralelogramo con un ángulo recto se llama rectángulo. Un rectángulo es un tipo especial de paralelogramo.

※Propiedades de un rectángulo: Tiene las propiedades de un paralelogramo, con diagonales iguales y cuatro ángulos rectos. (Un rectángulo es una figura axialmente simétrica con dos ejes de simetría)

※Juicio de un rectángulo: un paralelogramo cuyos ángulos interiores son rectos se llama rectángulo (según la definición).

Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.

Un cuadrilátero con cuatro ángulos iguales es un rectángulo.

※Corolario: La línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa.

1.3 Propiedades y juicio de los cuadrados

Definición de cuadrado: Se llama cuadrado a un grupo de rectángulos con lados adyacentes iguales.

※Propiedades del cuadrado: El cuadrado tiene todas las propiedades del paralelogramo, rectángulo y rombo. (Un cuadrado es una figura axialmente simétrica con dos ejes de simetría)

※ Juicios de cuadrados de uso común: un rombo con un ángulo recto en su interior es un cuadrado;

Un rectángulo con iguales los lados adyacentes son un cuadrado;

Un rombo con diagonales iguales es un cuadrado;

Un rectángulo con diagonales perpendiculares es un cuadrado;

La relación entre cuadrado, rectángulo, rombo y lados paralelos (como se muestra en la Figura 3):

※Definición de trapezoide: un conjunto de lados opuestos es paralelo y el otro conjunto A Un cuadrilátero cuyos lados opuestos no son paralelos se llama trapezoide.

※Un trapezoide con dos lados iguales se llama trapezoide isósceles.

※Un trapezoide con cintura y base verticales se llama trapecio rectángulo.

※Propiedades de un trapezoide isósceles: Los dos ángulos interiores de una misma base de un trapezoide isósceles son iguales y las diagonales son iguales.

Dos trapecios con ángulos interiores iguales sobre la misma base son trapecios isósceles.

※La mediana del triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del tercer lado.

※Los segmentos de recta paralela intercalados entre dos rectas paralelas son iguales.

※En un triángulo rectángulo, la línea media de la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa

Capítulo 2 Ecuaciones cuadráticas

2.1 Comprensión de las ecuaciones cuadráticas

2.2 Usar el método de combinación para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable

2.3 Usar el método de fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable

2.4 Usar el método de factorización para resolver ecuaciones cuadráticas ecuaciones de una variable

2.5 La relación entre la suma y el coeficiente de la ecuación cuadrática

2.6 Aplicación de la ecuación cuadrática

※Ecuaciones enteras con una sola Los números desconocidos son aceptables. Transformados a la forma (a, b, c son constantes, a≠0), dicha ecuación se llama ecuación cuadrática.

※ (a, b, c son constantes, a≠0) se llama forma general de una ecuación cuadrática, a es el coeficiente del término cuadrático; b es el coeficiente del término lineal; es el término constante.

※Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable: ①El método de fórmula consiste en cambiarla a la forma>

②Método de fórmula (tenga en cuenta que al encontrar abc, la ecuación debe convertirse a primero una forma general)

③El método de factorización convierte un lado de la ecuación en 0 y el otro lado en el producto de dos factores lineales para resolver.

(Incluye principalmente "encontrar factores comunes" y "multiplicación cruzada")

※Pasos básicos para resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de combinación: ①Convierta la ecuación a la forma general de una ecuación cuadrática;

② Cambia el coeficiente del término cuadrático a 1;

③ Mueve el término constante al lado derecho de la ecuación

④ Suma la mitad del cuadrado del coeficiente del; término lineal a ambos lados;

⑤Convierte la ecuación a la forma

⑥Toma la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar sus raíces.

※La relación entre raíces y coeficientes: cuando b2-4ac>0, la ecuación tiene dos raíces reales desiguales

Cuando b2-4ac=0, la ecuación tiene dos raíces reales iguales; raíces;

Cuando b2-4ac<0, la ecuación no tiene raíces reales.

※Si las dos raíces de la ecuación cuadrática son x1 y x2, entonces existe: .

※El papel de la relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática:

(1) Dada una raíz de la ecuación, encuentre la otra raíz

<; p> (2) Sin resolver ecuaciones, encuentre los valores de las fórmulas de simetría de las raíces x1 y x2 de la ecuación cuadrática, prestando especial atención a las siguientes fórmulas:

① ② ③

④ ⑤

⑥ ⑦ Otras expresiones algebraicas que se pueden usar o expresar.

(3) Dadas las dos raíces x1 y x2 de la ecuación, se puede construir una ecuación cuadrática de una variable:

(4) Dada la suma y el producto de los dos números x1 y x2, encontrar Este problema de dos números se puede transformar para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática

※Cuando se usan ecuaciones para resolver problemas escritos, se divide principalmente en dos pasos: ①Suponga el número desconocido ( al establecer el número desconocido, la mayoría de los En la mayoría de los casos, solo necesitamos asumir que el problema es Encuentre esta oración para formular una ecuación basada en ella).

※El proceso de manejo del problema se puede resumir como:

Capítulo 3 Mayor comprensión de la probabilidad

3.1 Utilice diagramas de árbol o tablas para encontrar la probabilidad

3.2 Utilice la frecuencia para estimar la probabilidad

※En la tabla de distribución de frecuencia, el número de datos que caen en cada grupo se llama frecuencia;

La frecuencia y los datos de cada grupo La proporción del número total se llama frecuencia de este grupo, es decir:

En el histograma de distribución de frecuencia, ya que el área de cada pequeño rectángulo es igual a la frecuencia del grupo correspondiente; , la suma de las frecuencias de cada grupo es igual a 1. Por tanto, la suma de las áreas de cada rectángulo pequeño es igual a 1.

※La tabla de distribución de frecuencia y el histograma de distribución de frecuencia son dos representaciones diferentes de la distribución de frecuencia de un conjunto de datos. La primera es precisa y la segunda es intuitiva.

Utiliza la frecuencia de un evento para estimar la probabilidad de que ocurra un evento.

La probabilidad se puede obtener mediante el método de lista, pero este método no es adecuado para situaciones más complejas.

※Supongamos que hay m bolas negras en la bolsa. A través de múltiples experimentos, podemos estimar la probabilidad de que se saque una bola al azar de la bolsa y sea una bola blanca. > ※Se requiere una estimación ¿Cuántos peces hay en el estanque? Primero podemos capturar 100 peces del estanque y marcarlos, y luego volver a colocarlos en el estanque. Luego podemos capturar 200 peces del estanque. están marcados y luego configurados. Si hay x peces en el estanque, el número de peces se puede estimar en función de la estimación. (Tenga en cuenta que los datos estimados no son exactos, por lo que deberían llamarse "aproximadamente XX")

※Hay una gran cantidad de eventos inciertos en la vida. La probabilidad es un modelo matemático que describe fenómenos inciertos. Puede medir con precisión la probabilidad de que ocurra un evento no significa necesariamente que sucederá.

Cómo encontrar la probabilidad:

(1) Generalmente, si hay n resultados posibles en un experimento y todos tienen la misma probabilidad de ocurrir, el evento A se incluye entre ellos. m resultados, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A es P(A) =

(2), método de listado

Use el método de la tabla para analizar y resolver ciertos eventos El método de probabilidad es llamado método de lista.

(3) Método del dendrograma

El método de enumerar todos los resultados posibles de un evento a través de un dendrograma y encontrar su probabilidad se llama método del dendrograma.

(Cuando es necesario diseñar tres o más factores en un experimento, no es conveniente utilizar el método de lista. Para enumerar todos los resultados posibles sin duplicaciones, generalmente se utiliza el método del diagrama de árbol para calcular la probabilidad. .

)

Capítulo 4 Similitud de figuras

4.1 Segmentos de recta proporcionales

4.2 Segmentos de recta paralelas proporcionales

4.3 Polígonos semejantes

4.4 Explora las condiciones para la similitud de triángulos

4.5 Prueba del teorema de determinación de triángulos similares

4.6 Usa triángulos similares para medir la altura

4.7 Propiedades de triángulos similares

4.8 Similitud de posición de los gráficos

1. Relación de segmentos de línea

※1. Si se usa la misma unidad de longitud para medir las longitudes de dos líneas. Los segmentos AB y CD respectivamente son m, n, entonces la relación de estos dos segmentos de línea es AB:CD=m:n, o se escribe como.

※2. c, d, si a y b La relación de es igual a la relación de cy d, es decir, estos cuatro segmentos de línea a, b, c, d se denominan segmentos de línea proporcionales, denominados segmentos de línea proporcionales.

※3. Notas:

①a:b=k, lo que indica que a es k veces de b;

②Dado que las longitudes de los segmentos de línea a y b son ambos números positivos, k es un número positivo;

③Relación con todos La unidad de longitud del segmento de línea seleccionado no importa Al calcular, la unidad de longitud de los dos segmentos de línea debe ser consistente;

④Excepto a=b, a:b≠b:a, y son recíprocos entre sí;

⑤Propiedades básicas de la proporción: si, entonces ad=bc; si ad=bc, entonces

2. Sección Áurea

※1. Como se muestra en la Figura 1, el punto C divide el segmento de línea AB en dos segmentos de línea AC y BC, entonces se dice que el segmento de línea AB es. áureo seccionado por el punto C. El punto C se llama punto de sección áurea del segmento de línea AB La proporción de AC a AB se llama proporción áurea

※ 2. La sección áurea es la más hermosa y agradable. punto.

4. Polígonos semejantes

¤1 Generalmente, las figuras con la misma forma se llaman figuras semejantes.

p>

※2. Dos polígonos cuyos ángulos correspondientes son iguales y cuyos lados correspondientes son proporcionales se llaman polígonos similares. La razón de los lados correspondientes de polígonos similares se llama razón de similitud.

5. Triángulos similares

※1. Entre los polígonos similares, el más simple son los triángulos similares.

※2 Los triángulos cuyos ángulos correspondientes son iguales y cuyos lados correspondientes son proporcionales se llaman triángulos similares. La proporción de los lados correspondientes de triángulos similares. se llama razón de similitud.

※3. Los triángulos congruentes son un caso especial de triángulos similares. En este caso, la razón de similitud es igual a 1. Nota: Para demostrar dos triángulos similares, es como demostrar dos congruentes. triángulos, se deben representar los vértices correspondientes Las letras de están escritas en las posiciones correspondientes

※ La proporción de las alturas correspondientes de triángulos similares, la proporción de las líneas medias correspondientes y la proporción de las correspondientes. las bisectrices de los ángulos son todas iguales a la razón de similitud.

※ 5. La razón de los perímetros de triángulos similares es igual a la razón de similitud

※ La razón de las áreas. de triángulos similares es igual al cuadrado de la razón de similitud.

6. Explorando las condiciones para la similitud de triángulos

※Cómo determinar triángulos similares:

<. p> Triángulo general triángulo rectángulo

Teorema básico: paralelo a un lado del triángulo y a los otros dos lados (o extensiones de ambos lados) El triángulo interceptado por líneas rectas que se cruzan es similar al triángulo original.

①Los dos ángulos son iguales;

②Los dos lados son proporcionales y los ángulos incluidos son iguales;

③Tres lados son proporcionales ①Un ángulo agudo es igual;

②Dos lados son proporcionales:

a. Dos lados rectángulos son proporcionales;

b. La hipotenusa y el ángulo recto son proporcionales.

※2. El teorema de proporcionalidad de segmentos de línea paralelos: tres líneas paralelas cortan dos líneas rectas y los segmentos de línea correspondientes resultantes son proporcionales.

p>

Como se muestra en la Figura 2, l1 / / l2 // l3, entonces.

※3. Una línea recta paralela a un lado del triángulo intersecta los otros dos lados (o las líneas de extensión de ambos lados). triángulo.

8. Propiedades de polígonos semejantes

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p> ※El perímetro de polígonos similares es igual a la relación de similitud; la relación de área es igual al cuadrado de la relación de similitud.

9. Ampliación y reducción de figuras

※ 1. Si dos figuras no son solo figuras similares y las líneas rectas de cada conjunto de puntos correspondientes pasan por el mismo punto, entonces esas dos figuras se denominan figuras de similitud; en este momento, este punto se llama relación de similitud; también se llama relación de similitud.

※2. La relación entre cualquier par de puntos correspondientes en la figura de similitud y el centro de la similitud es igual a la relación de similitud.

◎3 Transformación de similitud:

①Transformación La figura resultante no solo es similar a la figura original, sino que también las líneas correspondientes a los vértices se cruzan en un punto y la distancia desde el punto correspondiente a esta intersección es proporcional. Esta transformación de similitud especial se llama transformación de similitud. Este punto de intersección se llama centro de similitud.

② Una figura se puede transformar en otra figura después de una transformación similar. formas.

③Una figura se puede ampliar utilizando un método similar o alejarla.

Capítulo 5 Proyección y vista

5.1 Proyección

5.2 Vista

※Tres vistas incluyen: vista principal, vista superior y vista izquierda.

Las tres vistas deben estar alineadas en largo, alto y ancho. Generalmente, la vista superior se dibuja debajo de la vista principal y la vista izquierda se dibuja a la derecha de la vista frontal.

Vista frontal: básicamente la imagen vista desde el frente del objeto

Vista superior: básicamente la imagen vista desde la parte superior del objeto

Vista izquierda: Básicamente, se puede considerar como la imagen vista desde el lado izquierdo del objeto

※Cada estructura alámbrica cerrada en la vista representa una superficie (plana o superficie curva) del objeto, y las dos estructuras alámbricas cerradas conectadas deben no estar sobre una superficie plana.

※Cada pequeño marco de alambre incluido en un marco de alambre de contorno debe ser un pequeño cuerpo plano (o cuerpo curvo) que sea convexo o cóncavo en un cuerpo plano (o cuerpo curvo).

※Al dibujar una vista, el contorno de la parte visible generalmente se dibuja como una línea continua y el contorno de la parte invisible generalmente se dibuja como una línea de puntos.

Cuando un objeto es iluminado por la luz, dejará su sombra en el suelo o en la pared. Esto es una proyección.

Los rayos del sol pueden verse como rayos paralelos, y la proyección formada por dichos rayos se denomina proyección paralela.

La luz de los reflectores, linternas y farolas se puede ver partiendo de un punto. La proyección formada por dicha luz se llama proyección central.

※Distinga entre proyección paralela y proyección central: ①Observe la fuente de luz; ②Observe la sombra.

La posición de los ojos se llama punto de vista; la línea que emana del punto de vista se llama línea de visión; el lugar donde los ojos no pueden ver se llama punto ciego.

※Los gráficos vistos de frente, superior y lateral son proyecciones ortográficas comunes, que son proyecciones cuando la luz es perpendicular a la proyección.

①La proyección de un punto en un plano sigue siendo un punto

②La proyección de un segmento de recta sobre una superficie se puede dividir en tres situaciones:

Segmento de línea Cuando el segmento de línea es perpendicular a la superficie de proyección, la proyección es un punto

Cuando el segmento de línea es paralelo a la superficie de proyección, la longitud proyectada es igual a la longitud real del segmento de línea; ;

Cuando el segmento de línea está inclinado hacia la superficie de proyección, la longitud proyectada es menor que la longitud real del segmento de línea.

③La proyección de una figura plana en un determinado plano se puede dividir en tres situaciones:

Cuando la figura plana y la superficie de proyección son paralelas, la proyección es la forma real <; /p >

Cuando la figura plana es perpendicular a la superficie de proyección, su proyección es un segmento de línea

Cuando la figura plana y la superficie de proyección están inclinadas, su proyección es más pequeña que la forma real; .

Capítulo 6 Función proporcional inversa

6.1 Función proporcional inversa

6.2 Imagen y propiedades de la función proporcional inversa

6.3 Aplicación de la función proporcional inversa Función

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※El concepto de función proporcional inversa: Generalmente, (k es una constante, k≠0) se llama función proporcional inversa, es decir, y es la función proporcional inversa de x.

(x es la variable independiente, y es la variable dependiente, donde x no puede ser cero)

※La forma equivalente de la función proporcional inversa: y es la función proporcional inversa de x ←→ ←→ ←→ ←→ Variables y y x Inversamente proporcionales, el coeficiente proporcional es k.

※Hay dos formas de juzgar si la relación entre dos variables es una función inversamente proporcional: ①Juzgar según la definición de inversamente proporcional función; ②Ver si el producto de las dos variables es un valor constante, es decir>. (Por lo general, el segundo método es más adecuado)

※La gráfica de la función proporcional inversa consta de dos curvas, llamadas hipérbola

※Notas sobre cómo dibujar la función proporcional inversa: ①Proporción inversa La gráfica de una función no es una línea recta, por lo que no se puede dibujar el "método de dos puntos"

② Cuantos más puntos seleccione, más precisa será la gráfica

③ Preste atención a la estética del gráfico al dibujarlo (simetría, características extendidas).

※Propiedades de la función proporcional inversa:

①Cuando k>0, las dos ramas de la hipérbola se ubican en el primer y tercer cuadrante respectivamente, en cada cuadrante, y aumenta con x; Y disminuir;

②Cuando k<0, las dos ramas de la hipérbola se ubican en el segundo y cuarto cuadrante respectivamente; en cada cuadrante, y aumenta con el aumento de x;

③Las dos ramas de la hipérbola estarán infinitamente cerca de los ejes de coordenadas (eje x y eje y), pero no se cruzarán con los ejes de coordenadas.

※Características geométricas de la imagen de la función proporcional inversa: (que se muestra en la Figura 4)

El punto P (x, y) existe en la hipérbola