Preguntas del concurso de funciones cuadráticas (escuela secundaria)
1. Intenta encontrar los números reales a y b de modo que la distancia entre dos puntos adyacentes entre los cuatro puntos de intersección de las funciones y1=x?+ax+b y y2=x?+bx+. a y el eje vx son iguales.
Respuesta: a=0 b=-4
a=-4 b=0
y1=x?+ax+b y y2=x? +bx+a (a≠b)
La intersección de y1=x?+ax+b y el eje x 0=x?+ax+b
x=- a+(a ?-4b)^(1/2) (1)
x=-a-(a?-4b)^(1/2) (2)
y2=x La intersección de ?+bx+a y el eje x 0=x?+bx+a
x=-b+(b?-4a)^(1/2) (3)
x=-b-(b?-4a)^(1/2) (4)
La distancia entre dos puntos adyacentes entre los cuatro puntos de intersección del eje x es igual
(1)=((3)+(4))/2=-b -a+(a?-4b)^(1/2)=-b b=2a-4 (5 )
( 4)=((1)+(2))/2=-a -b-(b?-4a)^(1/2)=-a a=2b-4 (6 )
( 1)-(2)=(3)-(4) 2(a?-4b)^(1/2)=2(b?-4a)^(1/2)
Solución a-b=0 (no cumple con el significado de la pregunta, descartar) a+b=-4 (7)
(5), (7) Resolver simultáneamente a= 0 b=-4
(6), (7) Resuelva simultáneamente a=-4 b=0
Cuando a=0 b=-4 o a=-4 b= 0, la función y1=x?+ax La distancia entre +b y y2=x?+bx+a y dos puntos adyacentes entre los cuatro puntos de intersección del eje x es igual.
2. Se sabe que la gráfica de y=x?-│x┃-12 corta al eje x en dos puntos diferentes A y B. Pasa otra parábola y=ax?+bx+c. pasando por A, B, el vértice es P, y △APB es un triángulo rectángulo isósceles, encuentre a, b, c
Respuesta: Obviamente las coordenadas de A y B son (-4,0), ( 4,0).
y=ax?+bx+c pasa por A y B, entonces b=0, c/a=-16, las coordenadas del punto P son: (0,-16a )
Debido a que APB es un triángulo rectángulo isósceles, entonces AB^2=AP^2+BP^2,
Encuentra a=±1/4.
Entonces a=1/4, b=0,c=-4 o a=-1/4,b=0,c=4
3. función y=x^2-2Px-P La imagen tiene dos puntos de intersección diferentes con el eje x A(x1,0),
B(x2,0)
( 1) Verificación: 2Px1+x2^2+3P >0
(2) Si la distancia entre los puntos A y B no excede /2p+3/, encuentre el valor máximo de P
Respuesta: Discriminante = 4p^2+ 4p>0
2px1=(x1)^2-p
2px1+(x2)^2+3p=(x1)^ 2+(x2)^2+2p=( x1+x2)^2-2x1x2+2p=4p^2+2p+2p=4p^2+4p>0
Si la distancia entre los puntos A y B no excede丨2p-3丨
|x1-x2|<=|2p-3| ^2
( x1+x2)^2-4x1x2-(2p-3)^2<=0
4p^2+4p-4p^2+12p-9< =0
16p <=9
p<=9/16
El valor máximo de p es 9/16
4 Se conoce la función cuadrática y=x^2+. Las abscisas de los dos puntos de intersección diferentes de (k+2)x+k+5 y el eje x son positivas, entonces el valor de k debe ser ( )<. /p>
A.k>4 o k<-5
B.-5 C.k≥-4 o k≤-5 D.-5≤k≤-4 Porque hay 2 puntos de intersección con el eje X Entonces b^2-4ac=(k+2)^ 2-4(k+5)>0 —— (1) Supongamos que los puntos de intersección con el eje x son x1 y x2 respectivamente Entonces x1+x2=-( k+2)>0 —— (2) x1*x2= k+5>0 —— (3) La solución es -5 Elija B 5. Función cuadrática y=ax ^2+bx+c, cuando x es un número entero, el valor de y también es un número entero. función cuadrática entera. ¿Existe una función cuadrática entera en la que el valor absoluto de a sea menor que 0,5? Si existe, escriba una. Si no existe, explique el motivo. Respuesta: (Método 1) (Prueba por contradicción) Supongamos que existe una función cuadrática entera cuyo valor absoluto a es menor que 0,5, (a≠ 0) Entonces cuando x = 0, y=c, es decir, c es un número entero, Del mismo modo, cuando x=1, y=a+b+c=m, cuando x=-1, y=a-b +c= n, donde myn deben ser números enteros, Suma las dos fórmulas, 2a+2c=m+n, se infiere que 2a también debe ser un número entero, y |a|<0.5, es decir , | 2a|<1, contradictorio. Por lo tanto, no existe una función cuadrática de punto entero cuyo valor absoluto a sea menor que 0,5. (Método 2) Cuando x=0, y=c es un número entero Cuando x=1, y=a+b+c es un número entero Cuando x=-1 , y=a-b+c es un número entero ∴(a+b+c)+(a-b+c)=2a+2c es un número entero Y 2c es un número entero Entonces 2a es un número entero ∵a≠0 ∴|2a|≥1 Es decir, |a|≥0.5