Cursivo para funciones cuadráticas
La relación entre funciones cuadráticas, ecuaciones cuadráticas y desigualdades cuadráticas
Resumen de puntos importantes y difíciles
1 Propiedades básicas de las funciones cuadráticas
(1) Tres representaciones de funciones cuadráticas
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2 +n
(2) Cuando a>0, el valor máximo M y el valor mínimo m de f(x) en el intervalo [p, q], sea x0= (p+q)
Si - Si p≤- Si x0≤- Si - ≥q, entonces f(p)=M ,f (q)=m 2 Distribución de raíces reales y condiciones de la ecuación cuadrática f(x)=ax2+bx+c=0 (1) Ecuación f(x )= 0, una de las dos raíces es mayor que r y la otra es menor que r a?6?1f(r)<0; (2) Ecuación cuadrática f(x)=0 Ambas raíces son mayor que r (3) La ecuación cuadrática f(x)=0 tiene dos raíces en el intervalo (p, q) (4) La ecuación cuadrática f( x) =0 Solo hay un f(p)?6?1f(q)<0 en el intervalo (p, q), o f(p)=0 (prueba) o f(q)=0 (prueba) prueba Si la otra raíz es verdadera dentro de (p, q) (5) La ecuación f(x)=0, una de las dos raíces es mayor que p y la otra es menor que q (p 3 Estrategia de transformación de la desigualdad cuadrática (1) El conjunto solución de la desigualdad cuadrática f(x)=ax2+bx+c≤0 es (-∞, α )∪[β,+∞ a<0 y f(α)=f(β)=0; (2) Cuando a>0, f(α) Cuando a<0, f(α) (3 )Cuando a>0, la desigualdad cuadrática f(x)>0 siempre es cierta en [p, q] o (4)f(x)>0 siempre es cierto Demostración y explicación de ejemplos típicos Ejemplo 1 Se sabe que la función cuadrática f(x)=ax2+bx+c y la función lineal g(x) =-bx, donde a, b, c satisface a>b>c, a+b+c=0, (a, b, c∈R) (1) Verifica que las gráficas de dos funciones se cruzan en dos puntos diferentes A, B (2) Encuentre el rango de valores largo de la proyección A1B1 del segmento de línea AB en el eje x Intención de la proposición Esta La pregunta prueba principalmente la comprensión de los candidatos de las ideas de funciones y ecuaciones en funciones. Capacidad de aplicación Lo más destacado de responder esta pregunta basándose en el conocimiento es la aplicación competente del conocimiento de las ecuaciones para resolver problemas y la combinación perfecta. de números y formas Análisis de solución incorrecto Dado que esta pregunta parece centrarse en " "Forma", la dificultad de esta pregunta es que algunos candidatos pueden tener malentendidos y siempre quieren encontrar un gran avance en la resolución de problemas. en "forma", mientras se ignora "número" Las técnicas y métodos se transforman inteligentemente usando ideas de ecuaciones (1) Demuestre que al eliminar y, obtenemos ax2+2bx+c= 0 Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac +c2)=4［(a+ c2】 ∵a+b+ c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴ c2> 0,∴Δ>0, es decir, las gráficas de las dos funciones se cruzan en dos puntos diferentes (2) Resuelva la ecuación ax2+bx+c=0 y suponga que las dos raíces de la ecuación ax2+bx+c=0 son x1 y x2, entonces x1+ x2=－ ,x1x2= |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵a>b>c,a+b +c=0,a>0 ,c< 0 ∴a>-a-c>c, la solución es ∈(-2,-) La ecuación del eje de simetría de ∵ es ∈(- 2,-), es una función decreciente ∴|A1B1|2∈(3,12), por lo que |A1B1|∈( ) Ejemplo 2 Dos ecuaciones conocidas sobre x Ecuación cuadrática x2+2mx+2m+1=0 (1) Si la ecuación tiene dos raíces, una de ellas está en el intervalo (-1, 0) y la otra está en el intervalo (1 , 2) Dentro, encuentre el rango de m (2) Si ambas raíces de la ecuación están dentro del intervalo (0, 1), encuentre el rango de m Intención de la proposición Esta pregunta se centra en examinar las raíces del problema de distribución de ecuaciones Lo más destacado de responder esta pregunta basándose en el conocimiento es estar familiarizado con la importancia de las raíces de la ecuación para las propiedades de la función cuadrática El análisis de solución incorrecta utiliza las propiedades de la función cuadrática para las raíces de la ecuación Al restringir, la dificultad para responder esta pregunta es que las condiciones no son estrictas Técnicas y métodos: Configuración la función correspondiente a la ecuación cuadrática, dibuje el diagrama esquemático correspondiente y luego use las propiedades de la función para restringirla Solución (1) La condición establece que los puntos de intersección de la parábola f(x) =x2+2mx+2m+1 y el eje x están en los intervalos (-1, 0) y (1, 2) respectivamente. Dibuja un diagrama esquemático para obtener ∴ (Aquí 0 <-m<1 se debe a que el eje de simetría x=-m debe pasar por el intervalo (0, 1)) Ejemplo 3 Se sabe que para todos los valores reales de x, la función cuadrática f(x) Los valores de =x2-4ax+2a+12(a∈R) son todos no negativos. Encuentre el rango de valores de las raíces de la ecuación =|a-1|+2 sobre x La solución se conoce a partir de las condiciones Δ≤0, es decir, (-4a) 2-4(2a+12)≤0, ∴- ≤a≤2 (1) Cuando - ≤a<1, la ecuación original se convierte en x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a-)2+ Cuando ∴a=-, xmin= , cuando a=, xmax = ∴ ≤x≤ (2) Cuando 1≤a≤2, x=a2+3a+2= (a+ )2- ∴Cuando a=1, xmin=6, cuando a=2, xmax=12, ∴6≤x≤12 En resumen, ≤x≤ 12