Preguntas del examen de ingreso a la universidad de matemáticas de la escuela secundaria de la ciudad de Leshan
Explorar las leyes cambiantes de las figuras geométricas desde la perspectiva del movimiento se denomina preguntas de geometría dinámica, y las preguntas de geometría dinámica resultantes son investigación. En el movimiento de figuras geométricas, hay ciertas preguntas de prueba "cambiantes" y "sin cambios" sobre la posición y la relación cuantitativa de las figuras. En lo que respecta a los objetos en movimiento, existen el movimiento puntual, el movimiento lineal y el movimiento superficial. En lo que respecta a sus formas de movimiento, existen la traslación, la rotación, el plegado y el rodamiento.
Las preguntas de la prueba de geometría dinámica son flexibles y cambiantes, combinan dinámica y estática, y pueden desarrollar la imaginación espacial y la capacidad de análisis integral de los estudiantes en el proceso de cambios de movimiento, lo que se ha convertido en un tema candente en el ingreso a la escuela secundaria. examen en los últimos años. Aquí tomamos las preguntas de los exámenes parciales de 2006 y 2007 como ejemplos para clasificar y analizar las preguntas de geometría dinámica.
Pregunta 1: Tipo Inching
El tipo Inching consiste en diseñar uno o varios puntos móviles sobre algunas figuras geométricas como triángulos, rectángulos, trapecios, etc., y estudiar los cambios de movimiento de estos puntos Las relaciones de equivalencia, relaciones variables, estados especiales de gráficos y relaciones especiales entre gráficos generados en él.
1. Fórmula de un solo punto móvil
Ejemplo 1 (Doce ciudades en la provincia de Liaoning en 2007) Como se muestra en la figura, se sabe que en el triángulo equilátero ABC, los puntos D, E, F son los puntos medios de los lados AB, AC y BC respectivamente, M es el punto que se mueve en la línea recta BC y △DMN es un triángulo equilátero (cuando la posición del punto M cambia, △DMN también se mueve como un todo) .
(1) Como se muestra en la Figura ①, cuando el punto M está a la izquierda del punto B, juzgue la relación cuantitativa entre en y MF. ¿Está el punto f en la recta NE? Escriba la conclusión directamente sin pruebas ni explicación;
(2) Como se muestra en la Figura ②, cuando el punto M está en BC, otras condiciones permanecen sin cambios. ¿Sigue siendo válida la relación cuantitativa entre en y MF en la conclusión de (1)? En caso afirmativo, utilice la Figura ② para probarlo; en caso contrario, explique el motivo.
(3) Si el punto M está a la derecha del punto C, dibuje el gráfico correspondiente en la Figura ③ y juzgue; (1) ¿Sigue siendo válida la relación cuantitativa entre en y MF en la conclusión? ¿Y si se establece? Por favor escriba la conclusión directamente sin pruebas ni explicación.
Ejercicio 1 (Ciudad de Fuzhou, 2007) Como se muestra en la figura, la recta AC‖BD, la recta conectora AB, la recta AC, BD y el segmento AB dividen el plano en cuatro partes. Se estipula que cada punto de la recta no pertenece a ninguna parte. Cuando el punto móvil P cae en una determinada parte, conecta PA y PB para formar ∠PAC.
(1) Cuando el punto móvil p cae en la primera parte, demuestre: ∠APB = ∠PAC ∠PBD
(2) Cuando el punto móvil p cae en la segunda; parte ¿Es verdadero ∠APB = ∠PAC ∠PBD (la respuesta directa es sí o no)?
(3) Cuando el punto en movimiento P cae en la tercera parte, explore completamente la relación entre ∠PAC, ∠APB y ∠PBD, y escriba la ubicación específica del punto en movimiento y la conclusión correspondiente. Elija una de las conclusiones para probar.
Ejercicio 2 (Ciudad de Mianyang, 2006) En el cuadrado ABCD, el punto p es un punto en movimiento en CD, conectado a PA, que pasa por los puntos byd respectivamente como BE⊥PA y DF⊥PA, el pasos Son e y f respectivamente, como se muestra en la Figura ①.
(1) Explore la relación cuantitativa entre las longitudes de los tres segmentos de línea BE, DF y EF. Si el punto P está en la línea de extensión de DC (Figura ②), ¿cuál es la relación cuantitativa entre las longitudes de estos tres segmentos de línea? ¿Qué debemos hacer si el punto P está en la línea de extensión de CD (Figura ③)? Escriba la conclusión directamente;
(2) Elija una de las tres conclusiones en (1) para probarla.
Para resolver este tipo de problemas de geometría de puntos en movimiento, se suele utilizar el "método de descubrimiento de analogías", es decir, observando y comparando las similitudes y diferencias entre dos o varios objetos de investigación matemática similares, y a partir de las propiedades de un objeto de investigación fácilmente explorable. Comience adivinando las propiedades similares de otra o varias figuras similares y luego saque conclusiones relevantes. El método de descubrimiento de analogías puede seguir aproximadamente los siguientes pasos: (1) Según las condiciones conocidas, analizar y observar situaciones posibles desde una perspectiva dinámica. (2) Combine los gráficos correspondientes, utilice frenado estático y utilice el conocimiento aprendido (como congruencia de triángulos, similitud de triángulos, etc.) para sacar conclusiones relevantes.
).(3) Usar analogías para adivinar las propiedades de los gráficos en otras situaciones.
2. Tipo de punto móvil doble
Ejemplo 2 (Escuche a Harbin en 2007) Como se muestra en la Figura 1, en el cuadrado ABCD, las diagonales AC y BD se cruzan en el punto E, Las bisectrices AF ∠BAC, BD se cruzan en el punto f.
(1) Verificación:;
(2) El punto C1 comienza desde el punto C y se mueve a lo largo del segmento CB hasta el punto B ( no coincide con el punto B). Al mismo tiempo, el punto A1 parte del punto A y se mueve a lo largo de la línea de extensión de BA con la misma velocidad. Cuando el punto en movimiento deja de moverse, el otro punto en movimiento A1 también deja de moverse. Como se muestra en la Figura 2, A1F655. Cruce BD en el punto F1, cruce el punto f 1E1⊥a 1c 1, el pie vertical es e 1, adivine el número entre E1F1 y AB.
(3) Bajo la condición de (2), cuando A65438 E1 = 3 y C65438 E1 = 2, encuentre la longitud de BD.
3. Tipo de punto de movimiento múltiple
El ejemplo 3 (Ciudad de Meishan, 2006) es el siguiente: ∠ mON = 90°, hay un cuadrado AOCD dentro de ∠MON, punto A. y el punto C está en los rayos OM y ON respectivamente, el punto B1 es cualquier punto en ON y se forma un cuadrado AB 1C 65438 dentro de ∠MON.
(1) Conecte D1D, verifique: ∞∠suma 1 = 90;
(2) Conecte CC1, ¿adivine cuál es el grado de ∠C1CN? Y prueba tu conclusión;
(3) Toma cualquier punto B2 en ON, toma AB2 como lado, haz un cuadrado AB2C2D2 en ∠MON, observa la gráfica y combina las conclusiones de (1) y ( 2), vuelva a hacer un juicio razonable.
El ejercicio (Ciudad de Yichang, 2007) se muestra en la Figura 1. En △ABC, AB = BC = 5, AC=6. △ECD se obtiene trasladando △ABC en la dirección de BC, conectando AE, AC y BE intersectándose en el punto o.
(1) Determine qué es el cuadrilátero ABCE y explique el motivo;
(2) Como se muestra en la Figura 2, p es un punto en movimiento en la línea BC (Figura 2), (no coincide con los puntos b y c), conecta PO y extiende la línea de intersección AE en el punto q, QR⊥BD , El pie vertical es el punto r.
① ¿Cambia el área del cuadrilátero PQED a medida que se mueve el punto P? En caso afirmativo, explique el motivo; en caso contrario, encuentre el área del cuadrilátero PQED;
②Cuando la longitud del segmento de línea BP es ¿qué valor, son △PQR similares a △BOC?
A través del ejemplo anterior, podemos encontrar que los problemas de puntos móviles dobles se pueden transformar en problemas de puntos móviles únicos. La clave es captar los puntos móviles clave que determinan todo el problema, transformando así el problema.
Pregunta 2: Tipo de línea
1. Tipo de conversión de línea
Ejemplo 4 (Ciudad de Leshan, 2007) Como se muestra en la figura, en el rectángulo ABCD, AB =4,AD=10. Cuando el vértice rectángulo P de la regla rectángulo se desliza sobre AD (el punto P no coincide con los puntos A y D), el lado rectángulo pasa por el punto C y el otro lado rectángulo AB cruza el punto e. Sabemos que la conclusión es "RT △ AEP ∽".
(1) Cuando ∠ CPD = 30, encuentre la longitud de AE
(2) ¿Existe un punto P tal que el perímetro de △DPC sea igual al perímetro? de △AEP ¿El doble de cantidad? Si existe, encuentre la longitud de DP; si no existe, explique por qué.
2. Tipo de rotación de línea
Ejemplo 5 (ciudad de Hengyang, 2006) Conocido: como se muestra en la figura, en el paralelogramo ABCD, AB⊥AC, AB=1, diagonal AC y BD se cruzan en el punto o, gire la línea recta AC en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto o, BC y AD se cruzan en los puntos e y f respectivamente.
(1) Demuestre que cuando el ángulo de rotación es de 90°, el cuadrilátero ABEF es un paralelogramo
(2) Intente demostrar que durante el proceso de rotación, la recta segmenta AF; y EC siempre permanecen iguales;
(3) ¿Es posible que el cuadrilátero BEDF se convierta en un rombo durante la rotación? Si no, explique el motivo; de ser así, explique el motivo y averigüe el grado de rotación en el sentido de las agujas del reloj de AC alrededor del punto O en este momento.
La esencia del movimiento lineal es el avance lento, es decir, el avance lento impulsa el movimiento lineal y luego produce el movimiento superficial. Por lo tanto, el problema geométrico del movimiento lineal se puede convertir en un problema de movimiento puntual para resolver. La clave para resolver este tipo de problemas es comprender todo el proceso de cambios de movimiento gráfico y la igualdad y las relaciones variables entre ellos. Desde los cambios de movimiento de la figura hasta la posición especial, se pueden explorar o inspirar conclusiones generales. Este tipo de pensamiento de lo específico a lo general es extremadamente importante para resolver el problema de los cambios de movimiento.
Pregunta 3: Gráficos Hay tres transformaciones básicas en la transformación de gráficos en movimiento: traslación, rotación y plegado. Lo principal es cambiar la posición de una figura determinada (o parte de ella) y luego analizar la relación entre las figuras en la nueva figura. Estas preguntas a menudo combinan la indagación y la existencia para evaluar la capacidad práctica, la capacidad de observación, la exploración y la capacidad práctica de los estudiantes.
1. Tipo de traducción gráfica
Ejemplo 6 (Hebei, 2007) ABC, AB=AC, intersecta la línea de extensión de BA en el punto g. Coloque un isósceles como se muestra en la Figura 1. Una regla de triángulo rectángulo, el vértice rectángulo de la regla de triángulo es f, un lado rectángulo está en línea recta con el lado AC y el otro lado rectángulo pasa justo por el punto b.
(1) En la Figura 1, pase Observe y mida las longitudes de BF y CG, adivine y escriba la relación cuantitativa entre BF y CG, y luego pruebe su suposición;
(2) Cuando el La regla triangular se traslada a lo largo de la dirección AC a la posición que se muestra en la Figura 2, un lado en ángulo recto todavía está en la misma línea recta que el lado de comunicación y el otro lado en ángulo recto se cruza con el lado BC en el punto d. el punto d es DE⊥BA del punto e. En este momento, observe y mida las longitudes de DE, DF y CG. Adivine y escriba la relación cuantitativa entre DE DF y CG, y luego pruebe su suposición;
(3) Cuando la regla triangular continúa trasladándose a lo largo de la dirección AC a la posición que se muestra en la Figura 3 según (2) (el punto F está en el segmento de línea AC, y el punto F y el punto C no coinciden entre sí .) ¿Sigue siendo válida la conjetura de (2)? (No es necesario explicar el motivo)
La traslación de gráficos es esencialmente la traslación de líneas rectas, que producirán gráficos similares, por lo que la idea clave para resolver este tipo de problemas es obtener la relación entre las cantidades a resolver mediante semejanza. Esta pregunta está diseñada con un triángulo como fondo. Al resolver, debes comprender las características de los triángulos para reducir la dificultad de resolución. También se puede ver en la solución que mediante operaciones apropiadas en triángulos, se pueden cambiar muchas preguntas matemáticas interesantes en el examen de ingreso a la escuela secundaria. Este tipo de preguntas ha aparecido con frecuencia en el examen de ingreso a la escuela secundaria en los últimos dos años.
2. Tipo de rotación gráfica
Ejemplo 7 (Ciudad de Linyi, 2007)
Como se muestra en la Figura 1, se sabe que en △ABC, AB = antes de Cristo = 1, ∠ ABC = 90. Coloque el vértice rectángulo D de un triángulo deF con un ángulo de 30° en el punto medio de AC (el lado rectángulo corto del triángulo es DE y el lado rectángulo largo es DF), y gire el vértice rectángulo D de un triángulo deF con un ángulo de 30° en el punto medio de AC (el lado rectángulo corto del triángulo es DE y el lado rectángulo largo es DF), y gire el triángulo angular DEF en sentido antihorario alrededor del punto D.
(1) En la Figura 1, DE cruza AB en M y DF cruza BC en n.
①Demuestre DM = DN
②En este proceso, la parte superpuesta del triángulo rectángulo DEF y △ABC es un cuadrilátero DMBN. Explique si cambia el área del cuadrilátero DMBN. Si es así, explique cómo. Si no cambia, calcule su área;
(2) Continúe girando hasta la posición que se muestra en la Figura 2, extienda la intersección AB DE a M, la intersección BC DF a N, DM = DN sigue siendo válido. ? En caso afirmativo, proporcione pruebas; en caso contrario, explique el motivo;
(3) Continúe girando hasta la posición que se muestra en la Figura 3, FD abarca de BC a N, ED abarca de AB a M, DM = ¿Se mantiene todavía el DN? Si es así, escriba una conclusión sin pruebas.
Ejercicio 1 (Ciudad de Changde, 2006) Apila dos triángulos rectángulos congruentes ABC y DEF juntos de modo que el vértice agudo D del triángulo DEF coincida con el punto medio O de la hipotenusa del triángulo ABC, donde ∠ ABC =∠ DEF = 90°, ∠C =∠F = 45°, AB = DE.
(1) Como se muestra en la Figura 1, es fácil demostrar que cuando el rayo DF pasa por el punto B, △ APD ∽△ CDQ, es decir, el punto Q coincide con el punto B, en este momento AP CQ =;
(2) Gire el triángulo DEF en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto o desde la posición que se muestra en la Figura 9, suponiendo que el ángulo de rotación es α, donde 0