¿Qué es la transformada de Fourier?
Desde la perspectiva de las matemáticas modernas, la transformada de Fourier es una transformada integral especial. Puede expresar una función que satisface ciertas condiciones como una combinación lineal o integral de funciones de base sinusoidal. Existen muchas variaciones diferentes de la transformada de Fourier en diferentes campos de investigación, como la transformada de Fourier continua y la transformada de Fourier discreta.
La transformada de Fourier pertenece al contenido del análisis armónico. La palabra “análisis” puede interpretarse como un estudio en profundidad. Literalmente, la palabra "análisis" en realidad significa "análisis fragmentado". Logra una comprensión e investigación profundas de funciones complejas mediante un "análisis fragmentado" de funciones. En filosofía, el "analitismo" y el "reduccionismo" tienen como objetivo mejorar la comprensión de la naturaleza de las cosas mediante un análisis adecuado. Por ejemplo, la teoría atómica moderna intenta analizar el origen de toda la materia del mundo en átomos, pero sólo hay unos pocos cientos de átomos. Comparado con la infinita riqueza del mundo material, este tipo de análisis y clasificación proporciona sin duda un buen medio para comprender las diversas propiedades de las cosas. En el campo de las matemáticas ocurre lo mismo. Aunque el análisis de Fourier se utilizó originalmente como herramienta de análisis para procesos térmicos, su método de pensamiento todavía tiene las características del reduccionismo y la teoría del análisis típicos. "Cualquier" función se puede expresar como una combinación lineal de funciones seno mediante ciertas descomposiciones. La función seno es una función relativamente simple que ha sido completamente estudiada en física. ¡Qué similar es esta idea a la idea de la teoría atómica en química! Curiosamente, las matemáticas modernas han descubierto que la transformada de Fourier tiene muy buenas propiedades, lo que la hace tan fácil de usar y útil que la gente tiene que lamentarse de la magia de su creación:
1. se da una norma apropiada, también es un operador unitario;
2. La transformada inversa de la transformada de Fourier es fácil de encontrar y su forma es muy similar a la transformada directa;
3.Base seno La función es una función intrínseca de operación diferencial, que transforma la solución de ecuaciones diferenciales lineales en la solución de ecuaciones algebraicas de coeficiente constante. En los sistemas físicos lineales invariantes en el tiempo, la frecuencia es una propiedad invariante, por lo que la respuesta del sistema a excitaciones complejas se puede obtener combinando sus respuestas a señales sinusoidales de diferentes frecuencias.
4. El famoso teorema de convolución señala que la transformada de Fourier puede transformar operaciones de convolución complejas en operaciones de producto simples, proporcionando así un medio simple para calcular la convolución;
5. se puede calcular rápidamente utilizando una computadora digital (el algoritmo se llama FFT).
Debido a las buenas propiedades mencionadas anteriormente, la transformada de Fourier se usa ampliamente en física, teoría de números, matemáticas combinatorias, procesamiento de señales, probabilidad, estadística, criptografía, acústica, óptica y otros campos.