¿Qué son los valores propios?
¿Qué significa? Una matriz que actúa sobre un vector es equivalente a un número que actúa sobre el vector. Este número es el valor propio y este vector es el vector propio.
Si quieres aclarar el significado geométrico de los valores propios y los vectores propios, puedes hacer preguntas y te lo puedo explicar claramente, pero el proceso es bastante complicado si no lo necesitas. , No lo explicaré por ahora. Sí, pero supongo que incluso si lo explicas claramente, no será de mucha ayuda para tu estudio. Para ser honesto, incluso si desea realizar el examen de ingreso de posgrado, los valores propios y los vectores propios se resuelven basándose en fórmulas memorizadas.
El significado geométrico es difícil de explicar, y la siguiente explicación se centra en conceptos a expensas de la precisión. Primero, debemos entender el significado geométrico de una matriz. Tomemos como ejemplo una matriz cuadrada de 3 × 3. Si los tres vectores de esta matriz cuadrada de 3 × 3 son linealmente independientes (todos los vectores de fila y de columna están bien), se puede expandir un espacio tridimensional, y así sucesivamente. Si los N vectores en una matriz nxn son linealmente independientes, se puede expandir un espacio N. Los n vectores aquí se denominan base de este espacio. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares de uso común, los dos vectores (1, 0) y (0, 1) se pueden considerar estirados, por lo que la base formada por el vector vertical con una longitud de 1 se llama base ortonormal. . Eso sí, la base no tiene por qué ser vertical, de longitud 1, siempre y cuando no sea paralela.
Luego comprende el significado de la multiplicación de matrices. Según la descripción anterior de la matriz, la multiplicación de matrices puede entenderse como la transición (proyección) de un espacio a otro espacio, y los cambios geométricos durante la transición son rotación y estiramiento. Por ejemplo, se puede pensar que 1*5 se extiende de 1 a 5 en un espacio unidimensional. También gire el eje x 0 grados. Luego hay tres características importantes: el eje de rotación, el ángulo de rotación y el grado de estiramiento a lo largo del eje de rotación. Mientras existan estas tres cantidades, se puede describir el proceso de cambio geométrico de todas las operaciones matriciales. Cabe señalar que el eje giratorio y la base no son lo mismo.
Tomemos un ejemplo de la vida real e imaginemos su entorno como un espacio tridimensional (por supuesto, no tiene que imaginar su vida como un espacio tridimensional). Busque un papel A4, dibuje un segmento de línea con una flecha y trate este segmento de línea como un vector. Luego, levante el papel y deje que este vector sea un vector en un espacio tridimensional. Luego, utilice cualquier borde del papel A4 como eje de rotación para girar el papel, de modo que se pueda lograr la operación de rotación. Como el papel A4 no se puede estirar, sólo puedes imaginar que tu papel A4 es elástico. Estiras el papel a lo largo del eje de rotación que elijas y el vector que dibujas se alarga en consecuencia. Déjame preguntarte, ¿cuál es el cambio en las coordenadas espaciales entre el vector en este momento y el vector al principio?
No creo que puedas responderla, porque el efecto de la rotación espacial en las coordenadas es demasiado complicado y estirado. Pero imaginemos una situación especial en este momento, donde el eje de rotación y el vector coinciden. Es decir, el vector que dibujas está exactamente en el borde del papel A4 y coincide con el borde. Si vuelve a girar el papel A4 a lo largo de este borde, la posición del vector no cambiará sin importar cuántos grados lo gire. Este vector sólo cambia cuando quieres estirarlo.
Descubre cuál es la relación con la descripción de la fórmula superior: "Una matriz que actúa sobre un vector es equivalente a un número que actúa sobre este vector". Una matriz contiene dos cambios: rotación y estiramiento, que actúa sobre una variable y muestra solo estiramiento, no rotación. Esto indica que el vector es consistente con el eje de rotación en la operación de rotación representada por la matriz. El eje de rotación de la multiplicación de matrices es exactamente el significado geométrico del vector propio, y el valor propio se refiere al grado de estiramiento en la dirección de este eje.