Pregunta final sobre la función cuadrática

1. Comprender la connotación y esencia de las funciones cuadráticas.

La función cuadrática Y = AX2 BX C (A ≠ 0, A, B, C son constantes) contiene dos variables X e Y. Siempre que determinemos primero una de las variables, podemos usar la fórmula analítica para encontrar Quitando otra variable, se puede obtener un conjunto de soluciones. Un conjunto de soluciones son las coordenadas de un punto. De hecho, la imagen de una función cuadrática es una gráfica compuesta de innumerables puntos de este tipo.

Estar familiarizado con las imágenes y propiedades de varias funciones cuadráticas especiales.

1. Observe la forma y posición de las imágenes y=ax2, Y = AX2 K, Y = A (X H) 2 mediante puntos de calco y familiarícese con las características básicas de cada imagen. Por el contrario, en base a las características de la parábola, podemos determinar rápidamente de qué expresión analítica se trata.

2. Comprender la fórmula de traducción de la imagen "suma y resta, izquierda más derecha menos".

Y = AX2 → Y = A (X H) 2 K "Suma y resta" pertenece a K, y "sumar por la izquierda y restar por la derecha" pertenece a H.

En resumen, si dos Si los coeficientes de los términos cuadráticos de las funciones secundarias son iguales, sus formas parabólicas son las mismas, pero debido a que las coordenadas y posiciones de los vértices son diferentes, la traslación de la parábola es esencialmente la traslación del vértice. Si las parábolas son de forma general, se convierten en vértices y luego se traducen.

3. A través del dibujo y la traducción de imágenes, entendemos y aclaramos que las características de las expresiones analíticas se corresponden completamente con las características de las imágenes. Al resolver problemas, debemos tener una imagen en mente y ver la función para reflejar las características básicas de su imagen en nuestra mente.

4. A partir de estar familiarizado con la imagen de la función, mediante la observación y análisis de las características de la parábola, comprender el aumento, la disminución, el valor extremo y otras propiedades de la función cuadrática. Utilice imágenes para distinguir los coeficientes A, B, C, Δ de funciones cuadráticas y los símbolos de expresiones algebraicas compuestas de coeficientes.

En tercer lugar, debemos aprovechar al máximo el "vértice" de la parábola.

1. Deberíamos poder encontrar el "vértice" de forma precisa y flexible. La forma es y = a (x h) 2 k → vértice (-h, k). Para otras formas de funciones cuadráticas, podemos convertirla en un vértice para encontrar el vértice.

2. Comprender la relación entre el vértice, el eje de simetría y el valor máximo de la función. Si el vértice es (-h, k), el eje de simetría es x = -h, y el valor máximo (mínimo) de y = k; por el contrario, si el eje de simetría es x = m, el valor máximo de y es n; , entonces el vértice es (m, n);; comprender la relación entre ellos puede lograr el efecto de hacer inferencias al analizar y resolver problemas.

3. Dibujar un boceto utilizando vértices. En la mayoría de los casos, sólo necesitamos dibujar un boceto que nos ayude a analizar y resolver el problema. En este momento, podemos dibujar una imagen aproximada de la parábola según su vértice y la dirección de la abertura.

Comprender y dominar la solución de la intersección de una parábola y un eje de coordenadas.

Por lo general, las coordenadas de un punto constan de abscisas y ordenadas. Cuando encontramos la intersección de la parábola y el eje de coordenadas, podemos dar prioridad a una de las coordenadas y luego usar la expresión analítica para encontrar la otra coordenada. Si la ecuación no tiene raíces reales, significa que la parábola no se cruza con el eje X.

Del proceso anterior de encontrar el punto de intersección, podemos ver que la esencia de encontrar el punto de intersección es resolver la ecuación, que está relacionada con el discriminante de la raíz de la ecuación y el número El número de veces que la parábola se cruza con el eje X está determinado por el discriminante de la raíz.

5. Utilice con flexibilidad el método del coeficiente indeterminado para encontrar la expresión analítica de la función cuadrática.

Utilizar el método del coeficiente indeterminado para encontrar la expresión analítica de una función cuadrática es el método más convencional y eficaz. A menudo hay muchas formas de encontrar expresiones analíticas. Si podemos utilizar de manera integral la imagen y las propiedades de las funciones cuadráticas y usar de manera flexible la idea de combinar números y formas, no solo simplificará los cálculos, sino que también será de gran beneficio para comprender mejor la naturaleza de las funciones cuadráticas y la relación entre ellas. números y formas.

Función cuadrática y=ax2

Requisitos de aprendizaje:

1. Conocer el significado de función cuadrática.

2. Puedo utilizar el método de dibujar puntos para dibujar la imagen de la función Y = AX2, y conocer los conceptos relacionados de parábola.

Análisis de puntos clave y dificultades

1. Esta sección se centra en el concepto de función cuadrática y la imagen y propiedades de la función cuadrática y = ax2; función cuadrática Y = basada en la imagen Propiedades de AX2.

2.= AX2 BX C (donde A, B, C son constantes, a≠0) las funciones son todas funciones cuadráticas. Sólo puede haber dos en la expresión analítica.

Hay variables x e y, y el coeficiente del término cuadrático de x no puede ser 0. El rango de valores de la variable independiente x suele ser un número real, pero la cantidad real debe ser significativa en el problema real. Por ejemplo, en la relación entre el área del círculo S y el radio del círculo R, el radio R solo puede ser no negativo.

3. La forma de la parábola y = ax2 está determinada por a, y el signo de a determina la dirección de apertura de la parábola. Cuando a > 0, la apertura es hacia arriba, la parábola está por encima del eje Y (el vértice está en el eje X) y se extiende hacia arriba infinitamente. Cuando a < 0, la apertura es hacia abajo, la parábola está debajo del eje X (el vértice está en el eje X) y se extiende hacia abajo infinitamente. Cuanto más grande | a |, más pequeña es la abertura; cuanto más pequeña | a |, más grande es la abertura.

4. Al dibujar la parábola y = ax2, primero haz una lista, luego dibuja los puntos y finalmente conecta las rectas. Al seleccionar el valor de la variable independiente X en la lista, a menudo se centra en 0, así que elija un valor entero que sea fácil de calcular y realizar un seguimiento de los puntos. Al realizar un seguimiento de los puntos, asegúrese de conectarlos con curvas suaves y preste atención a las tendencias cambiantes.

Las proposiciones de esta sección examinan principalmente el concepto de función cuadrática, la aplicación de imágenes y las propiedades de la función cuadrática Y = AX2.

Conocimientos básicos

Regla 1

El concepto de función cuadrática:

En términos generales, si es una constante, entonces y es llamada función cuadrática de x.

Regla 2

Conceptos relacionados de parábola:

Figura 13-14

Como se muestra en la Figura 13-14, la función y = La imagen de x2 es una curva simétrica con respecto al eje y, llamada parábola. De hecho, las gráficas de funciones cuadráticas son todas parábolas. La parábola y=x2 se abre hacia arriba, el eje y es el eje de simetría de esta parábola y la intersección del eje de simetría y la parábola es el vértice de la parábola.

Regla 3

Propiedades de la parábola y=ax2;

Generalmente, el eje de simetría de la parábola y=ax2 es el eje Y, y el vértice es el origen. Cuando a > 0, la apertura de la parábola y=ax2 es hacia arriba. Cuando a < 0, la apertura de la parábola y=ax2 es hacia abajo.

Regla 4

1. El concepto de función cuadrática

(1) Definición: En términos generales, si y = AX2 BX C (A, B, C es una constante, a≠0), entonces y se llama función cuadrática de x (2) Función cuadrática y = AX2 BX Las características estructurales de C son: la función y está en el lado izquierdo del signo igual, y la independiente La variable está en el lado derecho del signo igual.

2. La imagen de la función cuadrática y = ax2

Figura 13-1

Utilice el método de dibujo de puntos para dibujar la imagen de la función cuadrática y = x2. Como se muestra en la figura 13-1, esta es una curva que es simétrica con respecto al eje y. Esta curva se llama parábola.

Debido a que la parábola Y = x2 es simétrica con respecto al eje Y, el eje Y es el eje de simetría de esta parábola, y la intersección del eje de simetría y la parábola es el vértice de la parábola. Según la gráfica, el vértice de la parábola Y = x2 es el punto más bajo de la imagen. Como la parábola Y = x2 tiene un punto más bajo, la función Y = x2 tiene un valor mínimo y su valor mínimo es la ordenada del punto más bajo.

3. Propiedades de la función cuadrática y = ax2

Función

Dibujar

Dirección abierta

Vértice Coordenadas

Eje de simetría

Cambios de función

Valor máximo (mínimo)

y=ax2

a > 0

Arriba

(0, 0)

Eje y

Cuando x > 0, y aumenta con x Incremento;

Cuando x < 0, y disminuye a medida que x aumenta.

Cuando x = 0, y mínimo = 0.

y=ax2

Cuando a 0, y disminuye con el aumento de x.

Cuando x < 0, y aumenta con x.

Cuando x = 0, y máx = 0.

4. Utilice la función cuadrática y = ax2 para dibujar una imagen.

Cuando utilice la función cuadrática y = ax2 para dibujar un punto, se debe seleccionar el valor de la variable independiente x. simétricamente alrededor del vértice. Luego calcule el valor de y correspondiente. Cuanto más densa sea la selección de los valores correspondientes, con mayor precisión se dibujará la imagen.

Función cuadrática y=ax2 bx c

Requisitos de aprendizaje:

1. La gráfica de la función cuadrática se dibujará mediante dibujo.

2. La dirección de apertura, eje de simetría, vértice y posición de la parábola se puede determinar mediante imágenes o fórmulas.

* 3. La fórmula analítica de la función cuadrática se obtendrá a partir de las coordenadas de los tres puntos de la imagen conocida.

Puntos clave y dificultades

1. Esta sección se centra en la comprensión y aplicación flexible de la imagen y las propiedades de la función cuadrática Y = AX2 BX C, pero la dificultad radica en la función cuadrática Y = AX2 Las propiedades de BX C y la fórmula para convertir la expresión analítica a la forma Y = A (X-H) 2 K.

2. El estudio de esta sección requiere una cuidadosa observación e inducción de las características de las imágenes y la relación entre diferentes imágenes. Conecte diferentes imágenes y descubra su singularidad.

En términos generales, si los coeficientes cuadráticos a de varias funciones cuadráticas diferentes son los mismos, la dirección de apertura y el tamaño de apertura (es decir, la forma) de la parábola son exactamente iguales, pero las posiciones son diferentes.

Cualquier parábola y = a (x-h) 2 k se puede obtener trasladando adecuadamente la parábola y = ax2. El método de traducción específico se muestra en la siguiente figura:

Nota: La regla de traducción anterior es: "El valor H es positivo y negativo, desplazándose hacia la izquierda y hacia la derecha; el valor k es positivo, negativo, arriba y abajo ." De hecho, está relacionado con el problema de traducción de una parábola. Relacionado, no se pueden memorizar las reglas de traducción de memoria. Es muy sencillo determinar la dirección de traslación y la distancia en función de la relación posicional de sus vértices.

Figura 13-11

Por ejemplo, para estudiar la relación posicional entre la parábola L1: y = x2-2x 3 y la parábola L2: y = x2, podemos usar la fórmula y = x2- 2x 3 se convierte en el vértice Y = (x-1) 2 2, y encuentra su vértice M1(1. A su vez, traslada L1 1 unidad hacia la izquierda y luego 2 unidades hacia abajo para obtener L2.

La imagen de la función cuadrática Y = AX2 BX C tiene exactamente la misma forma que la imagen de Y = AX2, y sus propiedades son similares. Cuando a > 0, las aberturas de las dos parábolas se extienden hacia arriba y se extienden infinitamente. y la parábola tiene su punto más bajo, y. tiene un valor mínimo; cuando a < 0, la abertura se extiende hacia abajo e infinitamente, la parábola tiene un punto más alto, y y tiene un valor máximo. Al dibujar una parábola, primero determine la dirección de apertura, el eje de simetría y la posición del vértice, y luego use una lista simétrica de funciones, de modo que pueda obtener una imagen completa y precisa después de dibujar una línea. solo una parte, y =-(x 1) 2-1 >

Lista:

x

-3

-2

-1

1

2

三

y

-3

-1.5

-1

-1.5

-3

-5.5

- 9

Traza puntos y conéctalos en una imagen. Como se muestra en la Figura 13-11, no puede reflejar la imagen completa.

Solución correcta: según la fórmula analítica, la imagen se abre. hacia abajo, el eje de simetría es X = -1 y las coordenadas del vértice son (-1, -1).

Lista:

x

-4

-3

-2

-1

1

2

y

-5.5

-3

-1.5

-1

-1.5

-1.5

-5.5

Línea de seguimiento: Como se muestra en la Figura 13-12.

Figura 13-12

4. Utilice el método de configuración para transformar la función cuadrática Y = AX2 BX C en Y = A (X-H) 2 K. Primero, los coeficientes del término cuadrático. debe proponerse A. Los errores comunes sólo se mencionan en el primer elemento y se omiten más adelante. Por ejemplo, si escribes y =-x2 6x-21 como y =-(x2 6x-21) o y = y=- (x2 6x-21 02x-42), los símbolos son incorrectos, principalmente porque no dominas el método de sumar paréntesis regla.

Las proposiciones de esta sección examinan principalmente la imagen y las propiedades de la función cuadrática Y = AX2 BX C y su aplicación en la vida real. Hay preguntas para completar espacios en blanco, preguntas de opción múltiple, preguntas analíticas y preguntas integrales sobre ecuaciones, geometría y funciones lineales, que a menudo se utilizan como preguntas finales en el examen de ingreso a la escuela secundaria.

Conocimientos básicos

Regla 1

Propiedades de la parábola y=a(x-h)2 k;

Parábola general y=a( x-h)2 k y y=ax2 tienen la misma forma pero diferentes posiciones. La parábola y=a(x-h)2 k tiene las siguientes características:

(l) Cuando a > 0, la apertura es hacia arriba; cuando a < 0, la apertura es hacia abajo

( 2) El eje de simetría es la recta x = h;

(3) Las coordenadas del vértice son (h, k).

Regla 2

Propiedades de la función cuadrática y=ax2 bx c;

Y=ax2 bx c (a, B, C son constantes, a≠ 0 ) es una función cuadrática y la imagen es una parábola. La función cuadrática se puede expresar en la forma y = a (x-h) 2 k usando la fórmula. A partir de esto, se puede determinar que el eje de simetría de esta parábola es una línea recta cuando la coordenada del vértice es A > 0, la apertura es hacia arriba. Cuando a < 0, la apertura es hacia abajo.

Regla 3

1. Varias formas de funciones de resolución cuadráticas

(1) Fórmula general: Y = AX2 BX C (A, B, C es a constante, a≠0).

(2) Vértice: y = a (x-h) 2 k (a, h, k son constantes, a≠0).

(3) Dos expresiones: y = a (X-X1) (X-X2), donde X1 y X2 son las abscisas de la intersección de la parábola y el eje X, es decir, la ecuación cuadrática AX2 BX C = dos raíces de 0, a≠0.

Descripción: (1) Cualquier función cuadrática se puede transformar en el vértice Y = A (X-H) 2 K mediante la fórmula Las coordenadas del vértice de la parábola son (H, K). , la parábola Y = AX2 El vértice de K está en el eje Y cuando k = 0, el vértice de la parábola a(x-h)2 está en el eje X cuando H = 0, K = 0, el vértice de la parábola Y; = AX2 está en el origen.

(2) Cuando la parábola y = ax2 bx c intersecta al eje x, es decir, la ecuación cuadrática ax2 bx c = 0 tiene la suma de raíces reales x1.

Cuando existe x2, la función cuadrática y = ax2 bx c se puede transformar en dos fórmulas y = a (x-x1)(x-x2) según la fórmula de descomposición del trinomio cuadrático.

2. Determinación de la segunda función de resolución

Para determinar la segunda función de resolución, generalmente todavía se utiliza el método del coeficiente indeterminado. Debido a que la función de resolución cuadrática tiene tres coeficientes indeterminados A, B, C (o A, H, K o A, x1, x2), es necesario conocer tres condiciones independientes para determinar la función de resolución cuadrática. Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos cualesquiera de la parábola, conviene elegir la fórmula general.

Cuando se conocen las coordenadas del vértice de la parábola, es más conveniente seleccionar el vértice. Cuando se conocen las coordenadas de la parábola y el eje X (o las abscisas x1, x2), es más conveniente elegir dos fórmulas.

Nota: Cuando se utiliza el tipo de vértice o el tipo de dos radicales para encontrar la función de resolución cuadrática, al final se utilizará la fórmula general.

3. La gráfica de la función cuadrática y = AX2 BX C

La gráfica de la función cuadrática y = AX2 BX C es una parábola con su eje de simetría paralelo a (incluyendo coincidente con el eje Y.

4. Propiedades de las funciones cuadráticas

Según la imagen de la función cuadrática y = ax2 bx c, sus propiedades se pueden resumir de la siguiente manera:

Función

Función cuadrática y = AX2 BX C (A, B, C son constantes, a≠0)

Dibujar

como

a> 0

a 0, y tiene un valor mínimo, cuando x = h, y tiene un valor mínimo = k, si a < 0, y tiene un valor máximo, cuando x = h, y tiene un valor máximo.

②Método de fórmula: use directamente la fórmula de coordenadas del vértice (-,) para encontrar su vértice; el eje de simetría es la línea recta x =-, si a> 0, y tiene un valor mínimo; -, y tiene el valor mínimo =; si a < 0, y tiene el valor máximo cuando x =-, y tiene el valor máximo =.

6. Utilice la función cuadrática y = ax2 bx c para dibujar una imagen.

Dado que la imagen de la función cuadrática es parabólica y axialmente simétrica, a menudo se utiliza el calco simplificado al dibujar. Método de puntos y método de cinco puntos, los pasos son los siguientes:

(1) Primero, encuentre las coordenadas del vértice y dibuje el eje de simetría;

(2) Encuentre los cuatro puntos de la parábola alrededor del eje de simetría (como la intersección con el eje de coordenadas, etc.);

(3) Utilice una curva suave para conectar estos cinco puntos de izquierda a derecha.

7. La posición de la imagen de la función cuadrática y = AX2 BX C está estrechamente relacionada con los signos de A, B, C y δ (ver la siguiente tabla):

Elemento

Ojo

Palabra

Madre

Símbolo del alfabeto

Posición de la imagen

a

a>0

a0 ab 0 c < 0

Pasa por el origen y se cruza con el semieje positivo del eje Y y se cruza con el semieje negativo del eje Y.

8. La relación entre funciones cuadráticas y ecuaciones cuadráticas

La abscisa x1 de las dos intersecciones de la imagen (parábola) de la función cuadrática y = ax2 bx c y la x- axis y x2 son las dos raíces reales de la ecuación cuadrática correspondiente ax2 bx c = 0. El punto de intersección de la parábola y el eje x se puede juzgar por el discriminante de la raíz de la ecuación cuadrática correspondiente:

La parábola con δ > 0 tiene dos puntos de intersección con el eje x;

δ = La parábola 0 tiene 1 punto de intersección con el eje X;

La línea del objeto con δ < 0 intersecta (no intersecta) el cero del eje X.