¿Qué es una matriz definida positiva?

Una matriz definida positiva es una matriz cuadrada cuyos elementos satisfacen las siguientes condiciones: para todos los vectores x e y distintos de cero, existe xTygt 0, donde xTy representa el vector obtenido al multiplicar la matriz; y el vector x El producto interno de. Es decir, para cualquier conjunto de vectores xey que no sean todos cero, su producto interno es positivo.

La matriz definida positiva se puede transformar a la forma estándar, es decir, la matriz identidad, mediante transformación contractual. Todas las matrices simétricas (o matrices hermitianas) con valores propios mayores que cero también son matrices definidas positivas. Una matriz definida positiva debe ser no singular y cualquier submatriz principal también es una matriz definida positiva.

Para cualquier vector x, el hiperplano perpendicular a él divide el espacio en dos partes. Una parte está en el mismo lado que x, es decir, el lado donde el producto interno de El producto es negativo. Por definición, una transformación lineal definida positiva cambia cualquier vector x al mismo lado de x.

Si tiene un valor propio real, debe ser positivo, de lo contrario cambiará el vector propio al otro lado. Una transformación lineal cambia un conjunto de bases unitarias e1, en a otro conjunto de vectores v1, vn. Los puntos finales y orígenes de estos n nuevos vectores forman un poliedro. El volumen de este poliedro es el determinante de la transformación lineal. Para una transformación definida positiva, su determinante es positivo, por lo que este poliedro no es degenerado y la orientación determinada por v1 y vn es la misma que la orientación determinada por e1 y en.

Suplemento

No mantiene la forma. Lo que permanece sin cambios debe ser isométrico, es decir, debe ser una transformación ortogonal O(n). El caso más común de transformación definida positiva es la transformación de simetría definida positiva. Las transformaciones de simetría definida positiva se utilizan con mayor frecuencia para definir productos internos. Es decir, defina = xAy como el producto interno de x, y.

Una matriz definida positiva tiene las siguientes propiedades

(1) El determinante de una matriz definida positiva es siempre positivo.

(2) La matriz simétrica real A es definida positiva si y sólo si A es consistente con la matriz identidad.

(3) Si A es una matriz definida positiva, entonces la matriz inversa de A también es una matriz definida positiva.

(4) La suma de dos matrices definidas positivas es una matriz definida positiva.

(5) El producto de un número real positivo y una matriz definida positiva es una matriz definida positiva.

Métodos de determinación

De acuerdo con la definición y las propiedades de una matriz definida positiva, hay dos formas de determinar la precisión positiva de una matriz simétrica A:

(1) Encuentre A todos los valores propios de . Si los valores propios de A son todos positivos, entonces A es definido positivo; si los valores propios de A son todos negativos, entonces A es definido negativo;

(2) Calcular las fórmulas principales de cada orden de A. Si las subexpresiones principales de cada orden de A son mayores que cero, entonces A es definida positiva; si entre las subexpresiones principales de cada orden de A, las fórmulas principales de orden impar son negativas y las fórmulas principales de orden par son positivas, entonces; A es definida negativa.