¿Qué son las desigualdades y los grupos de desigualdad?
Desigualdades
La combinación de varias desigualdades que contienen las mismas incógnitas se llama desigualdad.
Se forma conectando dos expresiones analíticas con el signo de desigualdad. . Por ejemplo, x2+y2≥2xy, sinx≤1, ex>0, 2x<3, etc. Las desigualdades también se pueden clasificar según la clasificación de expresiones analíticas. Las expresiones analíticas en ambos lados del signo de desigualdad son desigualdades algebraicas, que se denominan desigualdades algebraicas, siempre que un lado sea una expresión trascendental, se denomina desigualdad trascendental. Por ejemplo, lg(1+x)>x es una desigualdad trascendental.
Las desigualdades, al igual que las ecuaciones, también son un modelo importante en álgebra. En términos de conceptos, es muy similar a las ecuaciones. Lo que es particularmente importante es que las desigualdades tienen una serie de propiedades básicas y "los resultados básicos de las matemáticas son a menudo algunas desigualdades en lugar de ecuaciones". Esta conferencia es la base para el aprendizaje sistemático de las desigualdades.
A continuación se presentarán primero los conocimientos básicos sobre desigualdades lineales y luego se analizarán ejemplos.
1. Propiedades básicas de las desigualdades
Lo que hay que enfatizar aquí es que cuando se utiliza un número o expresión que no es igual a cero para multiplicar (o dividir) una desigualdad, se debe prestar atención a la diferencia en propiedades similares. entre éste y la ecuación, es decir, cuando el número o fórmula que se multiplica (o divide) es mayor que cero, la dirección del signo de desigualdad permanece sin cambios (propiedad (5)); es menor que cero, la dirección del signo de desigualdad cambia (propiedad (6) )).
2. Concepto de intervalo
En muchos casos, las desigualdades se pueden utilizar para representar conjuntos de números y conjuntos de puntos. Si a y b son números reales y a (1) El número total x que satisface la desigualdad a (2) El número total x que satisface la desigualdad a≤x≤b se llama intervalo cerrado y se denota como [a, b]. Como se muestra en la Figura 1-4(b). (3) El conjunto completo de x que satisface la desigualdad a 3. Soluciones generales a desigualdades lineales Al igual que las ecuaciones, las desigualdades lineales de una variable siempre se pueden escribir en la siguiente forma estándar después de mover términos, fusionar términos similares y ordenarlos: ax>b, o ax La desigualdad lineal de una variable ax>b. (3) Cuando a=0, El intervalo se expresa como (-∞, ∞). Ejemplo 1 Resuelve la desigualdad Multiplica ambos lados por 6 para obtener 12(x 1) 2(x-2)≥21x-6, p> Simplifica para obtener -7x≥-14, Si ambos lados se dividen por -7, x≤2. Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x≤2, expresada como (-∞, 2] en el intervalo. Ejemplo 2 Encuentra la solución entera positiva de la desigualdad . Solución entera positiva, por lo que la solución entera positiva de la desigualdad original es x=1, 2, 3. Ejemplo 3 Resolviendo la desigualdad Análisis y solución Debido a que y2 1>0, entonces según la desigualdad Las propiedades básicas de son Ejemplo 4 Resolviendo la desigualdad Para x 2>7, la solución es x>5. no tiene en cuenta las condiciones que hacen que la desigualdad original tenga sentido: x≠ 6. La solución es transformar la desigualdad original en Solución Entonces la solución de la desigualdad original es x>5 y x≠6 Ejemplo 5 Se sabe que 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x), y y Solución Primero resuelve la ecuación sobre x Obtén x=-10 Sustituyendo x=-10 en la desigualdad obtenemos y<-10 9, es decir, y<-1. Ejemplo 6 Resolviendo la desigualdad sobre x: p> La solución es obviamente a≠0, transforma la desigualdad original en 3x 3-2a2>a-2ax, es decir (3 2a )x>(2a 3)(a-1). Las soluciones a desigualdades que contienen coeficientes de letras también deben discutirse caso por caso. Ejemplo 7 Dados a y b son un número real, si la desigualdad. (2a-b)x 3a-4b<0 la solución es (2a-b)x 3a-4b<0 (2a-b)x<4b- 3a. Se puede obtener de ② Sustituye ③ en ① para obtener Entonces b＜ 0. Entonces la desigualdad (a-4b)x 2a-3b>0 se puede transformar en Porque b<0, entonces El siguiente ejemplo ilustra la solución del grupo de desigualdad. La solución de un grupo de desigualdad es la parte común de las soluciones de todas las desigualdades del grupo de desigualdad. Si el grupo de desigualdades consta de dos desigualdades, y cada desigualdad se resuelve por separado, la solución siempre se puede resumir en una de las siguientes cuatro situaciones (se puede suponer que α < β): Las soluciones son: x>β; x<α; α Si el grupo de desigualdades consta de dos o más desigualdades, su solución se puede obtener mediante los dos métodos siguientes: (1) Transformado en la parte común de encontrar la solución de la desigualdades por pares ． Por ejemplo, resolver (2) La solución del grupo de desigualdades generalmente es un intervalo. La clave para resolver es determinar los límites superior e inferior del intervalo. Por ejemplo, resolver Determine el límite inferior: x>-4, x>-6, x>0, x>-3. Seleccione el número más grande de -4, -6, 0, -3 como límite inferior, es decir, x>0. Después de determinar los límites superior e inferior, la solución del grupo de desigualdad original es: 0 Ejemplo 8 Resolver el conjunto de desigualdades La solución del conjunto original de desigualdades se puede reducir a El resultado de la solución Ejemplo 9 Resuelve la desigualdad sobre x Grupo Resuelve ① para obtener 4mx<11, ③ Resuelve ② para obtener 3mx>8. ④ (1) Cuando m=0, ③ y ④ se convierten en El grupo de desigualdad original no tiene solución. (2) Cuando m＞0, ③, ④ se deforman a (3) Cuando m<0, obtenemos de ③, ④ Ejercicio 6 1. Resuelve las siguientes desigualdades o grupos de desigualdades: 2. Resuelve las siguientes desigualdades o conjuntos de desigualdades con respecto a x: