Planes de lecciones radicales para escuelas intermedias y primarias

En una ecuación, una ecuación integral con una sola incógnita y el grado más alto de la incógnita es 2 se llama ecuación cuadrática.

La ecuación cuadrática tiene tres características: (1) contiene solo una incógnita; (2) el número máximo de incógnitas es 2; (3) es una ecuación integral. Para determinar si una ecuación es una ecuación cuadrática, primero verifica si es una ecuación integral. Si es así, límpialo. Si se puede organizar en la forma AX ^ 2+BX+C = 0(a≠0), entonces esta ecuación es una ecuación cuadrática. Solución general.

1...Método del punto de colocación (puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas con una variable)

2. Método de fórmula (puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas con una variable)

3. Método de factorización (puede resolver ecuaciones cuadráticas parciales)

4. Método abierto (puede resolver algunas ecuaciones cuadráticas con una variable) Realmente no es posible resolver ecuaciones cuadráticas con una variable (puedes comprarlo). Calculadora fx-500 o Casio 991 para resolver ecuaciones, pero requiere forma general).

1. Puntos clave de conocimiento:

Las ecuaciones cuadráticas de una variable y las ecuaciones lineales de una variable son ecuaciones integrales. Son un contenido clave de las matemáticas de la escuela secundaria y la base para las matemáticas. aprender matemáticas en el futuro.

Los conceptos básicos deben atraer la atención de los estudiantes.

La forma general de una ecuación cuadrática es: ax2+bx+c=0, (a≠0), que contiene solo un número desconocido, y el grado más alto del número desconocido es 2.

La ecuación completa.

La idea básica para resolver una ecuación cuadrática es simplificarla en dos ecuaciones cuadráticas. Hay cuatro soluciones para una ecuación cuadrática.

Métodos: 1. Método de raíz cuadrada directa; 2. Método de emparejamiento; 3. Método de fórmula; 4. Método de descomposición factorial.

2. Descripción detallada de métodos y ejemplos:

1. Método de raíz cuadrada directa:

El método de raíz cuadrada directa es un método para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable usando raíces cuadradas directas. Utilice el método de la raíz cuadrada directa para resolver (x-m)2=n (n≥0).

Resuelve la ecuación como x = m.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación (1)(3x+1)2 = 7(2)9 x2-24x+16 = 11.

Análisis: (1) Esta ecuación es obviamente fácil de resolver usando el método de aplanamiento directo (2) El lado izquierdo de la ecuación es completamente plano (3x-4)2 y el lado derecho = 11. >0, entonces

Esta ecuación también se puede resolver usando el método de raíz cuadrada directa.

(1) Solución: (3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴ 3x+1 =( Tenga cuidado de no perder la solución)

∴x=

∴Las soluciones de la ecuación original son x1=, x2=.

(2) Solución: 9 x2-24x+16 = 11.

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=

∴x=

∴Solución del original ecuación Es x1=, x2=.

2. Método de coincidencia: utilice el método de coincidencia para resolver la ecuación ax2+bx+c=0 (a≠0).

Primero, mueve la constante c al lado derecho de la ecuación: AX2+BX =-C

Convierte el término cuadrático a 1: x2+x =-

Suma la mitad del cuadrado del coeficiente de primer orden a ambos lados de la ecuación: x2+x+( )2=- +( )2.

El lado izquierdo de la ecuación se vuelve completamente plano: (x+ )2=

Cuando b2-4ac≥0, x+=

∴x= (Este es la fórmula radical)

Ejemplo 2. Usa el método de emparejamiento para resolver la ecuación 3x2-4x-2=0

Solución: mueve el término constante al lado derecho de la ecuación 3x2-4x=2.

Convierte el coeficiente del término cuadrático a 1: x2-x =

Suma la mitad del cuadrado del coeficiente del término de primer orden a ambos lados de la ecuación: x2-x+( )2 = +( ) 2.

Fórmula: (x-)2=

Cuadrado directo: x-=

∴x=

La solución del original la ecuación es x1=, x2=.

3. Método de fórmula: Convierte la ecuación cuadrática a una forma general y luego calcula el valor del discriminante Δ = b 2-4ac.

Cuando b 2-4ac ≥ 0, la condición es

Sustituir los valores de los coeficientes A, B y C en la fórmula X = (b 2-4ac ≥ 0) para obtener las raíces de la ecuación.

Ejemplo 3. Usa el método de la fórmula para resolver la ecuación 2x2-8x=-5

Solución: cambia la ecuación a la forma general: 2x2-8x+5=0.

∴a=2, b=-8, c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24> ;0

∴x= = =

Las soluciones de la ecuación original son x1=, x2=.

4. Método de factorización: Transformar la ecuación en una forma con un lado igual a cero, y descomponer el trinomio cuadrático del otro lado en el producto de dos factores lineales, de modo que,

Los dos factores lineales son iguales a cero respectivamente, lo que da como resultado dos ecuaciones lineales. Al resolver estas dos ecuaciones lineales se obtienen dos raíces que estaban en el sistema original.

Raíz. Este método de resolver ecuaciones cuadráticas se llama factorización.

Ejemplo 4. Resuelve la siguiente ecuación factorizando:

(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2 x2+3x = 0

(3) 6x2 +5x-50=0(investigación opcional)(4)x2-2(+)x+4=0(investigación opcional)

(1) Solución: (x+3)(x -6) =-8 simplifica la clasificación.

X2-3x-10=0 (el lado izquierdo de esta ecuación es un trinomio cuadrático y el lado derecho es cero).

(x-5)(x+2)=0(factor de factorización en el lado izquierdo de la ecuación)

∴x-5=0 o x+2=0( Convertido en dos ecuaciones lineales)

∴x1=5,x2=-2 es la solución de la ecuación original.

(2) Solución: 2x2+3x=0

X(2x+3)=0 (factoriza el lado izquierdo de la ecuación elevando el factor común)

∴x=0 o 2x+3=0 (convertido en dos ecuaciones lineales)

∴x1=0, x2=- es la solución de la ecuación original.

Nota: Algunos estudiantes tienden a perder la solución de x=0 al realizar este tipo de problemas. Cabe recordar que existen dos formas de resolver una ecuación cuadrática.

(3) Solución: 6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (Se debe prestar especial atención al factorizar mediante el símbolo de multiplicación cruzada )

2x-5 = 0 o 3x+10=0.

∴x1=, x2=- es la solución de la ecuación original.

(4) Solución: x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 se puede descomponer en 2.2, ∴Esta pregunta se puede factorizar).

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2, x2=2 es la solución de la ecuación original.

Resumen:

Generalmente, la factorización es el método más común para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Cuando se aplica la factorización, la ecuación primero debe escribirse en forma general.

Forma, al mismo tiempo, el coeficiente cuadrático debe convertirse en un número positivo.

El método del cuadrado directo es el método más básico.

El método de fórmula y el método de colocación son los métodos más importantes. El método de la fórmula es aplicable a cualquier ecuación cuadrática de una variable (algunos lo llaman método universal). Cuando se usa una fórmula,

En este método, para determinar los coeficientes, la ecuación original debe transformarse a una forma general y el valor del discriminante debe calcularse antes de usar la fórmula para juzgar la ecuación.

¿Hay solución?

El método de comparación es una herramienta para derivar fórmulas. Después de dominar el método de fórmula, puede utilizar directamente el método de fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Generalmente, no es necesario utilizar el método de comparación.

Resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. El método de colocación se utiliza ampliamente en el aprendizaje de otros conocimientos matemáticos y son los tres métodos matemáticos importantes que se deben dominar en las escuelas secundarias.

Se debe dominar uno de los métodos. Hay tres métodos matemáticos importantes: método de sustitución, método de punto coincidente y método de coeficiente indeterminado.

Ejemplo 5. Utilice métodos apropiados para resolver las siguientes ecuaciones.

(Investigación opcional)

(1)4(x+2)2-9(x-3)2 = 0(2)x2+(2-)x+-3 = 0

(3)x2-2x =-(4)4x 2-4mx-10x+m2+5m+6 = 0

Análisis: (1) Primero que nada, observe si la pregunta tiene características, no No empezar a ciegas. Haz la multiplicación. Después de la observación, encontramos que la diferencia de cuadrados se puede usar en el lado izquierdo de la ecuación.

Esta fórmula factoriza el factor en el producto de dos factores lineales.

(2) El factor izquierdo de la ecuación se puede descomponer mediante multiplicación cruzada.

(3) Después de convertirlo a una forma general, use el método de fórmula para resolverlo.

(4) Cambie la ecuación a 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 y luego use el factor de multiplicación cruzada para descomponerla.

(1) Solución: 4(x+2)2-9(x-3)2=0.

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]= 0

(5x-5 )(-x+13)=0

5x-5=0 o -x+13=0.

∴x1=1,x2=13

(2) Solución: x2+(2- )x+ -3=0.

[x-(-3)](x-1)=0

X-(-3)=0 o x-1=0.

∴x1=-3,x2=1

(3) Solución: x2-2 x=-

X2-2 x+ =0 (convertir primero en forma general)

△=(-2)2-4×= 12-8 = 4>0

∴x=

∴x1 = ,x2=

(4) Solución: 4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0.

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+ 3 )]=0

2x-(m+2)=0 o 2x-(m+3)=0.

∴x1=, x2=

Ejemplo 6. Encuentra las dos raíces de la ecuación 3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2 = 0. (Investigación opcional)

Análisis: si esta ecuación se multiplica primero, luego se multiplica y los términos similares se combinan en una forma común, será más complicado. Observa atentamente la pregunta, lo haré

Los científicos han descubierto que si x+1 y x-4 se ven como un todo, pueden usar la factorización de multiplicación cruzada en el lado izquierdo de la ecuación (en realidad usando la ley de sustitución)

Ley)

Solución: [3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)] = 0 .

Es decir (5x-5)(2x-3)=0.

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x- 1=0 o 2x-3=0

∴ x1 = 1, x2 = es la solución de la ecuación original.

Ejemplo 7. Utilice el método de colocación para resolver la ecuación cuadrática x2+px+q=0.

Solución: x2+px+q=0 se puede transformar en

X2+px=-q (el término constante se mueve al lado derecho de la ecuación)

X2 +px+( )2=-q+()2 (suma la mitad del cuadrado del primer coeficiente a ambos lados de la ecuación).

(x+)2=(fórmula)

Cuando p2-4q≥0, ≥0 (p2-4q debe clasificarse y discutirse)

∴x = - =

∴x1=, x2=

Cuando p2-4q

Nota: esta pregunta es una ecuación de coeficiente de letras y no hay condiciones adicionales para P y Q en la pregunta, así que siempre preste atención a las letras durante el proceso de resolución del problema.

Los requisitos para la selección de valores se discutirán en categorías cuando sea necesario.

Ejercicio:

(1) Utilice métodos adecuados para resolver las siguientes ecuaciones:

1,6 x2-x-2 = 0 ^ 2. (x+5)(x-5)=3

3.x2-x = 0 ^ 4. x2-4x+4=0

5.3x2+1=2x 6.

(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

(2) Resuelve las siguientes ecuaciones sobre x.

1. x2-( + )ax+ a2=0

Respuestas del ejercicio de referencia:

(1) 1.x1 =-, x2 = 2.x1 = 2, x2 =-2.

3.x1=0, x2 = 4. x 1 = x2 = 2 5. x 1 = x2 =

6. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación)

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

Eso es (2x+9)( 2x+ 2)=0.

* 2x+9 = 0 o 2x+2=0

∴x1=-,x2=-1 es la solución de la ecuación original.

(2) 1. Solución: x2-ax+( +b)( -b)=0 2, solución: x2-(+) ax+a a = 0.

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)= 0 o x-( -b) =0 x- a=0 o x- a=0.

∴x1= +b, x2= -b es ∴x1= a, x2=a es.

Solución a la ecuación original. solución de la ecuación original.

Prueba (respuestas a continuación)

Elección múltiple

1. La raíz de la ecuación x(x-5)=5(x-5) es (. ).

a, x=5 B, x=-5 C, x1=x2=5 D, x1=x2=-5

2. 10 Igual a 11, por lo que el valor de a es ().

a, 3 o 7 B, -3 o 7 C, 3 o -7 D, -3 o -7

3. La suma de los coeficientes cuadráticos, los coeficientes lineales y los términos constantes en =0 es igual a cero, entonces debe haber una ecuación.

La raíz es ().

a, 0 B, 1 C, -1 D, 1

4. La raíz de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 es cero, si ().

a, b≠0 y c=0 B, b=0 y c≠0.

c y b=0 y c=0 D y c=0.

5. Las dos raíces de la ecuación x2-3x=10 son ().

a, -2,5 B, 2, -5 C, 2,5 D, 2

6. La solución de la ecuación x2-3x+3=0 es ( ).

a, b, c, d no tienen raíces reales

7 La solución de la ecuación 2x2-0.15=0 es ().

a, x= B, x=-

c, x1=0.27, x2=-0.27

8. . Después de que los lados izquierdos coincidan de manera completamente plana, la ecuación resultante es ().

a, (x-)2= B, (x-)2=-

c, (x-)2= D, ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

9. Se sabe que la ecuación cuadrática de una variable x2-2x-m=0, y la ecuación después de resolver la fórmula de esta ecuación usando el método de coincidencia es ().

a , ( x-1)2=m2+1 B , ( x-1)2=m-1 C , ( x-1)2=1-m D , ( x-1) 2=m+1

Respuesta y análisis

Respuesta: 1 .

Análisis:

1. Análisis: (x-5)2=0, luego x1=x2=5,

Nota: No uses álgebra fácilmente Además de la expresión a ambos lados de la ecuación, la otra ecuación cuadrática tiene raíces reales, que deben ser dos.

2. Análisis: Según el significado de la pregunta: a2+4a-10=11, la solución es a=3 o a=-7.

3. Análisis: Según el significado de la pregunta: si hay a+b+c=0, entonces el lado izquierdo de la ecuación es a+b+c, solo x=1, ax2. +bx+c=a+b +c, es decir, cuando x=1,

Cuando se establece la ecuación, debe haber una raíz de x=1.

4. Análisis: Si una raíz de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 es cero,

entonces ax2+bx+c debe tener un factor X, si lo hay. sólo c =0, entonces hay un factor común X, por lo que c=0.

Además, también puedes sustituir x=0 para obtener c=0, ¡lo cual es relativamente simple!

5. Análisis: La ecuación original se convierte en x2-3x-10=0,

Entonces (x-5)(x+2)=0.

X-5=0 o x+2=0.

x1=5, x2=-2.

6. Análisis: δ = 9-4× 3 =-3

7. Análisis: 2x2=0,15

x2=

x=

Prestar atención a la simplificación de las raíces y no perder las raíces al cuadrar directamente.

8. Análisis: Multiplica ambos lados por 3: x2-3x-12=0, y luego según la fórmula del coeficiente lineal, x2-3x+(-)2=12+(-)2,<. /p>

El orden es: (x-)2=

La ecuación se puede transformar usando la propiedad de igualdad. Cuando se formula x2-bx, el término de la fórmula es el cuadrado de la mitad. coeficiente del primer término-b.

9. Análisis: x2-2x=m, luego x2-2x+1=m+1.

Entonces (x-1)2=m+1.

Análisis del examen de ingreso a la escuela secundaria

Comentarios sobre las preguntas del examen

1 (Provincia de Gansu) La raíz de la ecuación es ()

(A) (B) (C) o (d) o

Comentario: Dado que la ecuación cuadrática tiene dos raíces, usamos el método de eliminación para excluir las opciones A y B, y luego usamos el método de verificación. para seleccionar la opción correcta C. y d.

Opciones. Esta ecuación también se puede resolver mediante factorización y los resultados se pueden comparar con las opciones. Las opciones A y B sólo consideran un lote y olvídate de un dólar.

La ecuación cuadrática tiene dos raíces, por lo que es incorrecta, y x =-1 en la opción D no puede igualar los lados izquierdo y derecho de la ecuación, por lo que también es incorrecta. La opción correcta es

C.

Además, los estudiantes suelen utilizar una expresión algebraica para dividir ambos lados de la ecuación simultáneamente, lo que hace que la ecuación pierda sus raíces. Este error debe evitarse.

2. (Provincia de Jilin) ​​La raíz de la ecuación cuadrática es _ _ _ _ _ _ _ _.

Comentario: La idea se puede resolver mediante el método de factorización o fórmula según las características de la ecuación.

3. (Provincia de Liaoning) La raíz de la ecuación es ()

0(B)–1(C)0, –1(D)0, 1

Comentarios: Idea: Dado que la ecuación es una ecuación cuadrática con dos raíces reales, la opción correcta se puede seleccionar mediante verificación de eliminación, mientras que,

las dos opciones tienen una sola raíz. La opción número d A no es una raíz de la ecuación. Además, también puedes utilizar el método de encontrar directamente las raíces de la ecuación.

4. (Provincia de Henan) Se sabe que una raíz de la ecuación cuadrática de X es –2, por lo que k = _ _ _ _ _ _ _ _.

Comentario:k=4. Sustituyendo x=-2 en la ecuación original, construye una ecuación cuadrática sobre k y luego resuélvela.

5. (Xi'an) Usa el método de raíz cuadrada directa para resolver la ecuación (x-3)2=8.

(A)x=3+2 (B)x=3-2

x1=3+2, x2=3-2

Comentarios: Puedes resolver la ecuación directamente o sin cálculo. Si hay una solución usando una ecuación cuadrática, debe haber dos soluciones y 8 al cuadrado.

Root, puedes elegir la respuesta.

Desarrollo extracurricular

Ecuación cuadrática de una variable

Ecuación cuadrática significa que hay un número desconocido y el término más alto del número desconocido es 2.

Ecuación integral de grados. La forma general es

ax2+bx+c=0, (a≠0)

Alrededor del año 2000 a.C., aparecieron ecuaciones cuadráticas y sus soluciones en las antiguas tablillas de arcilla babilónicas: Encuentra un número eso lo iguala.

La suma de los recíprocos es igual a un número dado, es decir, encontrar la suma de x tal que

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

Hicieron que ()2; lo hicieran de nuevo y obtuvieron la solución: + y -. Se puede ver que los babilonios ya sabían que un dólar es el doble.

La fórmula raíz de la ecuación. Pero en ese momento no aceptaron números negativos, por lo que omitieron las raíces negativas.

La literatura sobre papiros egipcios también incluye la ecuación cuadrática más simple, como por ejemplo: AX2 = B.

En los siglos IV y V a.C., China dominaba la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

El griego Diofanto (246-330) sólo tomó la raíz positiva de una ecuación cuadrática. Aunque ambas fueran raíces positivas, sólo tomó una de ellas.

A.

En el año 628 d.C., se derivó una raíz de la ecuación cuadrática x2+px+q=0 del sistema revisado de Brahmaputra escrito en la India.

Tipo.

El árabe al-Walazimi analizó la solución de ecuaciones en "Álgebra" y resolvió el primer y segundo tipo de ecuaciones, involucrando un total de seis tipos.

En diferentes formas, sean A, B, C números positivos, como ax2=bx, ax2=c, ax2+c=bx, ax2+bx=c, ax2=bx+c, etc. . La discusión sobre la división de ecuaciones cuadráticas en diferentes formas se basa en la práctica de Diophantine. Además de dar varias soluciones especiales a ecuaciones cuadráticas, Al-Hualazimi también fue el primero en hacerlo.

Se da la solución general de la ecuación cuadrática, admitiendo que la ecuación tiene dos raíces y raíces irracionales, pero no se entienden las raíces imaginarias. Los italianos en el siglo XVI

Los matemáticos comenzaron a utilizar raíces complejas para comprender las ecuaciones cúbicas.

David (1540-1603) no sólo sabía que las ecuaciones de una variable siempre tienen soluciones en el rango de números complejos, sino que también dio la relación entre raíces y coeficientes.

Pregunta 20 del método aritmético pitagórico del capítulo 9 chino, encontrar la raíz positiva es equivalente a x2+34x-71000=0. Matemáticas chinas

Los economistas también utilizan la interpolación en el estudio de ecuaciones.

[Editar este párrafo] Método de identificación

La fórmula de determinación de una ecuación cuadrática:

b^2-4ac>0 La ecuación tiene dos raíces sólidas desiguales.

La ecuación B 2-4ac = 0 tiene dos raíces reales iguales.

b^2-4ac<La ecuación 0 no tiene raíces reales.

Lo anterior se puede empujar de izquierda a derecha y viceversa.

[Editar este párrafo] Enumera los pasos para resolver una ecuación cuadrática de una variable.

(1) Analizar el significado del problema y descubrir la relación de equivalencia entre las incógnitas del problema y las condiciones dadas en el problema.

(2) Establecer las incógnitas y; usar el conjunto Usar la expresión algebraica del número desconocido para representar los números desconocidos restantes;

(3) Encontrar la relación de la ecuación y usarla para enumerar las ecuaciones;

(4) Resuelva la ecuación para encontrar la cantidad desconocida en el valor del problema;

(5) Compruebe si la respuesta es consistente con el significado de la pregunta y respóndala.

[Editar este párrafo] Explicación detallada de ejemplos clásicos.

1. Para la definición de una ecuación cuadrática de una variable, debemos considerar completamente las tres características de la definición, y no ignorar que el coeficiente del término cuadrático no es 0.

2. Al resolver una ecuación cuadrática de una variable, elija de manera flexible el método de solución de acuerdo con las características de la ecuación. Primero considere si se pueden usar el método de raíz cuadrada directa y el método de factorización, y luego considere el. método de fórmula.

3. El discriminante de la raíz de una ecuación cuadrática (a≠0) es tanto positivo como negativo, el cual puede usarse para resolver la ecuación y determinar la raíz de la ecuación (1); ) Según los parámetros Las propiedades de los coeficientes determinan el rango de las raíces (3) Resolver los problemas de prueba relacionados con las raíces;

4. Las raíces y coeficientes de ecuaciones cuadráticas tienen muchas aplicaciones: (1) Si conoces una raíz de la ecuación, puedes encontrar la otra raíz y los coeficientes de los parámetros sin resolver la ecuación; conoces la ecuación, puedes encontrar la ecuación con Los valores de las expresiones algebraicas de las dos expresiones simétricas y los coeficientes desconocidos relacionados (3) Dadas dos ecuaciones, encuentra las raíces de una ecuación cuadrática o su expresión algebraica;