Un ejemplo del método recursivo de contar en la Olimpiada de Matemáticas de quinto grado[6]
Ejemplo: ¿Cuántos números del producto de son impares?
?
Análisis y solución: Si encuentras la respuesta mediante el cálculo, será problemático. Empecemos por el caso más simple.
9× 9 = 81, hay 1 número impar;
99×99 = 99×(100-1)= 9900-99 = 9801, hay dos números impares;
p>
999×999 = 999×(1000-1)= 99900-999 = 998001, hay tres números impares;
……
Entonces 999…999×999… Hay 10 números impares en el producto de 999.
Segundo artículo
Ejemplo:?
Análisis y respuesta:
Podemos resolver este problema encontrando el cubo de cada número por separado y luego sumándolos. Sin embargo, la carga de trabajo de este cálculo es relativamente grande, por lo que podemos comenzar con una situación simple.
El tercer artículo
Ejemplo: 2000 estudiantes se alinean, cuentan de 1 a 2000 de izquierda a derecha, luego presionan uno o dos de izquierda a derecha y continúan presionando uno para el resto Dos personas abandonan el equipo, y así sucesivamente hasta que solo quede una persona en el equipo. Pregunta: ¿Cuántas veces se ha reportado un * * * hasta este momento? ¿Cuál es el número original de la última persona que quedó?
Análisis y respuesta:
Si es difícil no pensarás en la sencillez; si es grande, no pensarás en lo pequeño. Seleccionamos 20 estudiantes de estos 2000 estudiantes para reemplazar a los 2000 estudiantes para el análisis, intentamos encontrar el patrón y luego usamos este patrón para resolver el problema.
Después de que estas 20 personas informaron por primera vez, * * * quedaron 10 personas, porque 20÷2 = 10, los números iniciales de estas 10 personas son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 12.
Después del segundo informe, * * * quedaron cinco personas, porque 10 ÷ 2 = 5. Los números iniciales de estas cinco personas son: 4, 8, 12, 16 y 20, todos los cuales son múltiplos de 4, es decir, múltiplos de 2×2.
* * *Después del tercer conteo, quedan dos personas, porque 5 ÷ 2 = 2...1, los números iniciales de estas dos personas son: 8, 16, ambos son múltiplos de 8 , además es múltiplo de 2×2×2.
Después del cuarto conteo, * * * solo queda una persona, porque 2 ÷ 2 = 1, y el número inicial de personas es: 16, que son todos múltiplos de 8, es decir, 2 ×2 ×2×2 múltiplos.
Se puede encontrar que el número de personas que quedan después del enésimo conteo es el producto continuo de n^2. Esta es una regla.
Con 2000 estudiantes, ¿cuántas veces es necesario presentar la solicitud antes de que solo un estudiante pueda ser retenido?
La primera vez: 2000 ÷ 2 = 1000 La segunda vez: 1000 ÷ 2 = 500.
La tercera vez: 500 ÷ 2 = 250 La cuarta vez: 250 ÷ 2 = 125.
La quinta vez: 125 ÷ 2 = 62...1La sexta vez: 62 ÷ 2 = 31.
La séptima vez: 31 ÷ 2 = 15...1 La octava vez: 15 ÷ 2 = 7...1.
La novena vez: 7 ÷ 2 = 3 ...1La décima vez: 3 ÷ 2 = 1...1.
Entonces * * * es necesario informar 10 veces.
Entonces, el número del último alumno al principio debe ser:
2× 2× 2× …× 2 = 1024 (número)
El cuarto artículo
Ejemplo: Hay 10 círculos en el avión. ¿En cuántas partes se puede dividir un avión?
Análisis y respuesta:
No es buena idea dibujar directamente un círculo de 10. Consideremos primero algunos casos simples.
Un círculo puede dividir el avión en dos partes como máximo;
Dos círculos pueden dividir el avión en cuatro partes como máximo;
Tres círculos pueden dividir el avión plano en ocho partes como máximo;
Al agregar un segundo círculo basado en el primer círculo, el segundo círculo tendrá dos puntos de intersección con el primer círculo. Estos dos puntos de intersección dividen el arco recién agregado en dos segmentos, y cada segmento divide el plano en dos partes, por lo que el número de partes del plano dividido aumenta en dos partes en función de las dos partes originales.
Entonces dos círculos dividen el plano como máximo en 2+2 = 4 partes.
Del mismo modo, el número máximo de tres facetas circulares es cuatro basándose en dos facetas circulares. Entonces tres círculos dividen el avión como máximo en 2+2+4 = 8 partes.
No es difícil deducir que al dibujar el décimo círculo, habrá como máximo 9×2 = 18 puntos de intersección con los primeros 9 círculos. El arco del décimo círculo se divide en 18 segmentos, es decir, suman 18 partes. Por tanto, el número máximo de partes en las que 10 círculos pueden dividir un plano es:
2+2+4+6+…+18
=2+2×(1+ 2 +3+…+9)
=2+2×9×(9+1)÷2
=92
Análisis similar, podemos El número máximo de partes divididas por N círculos en un plano es:
2+2+4+6+…+2(n-1)
= 2+2× [ 1+2+3+…+(n-1)]
=2+n(n-1)
=n2-n+2
Parte 5
Ejemplo: Hay 8 dulces de chocolate idénticos. A partir de hoy, come al menos una pieza y como máximo dos piezas cada día. ¿De cuántas maneras diferentes * * * lo comes?
Análisis y Respuesta:
?
Artículo 6
Ejemplo: Cuatro personas practican baloncesto, se pasan el balón y se atrapan. Pida a todos que pasen el balón a otra persona inmediatamente después de recibirlo. Primero, el balón es servido por A. Después del quinto pase, el balón vuelve a la mano de A. ¿Cuántas formas hay de pasar el balón?
? Análisis y respuesta: