¿Qué es un monomio y qué es un polinomio?

Monomio

Concepto:

Monomio (monomio):

Nota:

1. escrito delante de las letras, se omite el signo de multiplicación. [5a, 16xy]

2. El grado de la constante es 0.

3. El denominador de un monomio no puede ser una letra. (De lo contrario, es una fracción, no un monomio)

3.π es una constante, por lo que puede usarse como coeficiente.

4. Si el coeficiente es un número mixto, se debe convertir a una fracción impropia.

5. Pero cuando el coeficiente de un monomio es 1 o -1, "1" generalmente se omite y no se escribe, como [(-1)ab] escrito como [-ab]

Polinomio

Una fórmula compuesta por la suma de varios monomios se llama polinomio (en resta: restar un número es igual a sumar su opuesto). Cada monomio en un polinomio se llama término del polinomio y el grado más alto entre estos monomios es el grado del polinomio. Los términos sin letras se llaman términos constantes. Por ejemplo, en una ecuación: el grado del término más alto es 5, y esta ecuación está compuesta por 3 monomios, se llama: trinomio quíntico.

En una definición más amplia, la suma de 1 o 0 monomios también es un polinomio. Según esta definición, los polinomios son números enteros. De hecho, no existe ningún teorema que sólo funcione para polinomios en sentido estricto y no para monomios: cuando se usa 0 como polinomio, el grado es infinito negativo.

Historia de los polinomios

El estudio de los polinomios se originó a partir de la “resolución de ecuaciones algebraicas” y es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Algunas ecuaciones algebraicas, como x 1 = 0, se consideraban irresolubles hasta que se aceptaron los números negativos. Otros polinomios, como f(x)=x? 1, no tienen raíces; estrictamente hablando, no tienen raíces reales. Si permitimos números complejos, entonces los polinomios reales o polinomios complejos tienen raíces. Este es el teorema fundamental del álgebra.

Si podemos utilizar el método de solución radical para expresar las raíces de polinomios fue alguna vez un tema importante en las matemáticas europeas después del Renacimiento. Las raíces de polinomios cuadráticos de una variable son relativamente fáciles. Las raíces de polinomios cúbicos deben representarse mediante números complejos, incluso si son raíces reales de polinomios reales. Lo mismo ocurre con los polinomios cuárticos. Después de muchos años, los matemáticos todavía no podían encontrar un método general para resolver polinomios quinticos usando radicales. Finalmente, en 1824, Abel demostró que tal solución general no existía, conmocionando al mundo de las matemáticas. Unos años más tarde, Galois introdujo el concepto de grupos y demostró que no existe un método general para resolver polinomios de quinto grado o más utilizando radicales. Su teoría se extendió a la teoría de Galois. La teoría de Galois también demostró que el problema griego antiguo de trisecar un ángulo era imposible. Otro problema difícil, la prueba imposible de la cuadratura de un círculo, también está relacionado con los polinomios. El centro de la prueba es que pi es un número trascendental, es decir, no es una raíz de un polinomio racional.

Funciones polinomiales y raíces polinómicas

Dado el polinomio f∈R[x1,...,xn] y un R-álgebra A. Para (a1...an)∈An, reemplazamos xj en f con aj, y obtenemos un elemento en A, denotado como f(a1...an). De esta manera, f puede verse como una función de An a A.

Si f(a1...an)=0, entonces (a1...an) se llama raíz o punto cero de f.

Por ejemplo, f=x2 1. Si consideramos que x es un número real, un número complejo o una matriz, entonces f no tendrá raíces, ¡dos raíces o raíces infinitas!

Por ejemplo, f=x-y. Si consideramos que x es un número real o un número complejo, entonces el conjunto del punto cero de f es el conjunto de todos (x, x), que es una curva algebraica. Prácticamente todas las curvas algebraicas surgen de aquí.

Teorema Fundamental del Álgebra

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todos los polinomios de grado n (complejos) de una variable tienen n raíces (complejas).

Propiedades geométricas de los polinomios

El polinomio es una función continua simple, es suave y su diferencial también debe ser un polinomio.

El espíritu de los polinomios de Taylor es utilizar polinomios para aproximar una función suave. Además, las funciones continuas en intervalos cerrados se pueden escribir como el límite uniforme de los polinomios.

Polinomios en cualquier anillo

Los polinomios se pueden generalizar al caso en que los coeficientes están en cualquier anillo, consulte la entrada Anillos de polinomios.