¿Qué es la conjetura de Poincaré?
A principios del siglo XXI, el Clay Mathematics Institute (CMI) de Cambridge, Massachusetts, EE.UU., siguió el ejemplo del El enfoque del matemático alemán Dai Dai hace más de 100 años fue recopilar respuestas a siete problemas matemáticos en la Reunión Anual del Milenio celebrada en Francia el 24 de mayo de 2000. Los siete problemas fueron cuidadosamente seleccionados por el Consejo Asesor Científico del Clay Mathematics Institute, y la junta directiva del Clay Mathematics Institute ofreció un premio de 1 millón de dólares por la solución de cada problema. Estos problemas son (en orden alfabético) [Descripción de 7 problemas]
1. Conjetura de Birch y Swinerton-Dyer: Para cualquier curva elíptica en el campo de los números racionales, su función L es de orden cero en 1. Es igual al rango del grupo de Abel formado por los puntos racionales de la curva.
2. Conjetura de Hodge: En la familia algebraica proyectiva compleja no singular, cualquier clase de Hodge es una combinación lineal racional de clases algebraicas de cadena cerrada.
3. Ecuación de Navier-Stokes: Demostrar o negar la existencia y suavidad de soluciones de la ecuación tridimensional de Navier-Stokes (bajo límites y condiciones iniciales razonables).
4.Problema P VS NP: ¿Es el problema de clase P con algoritmo de tiempo polinómico determinista igual al problema de clase NP con algoritmo de tiempo polinómico no determinista?
5. Conjetura de Poincaré: Cualquier homeomorfismo cerrado de 3 corrientes simplemente conectado en una 3 esferas.
6. Hipótesis de Riemann: Las partes reales de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann son todas 1/2.
7. Teoría de Yang-Mills: ¿Prueba del Yang cuántico? El campo Mills existe y hay una brecha masiva.
Conjetura de Poincaré
Conjetura de Poincaré: Poincaré propuso en un conjunto de artículos publicados en 1904 que cualquier variedad tridimensional simplemente conectada y cerrada es homeomórfica con respecto a la superficie esférica tridimensional. .
Una analogía simple: si estiramos una banda elástica alrededor de la superficie de una manzana, entonces podemos moverla lentamente y encogerla hasta un punto sin romperla ni dejar que se desprenda de la superficie. Por otro lado, si imaginamos la misma banda de goma estirada en la dirección apropiada sobre la banda de rodadura del neumático, no hay forma de encogerla hasta cierto punto sin dañar la banda de goma o la banda de rodadura del neumático. Decimos que la superficie de una manzana está "simplemente conectada", pero la banda de rodadura de un neumático no. Hace unos cien años, Poincaré sabía que una esfera bidimensional podía caracterizarse esencialmente por una conexión simple, y planteó el problema correspondiente de una esfera tridimensional (todos los puntos están a una unidad de distancia del origen en un espacio de cuatro dimensiones). El problema se volvió inmediatamente increíblemente difícil y los matemáticos han estado luchando con él desde entonces.
Historia
La conjetura de Poincaré fue propuesta por el matemático francés Henri Poincaré en 1904. Nadie podrá resolverlo en cien años. Poco después de que se propusiera la conjetura de Poincaré, se amplió al caso de n ≥ 4 dimensiones, lo que se denomina conjetura de Poincaré generalizada. En 1961, el matemático estadounidense S. Smale utilizó un método muy inteligente para sortear la difícil situación de dar tres o cuatro y demostró la conjetura de Poincaré en más de cinco dimensiones. En 1981, otro matemático estadounidense, M. Freedman, demostró la conjetura de las cuatro dimensiones y, por tanto, la conjetura generalizada de Poincaré. Pero hasta el día de hoy la conjetura de Poincaré persiste. En 2002, un artículo del matemático ruso Grigory Perelman demostró esta conjetura.
El 3 de junio de 2006, el profesor de la Universidad de Harvard, famoso matemático y ganador de la Medalla Fields, Qiu Chengtong, anunció en el Centro de Investigación de Matemáticas Morningside de la Academia de Ciencias de China: Basado en el trabajo de científicos estadounidenses y rusos, El profesor Zhu Xiping de la Universidad Sun Yat-sen y Cao Huaidong, matemático que vive en Estados Unidos y profesor adjunto de la Universidad de Tsinghua, han demostrado completamente la conjetura de Poincaré.