La historia de la desigualdad y algunos desarrollos. ¿Dónde puedo acudir en caso de emergencia?

[Resumen] Este artículo presenta primero la historia del desarrollo de la teoría de la desigualdad, luego presenta la desigualdad discreta de Hilbert y presenta la teoría de la desigualdad de Hilbert. Una prueba elemental, y. finalmente un breve resumen de la forma generalizada de la desigualdad de Hilbert.

[Palabras clave] Teoría de la desigualdad, desigualdad de Hilbert, función de ponderación de prueba elemental

[Resumen] En este artículo, presentamos primero la historia de la teoría de la desigualdad. Luego se introduce la desigualdad de Hilbert y finalmente se resumen una serie de formas de la desigualdad de Hilbert.

[Palabras clave] Teoría de la desigualdad, desigualdad de Hilbert, prueba elemental de la función de peso

1 Cita

1.1 Antecedentes del tema

Como todos Como sabemos, la teoría de la desigualdad ocupa una posición importante en la teoría matemática y penetra en todos los campos de las matemáticas. Por lo tanto, es necesario tener una comprensión clara de la historia del desarrollo de la teoría de la desigualdad.

Desde que se propuso la desigualdad de Hilbert, muchos matemáticos han aportado diversas demostraciones. Este artículo presenta una prueba elemental. Al mismo tiempo, se resumen varias formas generalizadas de la desigualdad de Hilbert.

1.2 El contenido principal de este artículo

El trabajo de este artículo incluye principalmente tres aspectos:

(1), presentar la historia del desarrollo de la teoría de la desigualdad.

(2) Introducir la desigualdad de Hilbert y dar una prueba elemental.

(3) Resuma las diversas formas de promoción de Hilbert.

2 Una breve historia de la teoría de la desigualdad y la desigualdad de Hilbert

2.1 Una breve historia de la teoría de la desigualdad

El estudio de las desigualdades matemáticas surgió por primera vez en los países europeos, especialmente Países de Europa del Este En los países de la antigua Yugoslavia existe una gran comunidad de investigadores. Actualmente, los matemáticos interesados ​​en la teoría de la desigualdad están repartidos por todo el mundo.

Hay dos acontecimientos decisivos en la historia del desarrollo de la teoría de la desigualdad matemática, a saber, el artículo publicado por Chebyshev en 1882 y el discurso pronunciado por Hardy cuando era presidente de la Sociedad Matemática de Londres en 1928; Hardy, Littlewood y Puglia El "Prefacio a la desigualdad" ofrece ideas esclarecedoras sobre la filosofía de las desigualdades: en términos generales, las desigualdades elementales deben tener pruebas elementales, estas pruebas deben ser "internas" y se deben dar pruebas del establecimiento del signo igual. . A. M. Fink cree que la gente debería hacer todo lo posible para exponer y demostrar desigualdades que no se pueden generalizar. Hardy creía que las desigualdades básicas eran fundamentales. Desde que el famoso matemático G. H. Hardy, y desde que Cambridge University Press publicó el libro "Desigualdades" de J. E. Littlewood y G. Puglia en 1934, el estudio de la teoría de la desigualdad matemática y sus aplicaciones ha aparecido oficialmente en BLACKPINK, convirtiéndose en una nueva matemática. sujeto. A partir de entonces, las desigualdades ya no fueron una combinación dispersa y aislada de fórmulas, sino que se convirtieron en una teoría científica sistemática.

Desde la década de 1970, cada cuatro años se celebra en Alemania una conferencia académica internacional sobre la desigualdad general y se publican las actas de la conferencia. La teoría de la desigualdad es también uno de los temas de la Tercera Conferencia Mundial de Analistas No Lineales (CMNA-2000) celebrada en Italia en 2000. La Sexta y Séptima Conferencia Internacional sobre Análisis y Aplicaciones Funcionales No Lineales celebradas en Corea del Sur en 2000 y 2001, y la ISAAC celebrada en la Universidad Tecnológica de Dalian en China en 2000, tomaron la teoría de la desigualdad matemática como tema principal en la agenda de la conferencia. La Conferencia Internacional sobre Desigualdad de 2001 se celebró del 9 de julio de 2001 al 4 de junio de 2001 en la Universidad Occidental de Rumania.

Históricamente, los matemáticos chinos han realizado importantes contribuciones en el campo de las desigualdades, entre ellos Hua Hua, Fan Qitai, Lin Dongpo, Wang Zhonglie y Wang Zhonglie. En los últimos años, muchos matemáticos chinos han estado activos en el campo de la teoría de la desigualdad matemática internacional y sus aplicaciones. Han hecho contribuciones únicas en campos relacionados y han atraído la atención de sus colegas en el país y en el extranjero. Como el profesor Wang Wanlan, el profesor Shi Huannan, el profesor Yang, el profesor Gao Mingzhe, el profesor Zhang, etc.

Desde la década de 1980, ha habido un aumento en el estudio de la desigualdad en China. En la década de 1980, una serie de trabajos pioneros del profesor Yang Lu y otros en el estudio de las desigualdades geométricas llevaron la investigación sobre las desigualdades geométricas en China a un clímax. En términos de desigualdades algebraicas, la investigación en profundidad del profesor Wang Wanlan sobre las desigualdades de Fanky ha alcanzado un nivel líder a nivel internacional.

El profesor Feng Qi y su equipo de investigación han logrado una gran cantidad de resultados de investigación sistemáticos y de vanguardia sobre las desigualdades promedio y otras desigualdades. Con respecto al análisis de las desigualdades, el profesor Hooke publicó un artículo "Una desigualdad y algunas aplicaciones" en "Science China" en 1981. En respuesta a las deficiencias de la desigualdad de Holder, propuso una desigualdad completamente nueva, que se denominó "un ejemplo sobresaliente". "por críticos estadounidenses de matemáticas. Nuevas desigualdades extraordinarias", ahora conocidas como desigualdades de Hooke (HK). El profesor Hooke llevó a cabo un estudio sistemático y en profundidad de esta desigualdad y sus aplicaciones.

En la actualidad, nuestro país también ha producido ricos resultados en la investigación sobre la teoría matemática de la desigualdad y sus aplicaciones. Por ejemplo, la monografía del Sr. Kuang Jichang "Common Inequality" se publicó en su segunda edición y se ha reimpreso muchas veces en tan sólo unos pocos años debido a la falta de disponibilidad. Este es un fenómeno poco común en las monografías matemáticas. La segunda monografía influyente es "Desigualdades en la teoría de matrices", en coautoría con Wang Songgui y Jia Zhongzhong. Además, China tiene un grupo activo de investigación sobre desigualdad, que patrocina una revista de comunicación interna, el Inequality Research Newsletter, con el matemático Lu Yang como consultor.

La desigualdad de Hilbert fue propuesta por Hilbert en sus conferencias sobre ecuaciones integrales. Desde entonces, muchos matemáticos famosos como Mayfair (1921), Framcis, Littlewood (1928), Hardy (1920), Hardy-Littlewood-Polyea (1926), Mulhoand. 1931), Owen (1930), Polya y Szegeb, Schur (1911), F. Wiener (1910). Con este fin, Hardy et al. discutieron específicamente la desigualdad de Hilbert y sus situaciones y extensiones similares en el Capítulo 9x del Documento "1". Desde la década de 1990, un gran número de académicos chinos, como el profesor Yang y otros, han logrado logros notables en la investigación de la desigualdad de Hilbert y sus situaciones y extensiones similares. Dado que estos resultados tienen una importancia teórica y práctica importante, han desencadenado una serie de investigaciones extensas, han logrado diversos avances y han publicado los resultados en muchos periódicos y revistas.

En resumen, la teoría matemática de la desigualdad está llena de vitalidad y prosperidad.

2.2 Prueba elemental de la desigualdad de Hilbert

Proposición 1 (desigualdad de Hilbert) Si la suma es una serie real cuadrada sumable, entonces la serie doble converge, y

(1)

La desigualdad está estrictamente establecida y la ecuación se establece si y sólo si la constante es cero, que es la mejor de la fórmula (1).

La demostración de la Proposición 1 debe aplicar dos lemas.

Lema A. Cada número positivo m tiene un par

& lt

Demuestre que los puntos de ajuste (0, 0), (0,) y ( , ) es C, Y, (n = 0, 1, 2,?), S representa el área desde el punto C hasta el círculo Y cuyo centro está en el punto C y tiene un radio de , y es el punto de intersección de la recta C y la recta perpendicular que pasa por el punto (n = 1, 2, 3,?). Además, representemos el área del sector C (Figura 1 a continuación).

Representa el área, por lo que obtenemos.

=S=

=

= ?

=

& gt

Por lo tanto,

Ahora podemos probar la desigualdad de Hilbert. Recuerde

=

Aplicando la desigualdad de Schwartz, obtenemos

El lema 1 se aplica a lo anterior. Obviamente, la última desigualdad se cumple estrictamente si y sólo si la secuencia es constante cero.

Demuestra que no se puede sustituir por una constante menor.

Lema 2 Para todo número natural m & gt1, es

& gt-.

Demuestre que suponiendo que representa una recta y una recta (n=0,1,2,?m-1), representa el área del sector (Figura 2 a continuación),

Obviamente

= & lt

= +

= +

= +

Por lo tanto, >-

Se demuestra que la desigualdad de Hilbert es una constante óptima, y ​​se considera la secuencia: = =, cuando, = = 0, cuando >; donde k es un número natural, entonces

+ +

(Por Lema 2)

-( )

Por lo tanto

-

Por lo tanto, son constantes óptimas de Hill en la desigualdad de Burt. En este punto queda completada la demostración elemental de la desigualdad de Hilbert.

2.3 Generalización de la desigualdad de Hilbert

Hilbert propuso la desigualdad

(1)

(2)

Posteriormente, Hardy amplió estos resultados y obtuvo la siguiente desigualdad.

(3)

(4)

Aquí, 0, += 1, p q > 1. Las desigualdades (3) y (4) se denominan desigualdades en series múltiples de Hardy-Hilbert, y el signo igual es verdadero si y sólo si la suma es cero constante.

A lo largo de los años, muchos matemáticos han estudiado la desigualdad de Hilbert y han obtenido una serie de resultados. Repasemos brevemente la historia de estos estudios. Este artículo presenta primero los resultados basados ​​en las desigualdades originales de Hilbert y luego muestra una serie de resultados sobre las desigualdades de Hardy-Hilbert.

En 1990, L.C. Hsu y otros analizaron cuidadosamente los métodos y técnicas originales de Hardy, introdujeron una función de peso w(n)= y obtuvieron una desigualdad mejorada:

(5)

Pronto, Hsu y Wang simplificaron la función de peso y se mencionó el problema de encontrar el valor máximo posible de θ que pueda hacer que la ecuación (5) se cumpla. Posteriormente, L.C Hsu y Gao Mingzhe utilizaron diferentes métodos para obtener el límite inferior de θ=1.281+ y luego obtuvieron el límite superior λ de θ (λ=1.4603545+), resolviendo así el problema.

En cuanto a la desigualdad (2), Gao Mingzhe la mejoró.

w(n)=? (n)>0(n=1, 2,…).

Luego aplique la fórmula de Euler para estimar la función de peso w:

w(n)≤, θ=17/ 20

Del mismo modo, también se obtienen algunos resultados nuevos sobre la desigualdad de Hardy-Hilbert.

En el proceso de estudiar la desigualdad de Hardy-Hilbert (3), se estimó el valor de la fórmula de suma que contiene el parámetro n. Por ejemplo, en 1990, Hsu y Guo introdujeron por primera vez la función de peso:

La desigualdad (3) se extiende a

Luego, Xu y Gao Mingzhe mejoran la función de peso. Dos años más tarde, Gao dio la forma exacta de la función de peso:

Poco después, Yang obtuvo un límite inferior, lo que significó que obtuvo un mejor resultado en la función de peso:

c es la constante de Euler y se demuestra que (1-c) es la mejor constante de la desigualdad. Un límite superior demostrado por Gao Mingzhe es:

ρ(t)=t-[t]-1/2

Y la estimación es

Si> La desigualdad ya no es cierta, el problema está completamente resuelto.

En cuanto a la desigualdad (4), Yang obtuvo los siguientes buenos resultados:

R = p, q y c son constantes.

En 1998, Yang y Debnath dieron otra forma de desigualdad de Hardy-Hilbert con funciones ponderadas:

Además de lo anterior, Yang también obtuvo los siguientes resultados:

Si reemplaza s(n, r) en la expresión anterior, obtendrá otros resultados.

A principios del siglo XXI, Tan Li mejoró la desigualdad (3) introduciendo un coeficiente de ponderación formal.

Si,

Entonces,

¿en el medio? =ln2-13/48+? /1920(0<?<1), que es la mejor constante independiente de r.

Y obtenga la siguiente inferencia:

Configurar

,

Cuando q es lo suficientemente grande, hay

center

La introducción de parámetros apropiados hará que los objetos de aprendizaje e investigación sean más generales, y también es un método de uso común. En esta sección se resumen las desigualdades de Hilbert generalizadas con formas paramétricas.

Recientemente, Yang introdujo los parámetros A, B y λ para ampliar la desigualdad (1), y estableció la siguiente nueva desigualdad:

& lt

, B> ;0,0<λ≤2, B(p, q) es una función β y la constante es la mejor. Yang obtuvo los siguientes resultados:

& lt

a, B, C & gt0,, 0 & ltλ≤2, que también demostró ser el mejor.

Dada una generalización de la desigualdad (4), Yang y Debernat:

& lt,

La constante = es la mejor, donde 2-min (p , q)

Recientemente, Kuang Jichang y Debernat dieron la forma general de la desigualdad de Hardy-Hilbert:

,

p & gt1 ,1/p+1 /q=1,1/2<? min(p, q),

K(x, y) es el grado no negativo de -t (t >; 0). Si hay un negocio WeChat continuo de cuarto orden en (0, +∞), Cuando n=1, 2, 3, 4, m=0, 1, y? +

& lt+ =p, q

Por lo tanto

& lt,

entre...

= & gt0,

r=p,q.

Para la actualización, considerando las desigualdades (3) y (4), Yang y Debnath establecieron la ecuación con los parámetros A, B y λ Nuevas desigualdades para:

Un factor constante de 3 es lo mejor. En particular,

(1) λ=1, A, B> 0

(2) λ=2, A, B> ) 2 minutos {p, q} & ltλ≤2, A=B=1,

Los factores constantes anteriores son óptimos.

Introduciendo el parámetro λ de otra manera, Yang obtuvo los siguientes resultados:

El factor constante π/(λsinπ/p) es óptimo. En particular,

(1) λ=1,

(2) p=q=λ=2,

Los factores constantes de las desigualdades anteriores son el más Excelente.

Nuevamente, Kuang Qichang estableció una nueva forma general de la desigualdad de Hilbert.

1/p+1/q=1, para cada entero positivo n < +∞, N=+∞,

Definición:

Si 1

Si es 0

Con base en la conclusión anterior, se obtienen algunas inferencias importantes:

La inferencia 1 asume lo anterior, entonces

Inferencia 2 Supongamos lo anterior,

Definición similar, si 1

Si 0

Corolario 3,

Definición:

Si es 0

Específicamente, si se cumple la siguiente desigualdad:

Regeneralización de la aplicación de la nueva desigualdad:

En 1992, Hu Gram estableció una desigualdad formal:

Esta es una nueva extensión de la teoría de la desigualdad de Hilbert.

Hooke utilizó algunas de las desigualdades básicas que obtuvo para sacar algunas buenas conclusiones, como

probar que

a es un número real.

En 1996, Hooke utilizó el parámetro λ para sacar conclusiones generales. En particular, cuando λ=1/2, hay

Cuando λ=1, hay

Si λ≠0 y λ es un entero no negativo, Hu da lo siguiente resultado:

Esta es una generalización de la desigualdad de Hilbert y la desigualdad de Ingham.

Cuando λ es un entero positivo, Hu da

Cuando λ ≠ 0, 1, 2,..., Hu demostró esto recientemente

Esta es una generalización de la desigualdad de Polya-Szego

En 1999, Gao Mingzhe obtuvo una nueva desigualdad usando la matriz definida positiva:

Usando esta desigualdad, se obtuvo una nueva desigualdad más fuerte:

Pronto, usó esta fórmula para demostrar la siguiente desigualdad:

La función s(x) se define como

A principios del siglo XX, Yao Jinbin usó La mejora de la desigualdad de Ke West le dio a Yang un resultado:

Se logró una mejora.

Por conveniencia, hagamos las siguientes suposiciones simbólicas:

w(n)=? -? (sustantivo)

es un vector unitario con las siguientes propiedades:

,?,?linealmente independiente

Tiene los siguientes resultados:

Si

Entonces,

¿Definir una función? ¿Para

=1 cuando m=n=1,

cuando m,= 0? n, m? n

A principios del siglo XXI, Yang Qiao utilizó con éxito la función de ponderación y desigualdad de Holder mejorada para realizar una nueva generalización de la desigualdad (4).

Para mayor comodidad, se introducen algunas notaciones:

Si

Por lo tanto

centro

¿define una función?

=1, cuando m=n=0

=0, cuando m, n no son 0 al mismo tiempo.

De esto también se pueden sacar las siguientes inferencias:

Si

Por tanto

el centro

es Particularmente destacable fue la popularizada por Hooke.

Hace veinte años, Hooke estableció una desigualdad importante:

Recientemente, obtuvo una nueva desigualdad:

Hecho

En caso afirmativo.

Entonces

dónde,

En particular, si, entonces

Cuando p=2, lo anterior es una generalización de la desigualdad de Holder. . Obviamente, utilizar estas conclusiones para estimar las desigualdades (1)-(4) arrojará algunos resultados nuevos. Creemos que en el futuro seguirán apareciendo más generalizaciones de la desigualdad de Hilbert.

3 Resumen

Este artículo presenta principalmente la historia del desarrollo de la teoría de la desigualdad y la desigualdad de Hilbert, y completa el siguiente trabajo:

Este artículo revisa primero la teoría de la desigualdad. La historia del desarrollo presenta las investigaciones y contribuciones de matemáticos chinos y extranjeros al desarrollo de la teoría de la desigualdad.

En segundo lugar, se introduce la forma de la desigualdad de Hilbert y se da su demostración elemental.

En tercer lugar, se resume la promoción de la desigualdad de Hilbert por parte de matemáticos nacionales y extranjeros.

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