Examen de ingreso a la universidad: ¿Método diferencial de funciones multivariadas y su aplicación?
1. Condiciones para la existencia de límites de funciones multivariadas
La existencia de límites significa. que cuando P(x, y ) se aproxima a P0(x0, y0) de alguna manera, la función se aproxima a a infinitamente. Si P(x, y) se aproxima a P0(x0, y0) de alguna manera, por ejemplo, incluso si la función. se acerca infinitamente a un cierto valor, no podemos concluir que existen límites de funciones. Por otro lado, si la función tiende a valores diferentes cuando P(x, y) se acerca a P0(x0, y0) de diferentes maneras, entonces se puede concluir que el límite de esta función no existe. Por ejemplo, función: f(x, y)= { 0(xy)/(x ^ 2+y ^ 2)x ^ 2+y ^ 2≠0.
2. La definición de continuidad de funciones multivariadas.
Supongamos que la función f(x, y) está definida en el área abierta (o cerrada) D, P0(x0, y0) es el punto interior o punto límite de D y P0∈D, si lim(x →x0, y→y0)f(x,y)=f(x0,y0), se llama f(.
Una función continua multivariada, sus propiedades (teorema del valor máximo y mínimo teorema del valor) En una región cerrada acotada D, debe haber un valor máximo y un valor mínimo en D.
La propiedad (teorema del valor medio) de una función continua multivariante está en la región cerrada acotada D, si obtiene dos valores de función diferentes en D, y obtiene cualquier valor entre estos dos valores en D al menos una vez
3. Continuidad y diferenciabilidad de funciones multivariadasSi una función de una variable tiene una derivada en un punto determinado, entonces debe ser continua en ese punto, pero para una función multivariada, incluso si todas las derivadas parciales existen en un punto determinado, no hay garantía de que la función sea continua en ese punto, esto se debe a que la existencia de derivadas parciales solo puede garantizar que cuando el punto P se acerque a P0 en la dirección paralela al eje de coordenadas, el valor de la función f (P) tienda a f (P0), pero no puede garantizar de ninguna manera. que el valor de la función f(P) tiende a f(P0) cuando el punto P se acerca a P0 El valor f(P) tiende a f(P0)
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La existencia de la derivada de una función de una variable en un punto determinado es una condición necesaria y suficiente para la existencia de la diferenciación, pero la existencia de derivadas parciales de funciones multivariadas es sólo una condición necesaria para la existencia de la diferenciación. existencia de diferenciales completos, no es condición suficiente, es decir, diferencial = >; diferenciable
5 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad de funciones multivariadas
Teorema (condición suficiente) Si es parcial. La derivada de la función z=f(x, y) existe y es continua en el punto (x, y), entonces la función es derivable en ese punto
6 Polo de función multivariante. para la existencia del valor
Teorema (condición necesaria) Supongamos que la función z=f(x, y) tiene una derivada parcial en el punto (x0, y0) y un valor extremo en el punto (x0 , y0), Entonces su derivada parcial en este punto debe ser cero.
Teorema (condición suficiente) Sea la función z=f(x, y) continua y tenga una suma de primer orden en una vecindad. del punto (x0, y0) Derivadas parciales continuas de segundo orden, fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, de modo que fxx(x0, y0)=0=A, cuando .0). tiene un valor extremo y A0 tiene un valor mínimo (2 )AC-B2
7. Solución a la existencia de valores extremos de funciones multivariadas
(1) Resolver la ecuación fx(x, y)=0, fy(x, y)= Se pueden obtener todas las soluciones reales de 0
(2) Para cada punto estacionario (x0, y0), encuentre los valores. de las derivadas parciales de segundo orden A, B y c (3) para determinar. El símbolo de AC-B2 se utiliza para determinar si f (x0, y0) es el valor máximo o mínimo en condiciones suficientes. >
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