¡El problema matemático más difícil del mundo! ! !

1. La hipótesis del continuo En 1874, Cantor conjeturó que no existe otra cardinalidad entre los cardinales del conjunto numerable y los cardinales de los números reales. Esta es la famosa hipótesis del continuo. En 1938, Gödel demostró la no contradicción entre la hipótesis del continuo y el sistema de axiomas mundialmente reconocido de la teoría de conjuntos de Zermelo-Frenkel. En 1963, el matemático estadounidense Cohen demostró que la hipótesis de la continuidad y los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Runkel son independientes entre sí. Por lo tanto, no se puede demostrar que la hipótesis del continuo sea correcta dentro del sistema de axiomas de Zermelo-Frenkel. En este sentido ha quedado resuelto el primer problema de Hilbert.

2. Consistencia de los axiomas de la aritmética La compatibilidad de la geometría euclidiana se puede reducir a la compatibilidad de los axiomas de la aritmética. Hilbert propuso una vez utilizar el método de la teoría de la prueba del plan formalista para probarlo. En 1931, Gödel publicó el Teorema de la Incompletitud que refutaba esta opinión. En 1936, el matemático alemán Genz demostró la compatibilidad de los axiomas aritméticos mediante inducción transfinita. El volumen de matemáticas de la "Enciclopedia de China" publicado en 1988 señaló que el problema de la compatibilidad matemática aún no se ha resuelto.

3． El problema de los volúmenes iguales de dos tetraedros con bases iguales y alturas iguales. El significado del problema es que hay dos tetraedros con lados iguales y alturas iguales, que no se pueden descomponer en un número finito de tetraedros pequeños, de modo que los dos conjuntos de tetraedros son congruentes entre sí. M.W. Dehn dio una respuesta positiva a esta pregunta en 1900.

4． El problema de tomar una línea recta como la distancia más corta entre dos puntos. Esta pregunta es demasiado general. Hay muchas geometrías que satisfacen esta propiedad, por lo que es necesario agregar algunas restricciones. En 1973, el matemático soviético Pogorelov anunció que el problema estaba resuelto en el caso de distancias simétricas. La "Enciclopedia China" dijo que después de Hilbert, hubo muchos avances en la construcción y exploración de varias geometrías métricas especiales, pero el problema no se ha resuelto.

5. El concepto de Lie de un grupo de transformación continua. No se supone que la función que define este grupo sea diferenciable. Este problema se conoce como analiticidad de grupos continuos, es decir: ¿todo grupo euclidiano local es necesariamente un grupo de Lie? En el medio, gracias a los esfuerzos de von Neumann (1933, para el caso de grupos compactos), Pontryagin (1939, para el caso de grupos conmutativos), Shevapin (1941, para el caso de grupos solubles), en 1952 por Gleason, Montgomery y Zibin lo resolvieron juntos y lograron un resultado completamente positivo.

6. Axiomatización de la física Hilbert sugirió utilizar métodos axiomáticos matemáticos para deducir toda la física, empezando por la probabilidad y la mecánica. En 1933, el matemático soviético Kolmogorov realizó la axiomatización de la teoría de la probabilidad. Posteriormente logró grandes éxitos en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Pero mucha gente duda de que la física pueda ser plenamente axiomática.

7. La irracionalidad y la trascendencia de ciertos números. En 1934, A.O Gelfand y T. Schneider resolvieron cada uno de forma independiente la segunda mitad del problema, es decir, para cualquier número algebraico α≠ 0, 1 y. cualquier número irracional algebraico β prueba la trascendencia de αβ.

8． Problema de números primos. Incluyendo la hipótesis de Riemann, la hipótesis de Goldbach y el problema de los números primos gemelos, etc. La hipótesis de Riemann en general aún está por resolverse. El mejor resultado de la conjetura de Goldbach pertenece a Chen Jingrun (1966), pero aún está lejos de la solución final. El mejor resultado actual en el problema de los primos gemelos también pertenece a Chen Jingrun.

9. Demuestre la ley de reciprocidad más general en cualquier campo numérico. Este problema ha sido resuelto por el matemático japonés Sadaharu Takagi (1921) y el matemático alemán E. Artin (1927).

10. Solubilidad de ecuaciones diofánticas. Ser capaz de encontrar las raíces enteras de una ecuación con coeficientes integrales se llama ecuación diofántica solucionable. Hilbert preguntó si se podría utilizar un algoritmo general que constara de pasos finitos para determinar la solubilidad de una ecuación diofántica. En 1970, IO.B Matiasevich de la Unión Soviética demostró que el algoritmo esperado por Hilbert no existía.

11． Los coeficientes son la forma cuadrática de cualquier número algebraico. H. Hasse (1929) y C.L. Siegel (1936, 1951) obtuvieron importantes resultados sobre esta cuestión.

12. El problema de extender el teorema de Crocker sobre campos abelianos a campos racionales algebraicos arbitrarios sólo tiene algunos resultados esporádicos y todavía está lejos de estar completamente resuelto.

13. Es imposible resolver una ecuación general de séptimo grado con una función de sólo dos variables. La raíz de la ecuación de séptimo grado depende de 3 parámetros a, b, c, es decir, x=x (a, b, c).

¿Se puede expresar esta función como una función binaria? El matemático soviético Arnold resolvió el caso de funciones continuas (1957) y Veskin lo amplió al caso de funciones continuas diferenciables (1964). Pero si el requisito es una función analítica, el problema aún no está resuelto.

14． Demostrar la finitud de una determinada clase de sistemas de funciones completos. Esto está relacionado con el problema de las invariantes algebraicas. En 1958, el matemático japonés Masaki Nagata dio un contraejemplo.

15． Una pregunta típica basada estrictamente en el cálculo de conteo de Schubert es: hay cuatro líneas rectas en un espacio tridimensional. ¿Cuántas líneas rectas pueden cruzarse con las cuatro líneas rectas? Schubert dio una solución intuitiva. Hilbert exigió que el problema se generalizara y se le diera una base estricta. Existen algunos métodos computables que no están estrechamente relacionados con la geometría algebraica. Pero aún no se ha establecido una base estricta.

16. Problemas topológicos de curvas algebraicas y curvas y superficies algebraicas Este problema se divide en dos partes. La primera mitad trata del número máximo de curvas algebraicas que contienen curvas de rama cerrada. La segunda mitad requiere una discusión del número máximo y las posiciones relativas de los ciclos límite, donde Más de 3, pero esta conclusión es errónea y un matemático chino ha dado un contraejemplo (1979).

17． Expresión de suma de cuadrados en forma semidefinida positiva. Un polinomio de n elementos con coeficientes reales siempre es mayor o igual a 0 para todos los arreglos (x1, x2,...,xn). En 1927 Atin demostró que tenía razón.

18. Construir espacio usando poliedros congruentes. Los matemáticos alemanes Bieber Mach (1910) y Vienna Hardt (1928) proporcionaron soluciones parciales.

19. Si la solución a un problema de variación regular debe ser analítica. Hay poca investigación sobre este tema. C.H. Bernstein y Petrovsky et al.

20. El problema de los problemas generales de valores en la frontera se ha desarrollado muy rápidamente y se ha convertido en una gran rama de las matemáticas. La investigación aún continúa.

21． Prueba de la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales lineales con un grupo univaluado dado. Ha sido resuelto por el trabajo del propio Hilbert (1905) y H. Rolle (1957).

22． Unificación de funciones analíticas compuestas por funciones automorfas. Se trata de la ardua teoría de las superficies riemannianas. P. Kerber hizo un avance importante en 1907, pero otros aspectos aún no han sido resueltos.

23. Mayor desarrollo del cálculo de variaciones. Ésta no es una cuestión matemática explícita, sólo una visión general del cálculo de variaciones. El cálculo de variaciones se ha desarrollado mucho desde el siglo XX.