Una solución sencilla a la ley de excedentes de China.
Teorema del resto chino
Hay una historia en el folclore: "Han Xin ordena tropas".
Al final de Qin, Chu y Han pelearon. Han Xin una vez luchó con el general del estado de Chu, Li Feng, con 1.500 soldados. Después de una dura batalla, el ejército de Chu fue derrotado y se retiró al campamento. El ejército Han también sufrió entre cuatrocientas y quinientas bajas, por lo que Han Xin reorganizó sus tropas y regresó al campamento base. Mientras estábamos en la ladera de una colina, una fuerza de retaguardia informó que la caballería Chu nos estaba persiguiendo. El polvo volaba a lo lejos y el sonido de los asesinatos era ensordecedor. El ejército Han ya estaba muy cansado y luego el equipo estaba alborotado. Las tropas de Han Xin llegaron a la cima de la pendiente y vieron que el ejército enemigo era menos de 500, por lo que rápidamente ordenó a sus tropas que se encontraran con el enemigo. Ordenó tres soldados en fila, y había dos soldados más. Luego ordenó que los soldados estuvieran en fila de cinco, y había tres soldados más en fila, y había dos soldados más. Han Xin inmediatamente anunció a los soldados: Tenemos 1.073 guerreros y el enemigo tiene menos de 500. Si nos mantenemos firmes, seguramente derrotaremos al enemigo en número. El ejército Han no tenía dudas sobre su comandante y ahora creía que Han Xin era un "dios" y un "cerebro mágico". Así se elevó la moral. En ese momento, las banderas ondeaban, los tambores de guerra rugían, el ejército Han avanzaba paso a paso y el ejército Chu estaba sumido en el caos. Poco después de la batalla, el ejército de Chu fue derrotado y huyó.
En los cálculos de Sun Tzu hace más de mil años, había un problema aritmético:
"No sé el número de cosas hoy. Tres, tres, dos, cinco, cinco, siete, siete." . ¿Cuál es la geometría de las cosas? "Según las palabras de hoy: Divide un número entre 3 y 2, divídelo entre 5 y 3, divídelo entre 7 y 2, y encuentra el número.
Este tipo de problema también se llama "el punto de vista de Han Xin" y forma un tipo de problema, a saber, la solución de la fórmula de congruencia en la teoría elemental de números. La solución condicional a este tipo de problema se llama "teorema chino del resto" y se propuso por primera vez en China.
① Hay un número dividido entre 3 y 2, dividido entre 4 y 1. ¿Cuál es este número dividido por 12?
Respuesta: Los números divididos entre 3 y 2 son:
2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….
División El resto de 12 es:
2,5,8,11,2,5,8,11,…
Dividido por 4, el 1 número restante es:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….
El resto al dividirlo por 12 es:
1, 5, 9, 1, 5, 9,….
El resto de dividir un número entre 12 es único. Solo 5 en las dos líneas anteriores es igual * * *, por lo que el resto después de dividir este número por 12 es 5.
Si cambias la pregunta ①, no es para encontrar el resto después de dividir por 12, sino para encontrar este número. Obviamente, hay muchos números que cumplen las condiciones, que son 5+12 × enteros.
Los números enteros pueden ser 0, 1, 2,..., infinitos. De hecho, después de encontrar 5 primero, notamos que 12 es el mínimo común múltiplo de 3 y 4. Más los múltiplos enteros de 12, todos son números que cumplen las condiciones. Esa es la división entre "dividido por 3 y 2, dividido por 4 y 1".
② Divide un número entre 3 y 2, divide entre 5 y 3, divide entre 7 y 2 y encuentra el número más pequeño que cumpla las condiciones.
Solución: Primero enumera los números divididos entre 3 y 2:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,
Luego enumera los números divididos por 5 y 3:
3, 8, 13, 18, 23, 28,….
En estas dos columnas, el divisor común es 8,3 y el mínimo común múltiplo de 5 es 15. Estas dos condiciones se combinan en un número entero 8+15. Enumere los números en esta secuencia como 8, 23, 38,..., y luego enumere los números divididos por 7+2, 2, 9, 16.
El número mínimo que cumple los requisitos de la pregunta es 23.
De hecho, hemos combinado las tres condiciones de la pregunta en una: dividir entre 105 y 23.
Entonces los soldados de Han Xindian están entre 1000-1500, lo que debería ser 105×123 = 1073.