Preguntas de geometría del examen de ingreso a la escuela secundaria

Como DA=DC, d está en la línea vertical de AC. Do DE es perpendicular a AC y e es el punto medio de AC.

BD=BA, d está en un círculo con b como centro y AB como radio.

Sea DF perpendicular a AB y corte a AB en el punto f.

1.

∠BAC=90

∠BAC=2∠ACB

Entonces ∠ACB = ∠ABC = 45.

Triángulo rectángulo isósceles ABC. Ángulo de bisel BC, ángulo recto a.

AEDF rectangular

AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD

Entonces el triángulo rectángulo FDB, hipotenusa BD, Ángulo DCL = 30 grados.

Entonces ∠DBC = 45-30 =15 grados.

∠ABC =45 grados

La relación es ∠ABC = 3∠DBC

2. =90

Supongamos que ∠BAC=60, que es un triángulo perpendicular a C.

Es fácil obtener el ángulo DBC=30 grados, que también satisface la relación ∠ABC = 3∠DBC.

Por lo que se especula que esta relación siempre ha estado establecida. Demostrémoslo.

Abreviaturas: x = ∠ACD, y = ∠DCB, z=∠BAD.

Entonces x+y =∠ACB; X+z=∠CAB (porque x=∠CAD)

Porque x+z = 2(x+y)

Entonces z = y+y+ x

Z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y (extender AD, usando la suma de los ángulos exteriores)

Entonces ∠ DBC = y-x

∠ABC = 180-(∠BCA+∠BAC)= 180-3 *(x+y)

Del teorema del seno:

BC:BD = sin∠BDC:sin∠DCB = sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y = sin(y-x+y):sin y

BC:AB = sin∠ CAB:sin∠ACB = sin(z+x):sin(x+y)= sin(y+y+x+x):sin(x+y)

Porque BD= AB

Entonces sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)

sin(y-x +y) /sin y = 2 sin(y+x)cos(y+x)/sin(x+y)

2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)

2(cosx * cosy-sinx * siny)siny = sin(2y)cosx-cos(2y)sinx

2 cosxcosysiny-2 sinx * siny * siny = 2 sinycosx- (1- 2 sin? y)sinx

2 sinx * siny * siny = (1-2 siny * siny)sinx

(1) Cuando sinx! =0:

2sinysiny = 1-2sinysiny

¿Pecado? Y=1/4 entonces siny = más o menos 1/2; Y=30 grados, 150 grados.

Porque 3 (x+y) < 180, entonces y=30 grados.

∠DBC = y-x = 30-x

∠ABC = 180-3 *(x+y)180-3x-3 * 30 = 90-3x = 3 *(30 -x)= 3∠DBC .

(2) Cuando senx = 0, x = 0,180, es decir, ACD está en línea recta y el punto D no está dentro del triángulo.

(Es decir, la condición en cuestión no se cumple. De hecho, incluso si D está en el punto medio de AC, los dos ángulos aún satisfacen la relación triple: en este momento, el ángulo A = 60 grados .

)

De esta manera podemos sacar la conclusión anterior.