Algunas fórmulas matemáticas difíciles

(1) Parábola

y = ax^2 bx c (a≠0)

Es decir, y es igual a a multiplicado por x más b al cuadrado Multiplica x más c.

Situarlo en el plano del sistema de coordenadas cartesiano

Cuando un gt es 0, la apertura es hacia arriba.

Cuando a lt es 0, la apertura es hacia abajo

(a=0 es una función lineal de una variable)

c gt0, la imagen de la función se cruza con la dirección positiva del eje Y.

c lt0, la imagen de la función se cruza con la dirección negativa del eje Y.

Cuando c = 0, la parábola pasa por el origen

Cuando b = 0, el eje de simetría de la parábola es el eje Y.

(Por supuesto, esta función es una función lineal cuando a=0 y b≠0).

También existen fórmulas de vértice y = a (x h) * 2 k, (h, k) = (-b/(2a), (4ac-b 2)/(4a)).

Es decir, y es igual a a multiplicado por (x h) K al cuadrado.

-h es la coordenada x del vértice.

k es la coordenada y del vértice.

Generalmente se utiliza para encontrar el valor máximo, el valor mínimo y el eje de simetría.

Ecuación estándar de la parábola: y^2 = 2px(p g t; 0)

Significa que el foco de la parábola está en el semieje positivo de X, y el foco La coordenada es (p/2, 0), la ecuación de la directriz es x=-p/2.

Dado que el foco de una parábola puede estar en cualquier semieje, * *existe una ecuación estándar y^2 = 2px y^2 =-2px x ^2 = 2py x^2 =-2py .

(2) Círculo

Volumen de la esfera = (4/3) π (r 3)

Área = π (r 2)

Perímetro = 2πr =πd

La ecuación estándar de un círculo (X-A) 2 (Y-B) 2 = R 2 Nota: (A, B) son las coordenadas del centro del círculo.

La ecuación general de un círculo x2 y2 Dx Ey F=0 Nota: D2 E2-4f >; 0

(1) La fórmula para calcular la circunferencia de una elipse

p>

Según la ecuación de elipse estándar: el eje mayor A y el eje menor B son λ = (a-b)/(a b).

Perímetro de la elipse l =π(a b)(1 λ2/4 λ4/64 λ6/256 25λ8/16384.

......)

Simplificar: L≈π[1.5(a b)- sqrt(ab)]

O l≈π(a b)(64-3λ4)/(64-16λ2)

( 2) Fórmula de cálculo del área de la elipse

Fórmula del área de la elipse: S=πab

Teorema del área de la elipse: El área de la elipse es igual a π veces la longitud de la semi-mayor eje de la elipse (a) y el producto de la longitud del semieje menor (b).

Aunque no existe una elipse πT en las fórmulas anteriores para el perímetro y el área de una elipse, estas dos fórmulas se derivan de la elipse πT constante que es un cuerpo, se utiliza el cuadrado.

La fórmula de cálculo del volumen del elipsoide radio largo * radio corto * elipse π altura

(3) Funciones trigonométricas

Y fórmula de ángulo de diferencia

sin(A B)= Sina cosb cosa sinb; sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA

cos(A B)= cosa cosb-Sina sinb; p>tan(A B)=(tanA tanB)/(1-tanA tanB);tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1 tanA tanB)

cuna(A B)=(cotA cunaB -1)/(cot B cotA)

; cot(A-B)=(cotA cotB 1)/(cot b-cotA)

Fórmula del doble ángulo

tan2a=2tana/(1-tan^2a); cuna2A=(cuna^2A-1)/2cota

cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin ^2a

sin2A=2sinAcosA=2/(tanA cotA)

Además: sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π* 2/n) sin(α 2π * 3/n) ... sen [α 2π * (n-1)/n] = 0.

cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π* 2/n) cos(α 2π* 3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]= 0

Y

sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A B) tanA tan B- tan(A B)= 0

Fórmula de cuatro veces el ángulo:

sin4a=-4*(cosa*sina*(2*sina^ 2 -1))

cos4a=1 (-8*cosa^2 8*cosa^4)

tan4a=(4*tana-4*tana^3)/( 1 -6*tana^2 tana^4)

Fórmula de cinco veces el ángulo:

sin5a=16sina^5-20sina^3 5sina

cos5a= 16cosa^5 -20cosa^3 5cosa

tan5a=tana*(5-10*tana^2 tana^4)/(1-10*tana^2 5*tana^4)

Fórmula hexagonal:

sin6a=2*(cosa*sina)*(2*sina 1)*(2*sina-1)*(-3 4*sina^2))

cos6a=((-1 2*cosa^2)*(16*cosa^4-16*cosa^2 1))

tan6a=(-6*tana 20*tana ^3- 6*tana^5)/(-1 15*tana^2-15*tana^4 tana^6)

Fórmula de siete veces el ángulo:

sin7a= -(sina*( 56*sina^2-112*sina^4-7 64*sina^6))

cos7a=(cosa*(56*cosa^2-112*cosa^4 64 *cosa^6- 7))

tan7a=tana*(-7 35*tana^2-21*tana^4 tana^6)/(-1 21*tana^2-35*tana ^4 7*tana ^6)

Fórmula octogonal:

sin8a=-8*(cosa*sina*(2*sina^2-1)*(-8*sina ^2 8* sina^4 1))

cos8a=1 (160*cosa^4-256*cosa^6 128*cosa^8-32*cosa^2)

tan8a=- 8*tana*(-1 7*tana^2-7*tana^4 tana^6)/(1-28*tana^2 70*tana^4-28*tana^6 tana^8)

Fórmula de nueve veces el ángulo:

sin9a=(sina*(-3 4*sina^2)*(64*sina^6-96*sina^4 36*sina ^2-3))

cos9a=(cosa*(-3 4*cosa^2)*(64*cosa^6-96*cosa^4 36*cosa^2-3))

tan9a=tana*(9-84*tana^2 126*tana^4-36*tana^6 tana^8)/(1-36*tana^2 126*tana^4-84* tana^6 9*tana ^8)

Fórmula de diez veces el ángulo:

sin10a=2*(cosa*sina*(4*sina^2 2*sin

a-1)*(4*sina^2-2*sina-1)*(-20*sina^2 5 16*sina^4))

cos10a=((-1 2*cosa ^2)*(256*cosa^8-512*cosa^6 304*cosa^4-48*cosa^2 1))

tan10a=-2*tana*(5-60*tana ^2 126*tana^4-60*tana^6 5*tana^8)/(-1 45*tana^2-210*tana^4 210*tana^6-45*tana^8 tana^10)

Fórmula general:

sinα=2tan(α/2)/[1 tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^ 2(α/2)]/[1 tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

Fórmula del medio ángulo

sen(A/2)=√((1-cosA)/2)sen(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1 cosA)/2)cos(A/2)=-√((1 cosA)/2)

tan(A /2 )=√((1-cosA)/((1 cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1 cosA))

cot(A /2 )=√((1 cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1 cosA)/((1-cosA))

Suma y diferencia producto

2 Sina cosb = sin(A B) sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A B)-sin(A-B)

2 cosa cosb = cos(A B) cos; (A-B);- 2sinAsinB=cos(A B)-cos(A-B)

senA sinB = 2 sin((A B)/2)cos((A-B)/2

; cosA cosB = 2cos( (A B)/2)sin((A-B)/2)

tanA tanB = sin(A B)/cosa cosb=sin(A-B)/cosAcosB

cotA cotB = sin(A B)/Sina sinb;-cotA cotB=sin(A B)/sinAsinB

Fórmula de potencia reducida

¿Sin? (A)=(1-cos(2A))/2 = versin(2A)/2

¿Porque? (α)=(1 cos(2A))/2 = cubre(2A)/2

Bronceado? (α)=(1-cos(2A))/(1 cos(2A))

Teorema del seno a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R Nota: r representa la circunferencia circunscrita del radio del triángulo.

Teorema del coseno B^2 = A^2 C^2-2 ACCOSB Nota: El ángulo B es el ángulo entre el lado A y el lado C.

Fórmula de inducción

Fórmula 1:

Representación de ángulo en sistema de arco:

sen(2kπ α)=sinα (k∈ Z)

cos(2kπ α)=cosα (k∈Z)

tan(2kπ α)=tanα (k∈Z)

cot(2kπ α)=cotα (k∈Z)

sec(2kπ α)=secα (k∈Z)

csc(2kπ α)=cscα (k∈Z)

Representación del ángulo en el sistema de ángulos:

sin (α k 360 )=sinα(k∈Z)

cos(α k 360 )=cosα(k∈Z) )

tan (α k 360 )=tanα (k∈Z)

cuna (α k 360 )=cotα (k∈Z)

sec( α k 360 )=secα (k∈Z)

csc(α k 360 )=cscα (k∈Z)

Fórmula 2:

Sistema de arco Representación del ángulo medio:

sin(π α)=-sinα (k∈Z)

cos(π α)=-cosα(k∈Z)

tan(π α)=tanα(k∈Z)

cuna(π α)=cotα(k∈Z)

sec(π α)=-secα( k ∈Z)

csc(π α)=-cscα(k∈Z)

Representación del ángulo en sistema de ángulos:

sin(180 α) = -sinα(k∈Z)

cos(180 α)=-cosα(k∈Z)

tan(180 α)=tanα(k∈Z)

cuna(180 α)=cotα(k∈Z)

sec(180 α)=-secα(k∈Z)

csc(180 α)=- cscα (k∈Z)

Fórmula 3:

sin(-α)=-sinα(k∈Z)

cos(-α)=cosα ( k∈Z)

tan(-α)=-tanα(k∈Z)

cot(-α)=-cotα(k∈Z)

sec(-α)=secα(k∈Z)

csc-α)=-cscα(k∈Z)

Fórmula 4:

Arco Representación de ángulos en el sistema:

sin(π-α)=sinα(k∈Z)

cos(π-α)=-cosα(k∈Z)< /p >

tan(π-α)=-tanα(k∈Z)

cot(π-α)=-cotα(k∈Z)

sec( π- α)=-secα(k∈Z)

cot(π-α)= csα(k∈Z)

Representación del ángulo en el sistema de ángulos:

sin(180 -α)=sinα(k∈Z)

cos(180 -α)=-cosα(k∈Z)

tan(180 -α) =- tanα(k∈Z)

cot(180 -α)=-cotα(k∈Z)

sec(180 -α)=-secα(k∈Z)

csc(180 -α)=cscα(k∈Z)

Fórmula 5:

Representación de ángulo en sistema de arco:

sin (2π-α)=-sinα(k∈Z)

cos(2π-α)=cosα(k∈Z)

tan

(2π-α)=-tanα(k∈Z)

cot(2π-α)=-cotα(k∈Z)

sec(2π-α)=secα( k∈Z)

csc(2π-α)=-cscα(k∈Z)

Representación del ángulo en sistema de ángulos:

sin(360 - α)=-sinα(k∈Z)

cos(360 -α)=cosα(k∈Z)

tan(360 -α)=-tanα(k∈Z )

cuna(360 -α)=-cotα(k∈Z)

Sec (360-α)=sec α(k∈Z)

csc(360 -α)=-cscα(k∈Z)

Fórmula 6:

Representación de ángulo en sistema de arco:

sin(π/2 α)=cosα(k∈Z)

cos(π/2 α)=—sinα(k∈Z)

tan(π/2 α)=-cotα(k ∈Z)

cot(π/2 α)=-tanα(k∈Z)

sec(π/2 α)=-cscα(k∈Z)

csc(π/2 α)=secα(k∈Z)

Representación del ángulo en sistema de ángulos:

sin(90 α)=cosα(k∈Z )

cos(90 α)=-sinα(k∈Z)

tan(90 α)=-cotα(k∈Z)

cot( 90 α)=-tanα(k∈Z)

sec(90 α)=-cscα(k∈Z)

csc(90 α)=secα(k∈Z)

⒉

Representación del ángulo en el sistema de arco:

sin(π/2-α)=cosα(k∈Z)

cos(π/2-α)=sinα(k∈Z)

tan(π/2-α)=cotα(k∈Z)

cot(π/2 -α)=tanα(k∈Z)

sec(π/2-α)=cscα(k∈Z)

csc(π/2-α)=secα( k∈Z)

Representación del ángulo en el sistema de ángulos:

sen (90 -α)=cosα(k∈Z)

cos (90 -α )=sinα(k∈Z)

tan (90 -α)=cotα(k∈Z)

cot (90 -α)=tanα(k∈Z) p>

sec (90 -α)=cscα(k∈Z)

csc (90 -α)=secα(k∈Z)

三

Representación de ángulos en el sistema de arco:

sin(3π/2 α)=-cosα(k∈Z)

cos(3π/2 α)= sinα(k ∈Z)

tan(3π/2 α)=-cotα(k∈Z)

cot(3π/2 α)=-tanα(k∈Z)

sec(3π/2 α)=cscα(k∈Z)

csc(3π/2 α)=-secα(k∈Z)

En sistema de ángulos Representación del ángulo:

sin(270 α)=-cosα(k∈Z)

cos(270 α)=sinα(k∈Z)

tan(270 α)=-cotα(k∈Z)

cot(270 α)=-tanα(k∈Z)

sec(270 α)=cscα (k∈Z Z)

csc(2

70 α)=-secα(k∈Z)

Cuatro

Representación del ángulo en el sistema de arco:

sin(3π/2-α)=- cosα(k∈Z)

cos(3π/2-α)=-sinα(k∈Z)

tan(3π/2-α)=cotα(k∈Z) )

cuna(3π/2-α)=tanα(k∈Z)

sec(3π/2-α)=-secα(k∈Z)

csc(3π/2-α)=-secα(k∈Z)

Representación del ángulo en sistema de ángulos:

sin(270 -α)=-cosα( k∈Z)

cos(270 -α)=-sinα(k∈Z)

tan(270 -α)=cotα(k∈Z)

cot(270 -α)=tanα(k∈Z)

sec(270 -α)=-cscα(k∈Z)

csc(270 -α)= -secα(k∈Z)

(4) Función trigonométrica inversa

Arcoseno(-x)=-arcoseno

arccos(-x)= π- arccosx

Arctangente(-x)=-arctangente

arccot(-x)=π-arccotx

Arco sen x arco cos x= π/2

Arc tan x arc cot x=π/2

(5) Secuencia

La fórmula general de la secuencia aritmética: an-a1-( n-1) d

La suma de los primeros n términos de la secuencia aritmética: sn =[n(a 1 an)]/2 = na 1 [n(n-1)d]/2.

Fórmula de la serie geométrica: an = a 1 * q(n-1

La suma de los primeros n términos de la serie geométrica: sn = a 1(1-q n); )/ (1-q)=(a 1-a 1-q n)/(1-q).

=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n(n≠1)

La suma de los primeros n términos de alguna serie:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n = n(n 1)/2

1 3 5 7 9 11 13 15 … (2n-1)=n^ 2

2 4 6 8 10 12 14 … (2n)= n(n 1)

1^2 2^2 3^2 4^2 5^2 6^2 7^2 8^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)/6

1^3 2^3 3^3 4^3 5^3 6^3 …n^ 3=(n(n 1)/2)^2

1 * 2 2 * 3 3 * 4 4 * 5 5 * 6 6 * 7 … n(n 1)= n(n 1) (n 2)/3

(6) Multiplicación y factorización

Factorización

a^2-b^2=(a b)(a-b )

a^2 2ab b^2=(a b)^2

a^3 b^3=(a b)(a^2-ab b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2 ab b^2)

a^3 3a^2b 3ab^2 b^3=(a b)^3

Fórmula de multiplicación

Invierte los lados izquierdo y derecho de la fórmula de factorización anterior para obtener la fórmula de multiplicación.

(7) Desigualdad del triángulo

-|a|≤a≤|a|

| a |≤b lt;= gt-b≤a≤ b

| a |≤b lt;= gt-b≤a≤b

| a |-| |≤b lt;= gt-b≤a≤b

|a|-|b|≤|a-b|≤|a| |b|

|z1|-| z2|-...-|zn|≤|z1 z2 ... zn|≤|z1 |z2... |cinc|

|z1|-|z2|-... -|zn|≤|z1-z2-...-zn|≤|z1 |z2| ... |cinc|

|z1|-|z2|-...-|zn |≤|z1 z2 ...zn|≤|z1| |z2| ... |zinc|

(8) Ecuación cuadrática de una variable

Ecuación cuadrática de una variable wx 1 =-b √( B2-4ac)/2 ax2 =-b-√(B2-4ac)/2a solución.

La relación entre raíces y coeficientes (teorema de Vietta) x 1 x2 =-b/a; x1*x2=c/a

Discriminante △ = b 2-4ac = 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales iguales.

Δ gt; 0, la ecuación tiene dos raíces reales desiguales.

△ lt; 0, entonces la ecuación tiene dos * * * raíces complejas unidas D (sin raíces reales).

Propiedades básicas

Si a gt0, y a≠1, m >; N gt0, entonces:

1.a^log(a) (b)=b

2.log(a)(a)=1

3 . log(a)(MN)= log(a)(M) log(a). )(N);

4. log(a)(M÷N)= log(a)(M)-log(a)(N);

5.log (a)(M^n)=nlog(a)(M)

6.log(A)[m(1/n)]= log(A)(m)/nFórmula de Heron: Si se conocen los tres lados A, B, C y el medio perímetro P del triángulo, entonces S = √ [P(p-a)(p-b)].

(Fórmula de Helen Qin Jiushao) (p= (a b c)/2) factorial de permutación y combinación: n! = 1× 2× 3× …× n, (n es un número entero no menor que 0) ¡especifique 0! =1. El número de todas las permutaciones de M elementos que organizan N elementos diferentes, ¡A(n, m) = n! /(n-m)! (m es un superíndice, n es un subíndice y ambos son números enteros no menores que 0, m ≤ n) combinación. Tomar m elementos de n elementos diferentes a la vez, sin importar en qué orden se combinen en un grupo, se llama combinación. El número de especies en todas las combinaciones diferentes C(n, m) = A(n, m)/m! =n! /[¡metro! (Nuevo Méjico)! ]

(m es un superíndice, n es un subíndice y ambos son números enteros no menores que 0, m≤n)◆Propiedades de los números combinatorios: c (n, k) = c (n-1 , k) c (n-1, k-1); para el número de combinación C (n, k), n y k se convierten a binario respectivamente. Si n correspondiente a un bit binario es 0 y k es 1, entonces c (n, k) es un número par, de lo contrario es un teorema binomial entero impar (teorema binomial) (a b) n =; c (n, 0) × a n × b 0 c (n, 1) × a (n-1) × b c (n, 2) × a (n-2).

0)×1^n c(n, 1)×1^(n-1)×1 c(n, 2)×1^(n-2)×1^2 ... C(n, n)×1 ^n

= (1 1) n = 2 La definición del límite de cálculo de n: Supongamos que la función f(x) en el punto x tiene una vecindad centrípeta definida en Si hay una constante a, para For. cualquier número positivo dado ε (no importa cuán pequeño sea), siempre hay un número positivo δ, de modo que cuando x satisface la desigualdad 0

, el valor de la función correspondiente f(x) satisface la desigualdad: | f (x)-a |

-∫ u' (x) v (x) dx. Fórmula de Taylor para una función de una variable Teorema del valor medio de Taylor: Si f(x) tiene una derivada de orden hasta n 1 en el intervalo abierto (a, b), cuando la función está en este intervalo, se puede expandir a una función sobre (x-). ? (x-x0)^2, f'''(x0)/3! ? La derivada n de (x-x0) 3... f? (x0)/n! ? (x-x0) n rndonde Rn=f(n 1)(ξ)/(n 1)! ? (x-x0) (n 1) es el resto del tipo lagrangiano, donde ξ está entre x y x0. La forma de la integral definida es ∫f(x) dx.

(El límite superior A se escribe encima de ∫, y el límite inferior B se escribe debajo de ∫). La razón por la que se llama integral definida es porque el valor obtenido después de la integración es cierto. Es un número, no una función. Fórmula de Newton-Leibniz: Si F'(x)=f(x), entonces ∫f(x) dx (límite superior A y límite inferior b)=F(a)-F(b) La fórmula de Newton-Leibniz se expresa en palabras, es decir, el valor de una fórmula integral definida es la diferencia entre el límite superior de la función original y el límite inferior de la función original. Ecuaciones diferenciales Cualquier ecuación que exprese la relación entre las derivadas de una función desconocida y sus variables independientes se llama ecuación diferencial. Si la función desconocida en una ecuación diferencial contiene solo una variable independiente, la ecuación se denomina método de valores propios de ecuaciones diferenciales ordinarias, que es un método general para resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Por ejemplo, la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y'' py' qy=0: Sea la ecuación característica r*r p*r q=0 r1, r2 si la raíz real r1 no es igual a. R2y = c 1 * E(R 1x ) C2 * E(R2x 2Si las raíces reales R = R1 = R2y = (C1 C2x).