Algunos problemas de matemáticas
(1) Encuentre las coordenadas del punto P y el valor de a (4 puntos)
(2) Como se muestra en la Figura (1), la parábola C2 y la parábola C1 son Simétrica con respecto a X, la parábola C2 se traslada hacia la derecha. La parábola trasladada está marcada como C3 y el vértice de C3 es M. Cuando el punto P y el punto M son simétricos con respecto al centro del punto B, se encuentra la fórmula analítica de C3. (4 puntos)
(3) Como se muestra en la Figura (2), el punto Q es un punto en el semieje positivo del eje X. La parábola C1 se gira 180 grados alrededor del punto Q para obtener la parábola C4. El vértice de la parábola C4 es n, que corta al eje X en dos puntos E y F (el punto E está a la izquierda del punto F). Cuando el triángulo con vértices en el punto P, el punto N y el punto F es un triángulo rectángulo, encuentre el punto.
Función cuadrática, aplicación del teorema de Pitágoras
Solución: (1) Obtenida de la parábola C1:
El vértice p es (-2, -5) .
El punto B (1, 0) está en la parábola C1.
∴
Solución, a = 59
(2) Conecte PM, el eje PH⊥x está en h, el eje MG⊥x está en g
Los puntos P y M son simétricos con respecto al centro del punto b.
∴PM pasa por el punto b, Pb = MB.
∴△PBH≌△MBG
∴MG=PH=5, BG=BH=3
Las coordenadas de ∴vértice m son (4, 5 )
La parábola C2 se obtiene mediante C1 que es simétrica con respecto a X, y la parábola C3 se obtiene por traslación de C2.
La expresión de la ∴parábola C3 es
(3)∵La parábola C4 se obtiene girando C1 180° alrededor del punto Q en el eje X.
∴Los vértices n y p son centralmente simétricos con respecto al punto q
La ordenada del punto n obtenida de (2) es 5.
Establezca las coordenadas del punto n como (m, 5)
Establezca el eje PH⊥x como h y el eje NG⊥x como g
Sea PK⊥NG Conviértete en k.
El centro de rotación Q está en el eje X.
∴EF=AB=2BH=6
∴ FG = 3, las coordenadas del punto f son (m 3, 0).
La coordenada h es (2, 0) y la coordenada K es (m, -5).
Según el teorema de Pitágoras
PN2=NK2 PK2=m2 4m 104
PF2=PH2 HF2=m2 10m 50
NF2 = 52 32=34
①¿Cuando ∠PNF = 90°? , PN2 NF2=PF2, la solución es m = 443 y la coordenada del punto ∴Q es (193, 0).
②¿Cuándo ∠ PFN = 90? , PF2 NF2=PN2, la solución es M = 103 y la coordenada del punto ∴Q es (23, 0).
③∵PN>NK=10>NF, ∴∠NPF≠90?
Resumiendo, cuando la coordenada del punto Q es (193, 0) o (23, 0), los vértices son P, N, f.
Este triángulo es un triángulo rectángulo.
4. (Hebei, 2009) Se sabe que la parábola pasa por el punto y el punto P (t, 0), t ≠ 0..
(1) Si la simetría El eje de la parábola pasa por el punto A, como se muestra en la Figura 12.
Señale el valor mínimo de y en este momento observando la imagen.
Y escribe el valor de t;
(2) Si, encuentra los valores de A y B, indica que se debe tirar
El dirección de apertura de la línea del objeto;
(3) Escribe directamente el valor t que hace que la apertura de la parábola sea hacia abajo.
98. (Weifang, 2009) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, el centro del círculo con un radio de 1 está en el origen de las coordenadas y se cruza con los dos. ejes de coordenadas en cuatro puntos.
La parábola corta al eje en un punto, la línea recta en un punto y el círculo es tangente al círculo en un punto y un punto respectivamente.
(1) Encuentre la fórmula analítica de la parábola;
(2) El eje de simetría de la parábola interseca el punto, conecta el punto y extiende el punto de intersección.
(3) La recta extendida que corta a la tangente del círculo está en este punto, para determinar si el punto está en la parábola y explicar el motivo.
99. (09 Hubei Yichang) Se sabe que los cuatro vértices del trapecio rectángulo OABC son O (0, 0), A (1), B (s, T), C ( 0), y la parábola Y = x2 El vértice P de MX-M es un punto en movimiento dentro o sobre el borde del trapecio rectángulo OABC, y M es una constante.
(1) Encuentre los valores de S y T y dibuje el trapecio rectángulo OABC en el sistema de coordenadas rectangulares
(2) Cuando la parábola y = x2 MX; -m y el trapezoide en ángulo recto OABC Cuando los lados AB se cruzan, encuentre el rango de valores de m.
(Pregunta 24)
100, (09 Huaihua, Hunan) Figura 11, la imagen de la función cuadrática conocida y Los ejes se cruzan en dos puntos diferentes, y el punto de intersección con los ejes es. Supongamos que el centro del círculo circunscrito es un punto.
(1) Encuentra las coordenadas del otro punto de intersección d con el eje;
(2) Si el diámetro y el área de son exactamente iguales a , encuentra la suma.
Solución
101, (09 Shaoyang, Hunan) Como se muestra en la Figura (12), la fórmula analítica de una línea recta es que cruza el eje y el eje en dos puntos respectivamente. Una línea recta paralela a la línea recta comienza desde el origen y se mueve a lo largo del cuadrado del eje a una velocidad de 1 unidad de longitud por segundo. Intersecta el eje y el eje en dos puntos respectivamente. El tiempo de movimiento se establece en segundos (. ).
(1) Encuentra las coordenadas de dos puntos;
(2) El área representada por la expresión algebraica incluida
(3) Toma la diagonal es; un rectángulo, y el área de la parte superpuesta es,
① ¿Cuándo, intenta explorar la relación funcional entre el área?
102, (Wannian 2009) 23. Se sabe que la relación funcional entre el precio unitario mayorista de una determinada fruta y la cantidad mayorista es la que se muestra en (1).
(1) Explique el significado real de las dos imágenes de funciones en la figura.
Solución
(2) Escriba el monto del capital mayorista de este tipo de fruta entre el monto mayorista de W (yuanes) y m (kg)
Función Relación; dibuje la gráfica de la función en el sistema de coordenadas a continuación; indique la cantidad.
Dentro de un cierto rango, esta fruta se puede vender al por mayor en grandes cantidades con los mismos fondos.
Resolución
(3) Luego de la investigación, se encontró una letra entre el volumen máximo de ventas diario y el precio minorista de la fruta vendida por un determinado comerciante.
Como se muestra en la Figura (2), el comerciante planea vender más de 60 kilogramos de esta fruta cada día.
Y el precio de venta al público se mantiene sin cambios ese día, por favor ayude al distribuidor a diseñar un plan de compra y venta.
Maximiza las ganancias obtenidas en el día.
Solución
(Jingzhou, Hubei, 2009) Se sabe que el punto de simetría del punto P(,) con respecto al eje está en la imagen de la función proporcional inversa.
Solo existen dos puntos de intersección diferentes a y b entre la gráfica de la función y los ejes de coordenadas. Encuentra las coordenadas del punto P y el área de ΔPAB.
(Jingzhou, Hubei, 2009) Debido al apoyo clave del Estado a la industria de ahorro de energía y protección del medio ambiente, el mercado de ventas de productos de ahorro de energía se está recuperando gradualmente. Un distribuidor vende este producto y firmó un contrato de compra con el fabricante a principios de año, acordando que el precio de compra dentro de un año será de 0,10.000 yuanes por unidad y que se pagará un depósito de 50.000 yuanes por adelantado. Planea alcanzar un cierto volumen de ventas dentro de un año, y el monto total de compra y el depósito utilizado para completar este volumen de ventas se controlarán en no menos de 340.000 yuanes, pero no más de 400.000 yuanes. Si la relación entre el precio de venta (10.000 yuanes/juego) y el número de meses en un año (un número entero) es la siguiente, entonces se encuentra que hay una tendencia cambiante entre las ventas mensuales reales (juegos) y el número de meses después de un año.
(1) Anota directamente el volumen de ventas mensual real (unidades) y el número de veces al mes.
La relación funcional;
(2) Encuentre el beneficio de ventas mensual real (10.000 yuanes) en los tres meses anteriores y el mes actual.
La relación funcional entre títulos;
⑶ Intente determinar qué mes del año tiene el precio de venta más alto y señale el precio de venta más alto;
Por favor, calcule. Descubra si ha completado las ventas que planeó a principios de este año.
(Maoming City, 2009) Como se muestra en la figura, después de girar la figura rodeada por la parábola y la línea recta en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen y luego trasladarla hacia la derecha a lo largo del eje en 1 unidad, la siguiente conclusión es incorrecta ().
A. La coordenada del punto es b. Las coordenadas del punto son
C. El cuadrilátero es un rectángulo d. Si está conectado, el área del trapezoide es 3.
103, (Maoming City, 2009) La situación relevante de la producción de plásticos A y B en un taller de la planta petroquímica de etileno de Maoming es la siguiente. Responda las siguientes preguntas:
Tarifa de tratamiento de aguas residuales a precio de fábrica
Un plástico 2100 (yuanes/tonelada) 800 (yuanes/tonelada) 200 (yuanes/tonelada)
b Plástico 2400 (yuanes/tonelada) 1100 (yuanes/tonelada) 100 (yuanes/tonelada)
También debe pagar tarifas de gestión y mantenimiento del equipo de 20.000 yuanes por mes.
(1) Suponga que el taller produce toneladas de plásticos A y B cada mes, y las ganancias son yuanes y yuanes respectivamente, y las relaciones funcionales de suma y suma se obtienen respectivamente (nota: ganancia = total ingresos - gasto total); (6 puntos)
(2) Se sabe que la producción mensual de plásticos A y B en el taller no supera las 400 toneladas. Si se van a producir 700 toneladas de plástico A y plástico B en un mes, ¿cuántas toneladas de plástico A y plástico B se deben producir en ese mes para maximizar la ganancia total? ¿Cuál es el beneficio máximo? (4 puntos)
104, (Maoming City, 2009) Como se muestra en la figura, en el medio, el punto es el punto en movimiento en el borde (los puntos no coinciden entre sí), y el punto de paso es el punto de intersección.
(1) Si es casi igual ¿cuántos grados tiene? (2 puntos)
¿Cuál es el área más grande cuando (2) es igual? ¿Cuál es el área máxima? (4 puntos)
(3) Si el círculo con el diámetro del segmento de línea circunscribe el círculo con el diámetro del segmento de línea, encuentre la longitud del segmento de línea. (4 puntos)
105, 1. (Ciudad de Shiyan, provincia de Hubei, 2009) Como se muestra en la Figura ①, se sabe que la parábola (a≠0) corta el eje en los puntos A (1, 0) y B (-3, 0), se cruza con el eje Y en el punto c.
(1) Encuentre la fórmula analítica de la parábola;
(2) Suponga que el eje de simetría de la parábola se cruza con el eje en el punto c, averigüe si hay un punto P en el eje de simetría, de modo que △CMP sea un triángulo isósceles. Si existe, escriba directamente las coordenadas de todos los puntos calificados P; si no existe, explique el motivo.
(3) Como se muestra en la Figura ②, si el punto E es un punto en movimiento en la parábola del segundo cuadrante, conecte BE y CE, encuentre el área BOCE máxima del cuadrilátero y encuentre las coordenadas de punto E en este momento.
107 (Qingdao, Shandong, 2009) Para orientar la cría y las ventas de un determinado producto acuático, una empresa de cría de productos acuáticos llevó a cabo una encuesta sobre la situación del mercado y la situación de cría de productos acuáticos a lo largo de los años. La investigación encontró que el precio por kilogramo (yuan) de este producto acuático satisface la relación con el mes de ventas (mes), y la relación funcional entre el costo por kilogramo (yuan) y el mes de ventas (mes) es como se muestra en la cifra.
(1) Intente determinar el valor;
(2) Encuentre la relación funcional entre la ganancia (yuanes) por kilogramo del producto acuático y el mes de ventas (mes);
③ Antes de "cinco?" "1", ¿en qué mes la ganancia por kilogramo de este producto acuático tuvo mayor valor?
108, ( Urumqi, Xinjiang, 2009) Como se muestra en la Figura 9, rectángulo, las coordenadas de los dos puntos conocidos son los puntos medios de y el punto establecido es el punto en movimiento en la bisectriz (no coincide con el punto)
(1) Intente demostrar que no importa qué tan lejos se mueva un punto, siempre son iguales;
(2) Cuando el punto se mueve a la distancia mínima desde este punto, intente encontrar la fórmula analítica de la parábola que pasa por tres puntos;
(3) Este punto es el vértice de la parábola determinado en (2). Cuando el punto se mueve hacia dónde, ¿su perímetro es el más pequeño? suma de coordenadas del punto;
(4) Este punto es el centro de simetría del rectángulo. ¿Tiene algún sentido? Si existe, simplemente escribe las coordenadas del punto.
109, 19. (Ciudad de Foshan, 2009) (1) Dibuje la imagen aproximada de la función cuadrática en el sistema de coordenadas
(2) Dibújela en la misma coordenada; sistema La imagen se mueve hacia arriba dos unidades;
(3) Escribe directamente la fórmula analítica de la imagen traducida.
Nota: La longitud del lado del cuadrado pequeño en la imagen es 1.
110, (Provincia de Guangdong, 2009) La longitud del lado del cuadrado es 4, que son los dos puntos que se mueven arriba. Cuando los puntos se mueven hacia arriba, permanecen verticales.
(1) Demuestre:
(2) Suponga que el área del trapecio es, y la relación funcional de la suma a qué posición se mueve el punto, es el área de; el cuadrilátero es el más grande, encuentra el área máxima
p>
(3) Cuando el punto se mueve a una posición, encuentra el valor en este momento.
111. (2009, provincia de Shanxi) Un mercado mayorista vende al por mayor dos tipos de frutas A y B. Según la experiencia pasada y las condiciones del mercado, se espera que la ganancia por ventas de la fruta A sea (10.000 yuanes). ) durante un cierto período de tiempo en el verano (yuanes) y la cantidad de compra (toneladas) satisfacen aproximadamente la relación funcional. El beneficio por ventas del segundo tipo de fruta (10.000 yuanes) satisface aproximadamente la relación funcional (donde es una constante) cuando la cantidad de compra es de 1 tonelada, y el beneficio por ventas es de 14.000 yuanes cuando la cantidad de compra es de 2 toneladas; El beneficio es de 26.000 yuanes.
(1) Encuentre la relación funcional entre (diez mil yuanes) y (toneladas).
(2) Si el mercado está preparado para comprar 10 toneladas de dos frutas A y B, y la cantidad de compra de B es toneladas, escriba la suma de las ganancias por ventas de estas dos frutas (10,000 yuanes) y (toneladas) Relación funcional de , encuentre la suma del beneficio máximo de ventas de estas dos frutas por tonelada. ¿Cuál es el beneficio máximo?
112, (Ciudad de Huangshi, 2009) Función conocida (constante)
(1) Si la gráfica de la función tiene exactamente una intersección con el eje, entonces el valor;
(2) Si la función es como una parábola, el vértice siempre está por encima del eje y se encuentra el rango de valores.
113. (Ciudad de Huangshi, 2009) Para ampliar la demanda interna, beneficiar a los agricultores, enriquecer el tiempo libre de los agricultores y fomentar el envío de televisores en color al campo, el estado decidió implementar subsidios gubernamentales para los agricultores. que compran televisores en color. Se estipula que el gobierno subsidiará unos pocos yuanes por cada televisor en color. Después de la investigación, la relación entre la cantidad de televisores en color vendidos en un centro comercial y el monto del subsidio (yuanes) satisface aproximadamente la función lineal que se muestra en la Figura ①. A medida que aumenta el monto del subsidio, el volumen de ventas también aumenta, pero los ingresos (yuanes) de cada televisor en color disminuirán en consecuencia, y la relación entre ellos satisface aproximadamente la función lineal que se muestra en la Figura 2.
(1) Antes de que el gobierno introdujera medidas de subsidio, ¿cuáles eran los ingresos totales de este centro comercial por la venta de televisores en color?
(2) Una vez implementada la política de subsidios gubernamentales, se obtiene la relación funcional entre la cantidad de televisores en color vendidos en los centros comerciales, los ingresos de cada electrodoméstico y el monto de los subsidios gubernamentales
(3) es Para maximizar los ingresos totales (en RMB) de la venta de televisores en color en este centro comercial, ¿cuánto debe establecerse el subsidio del gobierno para cada televisor en color? Encuentre el valor máximo de los ingresos totales.
113, (Ciudad de Huangshi, 2009) En el sistema de coordenadas plano rectangular como se muestra en la figura, el cuadrado está en el semieje positivo del eje, en el semieje negativo del eje, y cruza el semieje positivo del eje. En el semieje negativo del eje de intersección, la parábola pasa por tres puntos.
(1) Encuentra la fórmula analítica de la parábola; (3 puntos)
(2) es un punto en el medio de la parábola El punto de intersección es atravesado por una recta. línea paralela al eje. La línea recta en el punto de intersección. Sí, si es así, determine la forma del cuadrilátero (3 puntos)
(3) Si hay un punto en movimiento en el rayo; hay un punto en movimiento en el rayo; si es así, pruébelo estrictamente; si no, explique por qué. (4 puntos)
114, (Provincia de Yunnan de 2009) Como se muestra en la figura, en el sistema de coordenadas plano rectangular, es el origen de las coordenadas, y las coordenadas del punto A y el punto B son respectivamente suma y conexión.
(1) Ahora se obtiene girando 90° en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto A. Dibuja y escribe directamente las coordenadas del punto y la suma (nota: no se requiere prueba).
<); p>( 2) Encuentre la relación funcional correspondiente a la parábola que pasa por tres puntos y dibuje un bosquejo de la parábola.115, (Ciudad de Zaozhuang, 2009) Como se muestra en la figura, el vértice de la parábola es A(21), pasa por el origen O y el otro punto de intersección con el eje X es b .
(1) Encuentre la fórmula analítica de la parábola;
(2) Encuentre el punto m en la parábola tal que el área de △MOB sea tres veces la de △AOB;
(3) Conecte OA y AB, ¿hay un punto n en la parábola debajo del eje X tal que △OBN sea similar a △OAB? Si existe, encuentre n puntos.