Clasificación de variedades unidimensionales

Una variedad es un espacio con propiedades de espacio euclidiano local y se utiliza en matemáticas para describir la geometría. En física, el espacio de fase de la mecánica clásica y la variedad pseudo-riemanniana de cuatro dimensiones que construye el modelo espacio-temporal de la relatividad general son ejemplos de variedades.

Nombre chino

Múltiples facetas

Nombre extranjero

Múltiples facetas

Es Euclides

Múltiples facetas

Es Euclides

Las curvas en el espacio

son de propiedad local

Atributo del espacio euclidiano

Rápido

Navegación

Definición

Círculo

Variedades importantes

Historia del desarrollo

Variedades N-dimensionales El concepto ha comenzado a tomar forma en J.L. Lagrangian mecánica. A mediados del siglo XIX, se sabía que el espacio euclidiano N-dimensional es un continuo de N variables reales, pero B. Riemann introdujo el concepto de variedad general N-dimensional al estudiar la geometría diferencial y lo construyó utilizando un método inductivo. Al igual que el movimiento de una curva forma una superficie, una variedad N-dimensional se forma juntando infinitas variedades (n-1)-dimensionales en forma de una variedad unidimensional. Al mismo tiempo se inició la investigación sobre la topología de las variedades y su teoría local. Riemann, Betty, Poincaré y otros aplicaron métodos analíticos. Pero para deshacerse de las dificultades y desventajas de este método, Poincaré definió la variedad N-dimensional como un espacio topológico conectado, en el que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano N-dimensional, y se llevaron a cabo investigaciones. , abriendo así el camino a la topología combinatoria.

Definición

En el espacio euclidiano de n dimensiones, el medio espacio definido por se expresa como. Cuando cada punto p tiene una vecindad abierta U(p) que es AND u homeomórfica, el espacio de Hausdorff m se denomina variedad topológica n-dimensional. ¿Todos los puntos p de U(p)≈(homeomorfismo)? M se llama borde de la variedad M y su complemento se llama interior de M? La variedad con m = φ se llama variedad sin aristas.

¿Los bordes de la variedad n-dimensional m? m es una variedad ilimitada de n-1 dimensiones. Una variedad conectada compacta sin límites se llama variedad cerrada, y una variedad conectada no compacta sin límites se llama variedad abierta. Hay una variedad topológica que está conectada pero no es cuasicompacta. Esta variedad unidimensional se llama línea recta larga. [1]

Circunferencia

Un círculo es la variedad más simple además del espacio euclidiano. Consideremos un círculo en un plano bidimensional con radio 1 y centro en el origen (el círculo unitario). Si xey son coordenadas euclidianas en el plano, entonces la ecuación del círculo unitario es.

Tarjeta de coordenadas locales

Un segmento corto cerca de cualquier punto del círculo unitario es como una línea. Una recta es una figura unidimensional y podemos marcar un punto en este pequeño segmento usando una sola coordenada. Por ejemplo, cualquier punto del círculo unitario en el semicírculo sobre el eje X puede determinarse mediante la coordenada X. Entonces hay una biyección Xtop, una proyección simple a la primera coordenada (x) asigna la parte amarilla del círculo al intervalo abierto (?1, 1):.

Esta función se llama gráfico de coordenadas locales. De manera similar, hay tarjetas de coordenadas correspondientes en el semicírculo inferior, el semicírculo izquierdo y el semicírculo derecho del círculo unitario. Estos cuatro semicírculos pueden cubrir todo el círculo unitario. Llamamos a las cuatro tarjetas de coordenadas locales correspondientes para formar el atlas de coordenadas de este círculo unitario.

Transformación de coordenadas

Presta atención a la parte superpuesta de la tarjeta de coordenadas superior derecha. Su intersección se encuentra en el cuarto de arco del círculo con coordenadas X e Y positivas. Las dos gráficas χtop y χright proyectan esta parte al intervalo (0, 1). De esta forma, tenemos una función t desde (0, 1) hacia sí misma. Primero, tomamos el inverso del gráfico amarillo para llegar al círculo y luego devolvemos el intervalo a través del gráfico verde.

Esta función se llama mapeo de transformación (transformación de coordenadas).

Desde el punto de vista del cálculo, la función de transformación t de un círculo es solo una función entre intervalos abiertos, por lo que sabemos que significa que t es diferenciable. De hecho, t es diferenciable en (0, 1), al igual que otras funciones de transformación. Entonces, este mapa convierte el círculo en una variedad diferenciable.