Video explicativo del departamento de matemáticas de tercer grado
Aristóteles definió las matemáticas como "matemáticas cuantitativas", que duró hasta el siglo XVIII. Desde el siglo XIX, la investigación matemática se ha vuelto cada vez más rigurosa y ha comenzado a involucrar la teoría de grupos, la geometría proyectiva y otros temas abstractos que no tienen una relación clara con cantidades y medidas. Los matemáticos y filósofos han comenzado a proponer varias definiciones nuevas.
Algunas de estas definiciones enfatizan la naturaleza deductiva de muchas matemáticas, algunas enfatizan su naturaleza abstracta y otras enfatizan ciertos temas de las matemáticas. Incluso entre los profesionales, no se cumple la definición de matemáticas.
Aún no se sabe si las matemáticas son un arte o una ciencia. Muchos matemáticos profesionales no están interesados en la definición de matemáticas o creen que no está definida. Algunos simplemente dicen: "Las matemáticas las hacen los matemáticos".
Las tres definiciones principales de matemáticas se denominan lógicos, intuicionistas y formalistas, y cada una refleja una escuela filosófica de pensamiento diferente. Todo el mundo tiene problemas graves, nadie es aceptado universalmente y ninguna reconciliación parece factible.
Una de las primeras definiciones de lógica matemática es "La ciencia de las conclusiones necesarias" de Benjamin Peirce (1870). Propuso un programa filosófico llamado logicismo, intentando demostrar que todos los conceptos, enunciados y principios matemáticos pueden definirse y demostrarse mediante la lógica simbólica. La definición lógica de las matemáticas es la de Russell: "Todas las matemáticas son lógica simbólica" (1903).
La definición de intuicionismo proviene del matemático L. E. J. Brouwer, quien equipara las matemáticas con ciertos fenómenos psicológicos. Un ejemplo de definición intuicionista es "Las matemáticas son una actividad mental de construcciones sucesivas". El intuicionismo se caracteriza por el rechazo de algunas ideas matemáticas que otras definiciones consideran válidas.
En particular, mientras que otras filosofías matemáticas permiten objetos cuya existencia se puede demostrar incluso si no se pueden construir, el intuicionismo sólo permite objetos matemáticos que realmente se pueden construir.