[Conceptos de Números y Formas] Historia del Desarrollo de las Matemáticas

El desarrollo de las matemáticas se basa principalmente en los dos conceptos básicos de número y forma. Toda la matemática gira en torno al refinamiento, evolución y desarrollo de estos dos conceptos. En la historia del desarrollo de las matemáticas existen dos rutas paralelas de desarrollo de los números y las formas, una es la ruta del álgebra aritmética centrada en el desarrollo de los cálculos y la otra es la ruta geométrica centrada en el desarrollo de las formas. El primero tiene dos fuentes, una son las matemáticas chinas que se desarrollaron de forma independiente y la otra son los antiguos números babilónicos...

Comentarios/notas del editor

Las matemáticas son un tema antiguo. Nació con el surgimiento de la civilización y tiene una historia de al menos cuatro a cinco mil años. Los conceptos y principios originales de las matemáticas surgieron en la antigüedad. Después de más de 4.000 años de esfuerzos conjuntos de muchas naciones del mundo, se ha convertido en un sistema enorme con contenido rico, muchas ramas y amplias aplicaciones. Comprender la historia del desarrollo de las matemáticas puede ayudar a cultivar el interés de los estudiantes en aprender matemáticas. ¡Espero que el siguiente contenido les sea útil!

El desarrollo de las matemáticas se basa principalmente en los dos conceptos básicos de número y forma. Toda la matemática gira en torno al refinamiento, evolución y desarrollo de estos dos conceptos. En la historia del desarrollo de las matemáticas, ha habido dos rutas de desarrollo paralelas de las formas numéricas, una es el álgebra aritmética centrada en cálculos de expansión y la otra es la ruta geométrica centrada en formas de expansión. El primero tiene dos fuentes, una es el desarrollo independiente de las matemáticas chinas y la otra son las antiguas matemáticas babilónicas.

Esta ruta se desarrolló aún más durante el período de Alejandro de la antigua Grecia y floreció en China, India y países árabes. No fue hasta el siglo XVII que se formó en Europa el álgebra elemental completa.

La ruta de la "forma" es la geometría elemental, que se originó en las matemáticas egipcias y logró logros brillantes en la antigua Grecia. Los dos tipos de matemáticas se fusionaron en la Europa del siglo XVII y, a través de un mayor desarrollo, llevaron al surgimiento de la geometría analítica y las matemáticas variables. Posteriormente, debido al surgimiento del cálculo, las matemáticas iniciaron un cambio importante, dando como resultado una amplia gama de campos de análisis matemático, formando una situación tripartita de álgebra, geometría y análisis.

En los siglos XVIII y XIX, debido a la continua diferenciación de las matemáticas, el álgebra, la geometría y el análisis formaron campos de investigación separados. Los objetos de la investigación matemática se están ampliando cada vez más y los conceptos de números y formas se están volviendo cada vez más amplios y abstractos, de modo que no queda rastro de cálculos primitivos y gráficos simples.

La geometría no sólo estudia las formas espaciales del mundo material, sino que también estudia otras formas y relaciones similares a las formas y relaciones espaciales, dando como resultado varios "espacios" nuevos: espacio de Lobachevsky, espacio de proyección, cuatridimensional. El espacio de Riemann y varios espacios topológicos se han convertido en objetos de investigación geométrica. Los objetos de las matemáticas modernas son "cantidades" relativamente comunes, como vectores, matrices, tensores, espinores, números supercomplejos, grupos, etc., y se estudian las operaciones de estas cantidades.

Estas operaciones son algo similares a las cuatro operaciones aritméticas en aritmética, pero son mucho más complejas. Los vectores son un ejemplo simple y la suma de vectores sigue la regla del paralelogramo. La abstracción en el álgebra moderna ha llegado al punto en que el término "cantidad" ha perdido su significado y, en general, se ha convertido en una discusión sobre "cosas".

Para tales "objetos" se pueden realizar operaciones similares a las operaciones algebraicas ordinarias. Por ejemplo, dos movimientos consecutivos equivalen a un movimiento total, y dos transformaciones algebraicas de una fórmula equivalen a una transformación total.

De manera correspondiente, podemos estudiar la "adición" propia de un movimiento o transformación. También se han estudiado otras operaciones similares en una amplia gama de formas abstractas. Los objetos de análisis también se han desarrollado mucho. En el análisis funcional, no sólo los números son variables, sino que también las funciones mismas son variables.

La naturaleza de una función determinada no se puede determinar aquí sola, sino que depende de la relación entre esa función y otras funciones. Por tanto, no se trata de un número de funciones individuales, sino de un conjunto de todas las funciones caracterizadas por tal o cual propiedad común. Este conjunto de funciones se combina en un "espacio funcional".

Por ejemplo, considere el conjunto de todas las curvas en un plano o el conjunto de todos los movimientos posibles de un sistema mecánico, y determine las propiedades de una sola curva o movimiento en función de su relación con otras curvas o movimientos. . Un método comúnmente utilizado en las matemáticas modernas es considerar cada función como un "punto", considerar toda la función de un determinado tipo como un "espacio" y considerar el grado de diferencia entre funciones como la "distancia" entre "puntos". ”, obteniendo así varios espacios funcionales de dimensión infinita.

Por ejemplo, la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales integrales a menudo se reduce al problema de punto fijo de la transformación geométrica en el espacio funcional correspondiente. La expansión de los objetos matemáticos ha ampliado enormemente el alcance de la aplicación. matemáticas. Los conceptos matemáticos se introdujeron ampliamente en la física, Einstein aplicó la geometría de Riemann a la relatividad general, von Neumann aplicó el espacio de Hilbert a la mecánica cuántica, Yang Zhenning y Mills aplicaron la teoría de los haces de fibras para medir campos, y así sucesivamente.

Desde la segunda mitad del siglo XIX, es decir, desde el punto de vista del "grupo" de Klein hasta el establecimiento de la teoría de conjuntos y el movimiento axiomático de Cantor, la tendencia de las matemáticas hacia la síntesis se ha vuelto cada vez más obvia. El desarrollo de las matemáticas modernas ha contribuido a la profundización de los conceptos de números y formas, formando una variedad de temas de vanguardia. En lugar de profundizar la separación entre disciplinas, estas disciplinas han llevado a la interconexión y penetración entre disciplinas, permitiendo que campos previamente básicamente separados se comuniquen entre sí y llenando los vacíos entre las disciplinas básicas.

Todas las disciplinas forman un todo orgánico sólido. Las disciplinas de frontera no surgen simplemente de campos adyacentes.

Y también está sucediendo en campos remotos. La penetración mutua de disciplinas básicas ha producido muchas disciplinas integrales. El surgimiento y el vigoroso desarrollo de disciplinas integrales marca que el desarrollo de las matemáticas modernas ha pasado de la etapa dirigida por materias a la etapa dirigida por materias. La penetración mutua entre disciplinas es un reflejo de la dialéctica en la que los dos conceptos básicos de número y forma están estrechamente vinculados.

La matematización de diversas ciencias ha combinado las matemáticas con otras materias, dando como resultado muchas materias interdisciplinarias, y de muchas materias han derivado muchas pequeñas ramas, que no sólo promovieron el desarrollo de diversas materias, sino que también enriquecieron y desarrollaron las matemáticas. El tema en sí.

Sin embargo, no importa la división, combinación, cambio e innovación de varias disciplinas de las matemáticas, no importa los cambios dentro de las matemáticas, aunque el territorio del reino matemático se expande constantemente, siempre está controlado por los dos. Conceptos básicos de número y forma. (El contenido está extraído de un libro que leímos juntos: "Historia de las Matemáticas")

Resumen: A principios del siglo XIX, los arqueólogos desenterraron alrededor de 500.000 piezas de inscripciones cuneiformes que abarcaban múltiples períodos de la historia de Babilonia. Las tablillas estaban densamente grabadas con símbolos extraños. Después de la investigación, casi 400 de ellas fueron identificadas como tabletas puramente matemáticas, que contenían tablas de números y algunos problemas matemáticos. …

Nota del editor: A principios del siglo XIX, los arqueólogos desenterraron aproximadamente 500.000 tablillas de arcilla con escritura cuneiforme que abarcaban múltiples períodos de la historia de Babilonia. Estaban densamente grabadas con símbolos extraños. Después de la investigación, casi 400 de ellas fueron identificadas como tabletas puramente matemáticas, que contenían tablas de números y algunos problemas matemáticos.

Los arqueólogos desenterraron aproximadamente 500.000 tablillas cuneiformes en Mesopotamia en la primera mitad del siglo XIX, que abarcan muchos períodos de la historia babilónica. Hay muchos símbolos extraños en estas tablillas de arcilla. Estos símbolos son en realidad la escritura utilizada por los babilonios, conocida como "cuneiforme". A través de la investigación, los científicos descubrieron que las tablillas de arcilla registraban conocimientos que los babilonios ya habían adquirido. Casi 400 de ellas fueron identificadas como tablillas puramente matemáticas, que contenían tablas numéricas y varios problemas matemáticos. El conocimiento matemático actual sobre Babilonia proviene del análisis de estos documentos originales.

Aritmética

Los antiguos babilonios eran calculadores muy hábiles y sus programas de cálculo se implementaban con la ayuda de tablas de multiplicar, tablas recíprocas, tablas cuadradas y tablas cúbicas. El método babilónico de escribir números merece nuestra atención. Introdujeron el sistema de valores de base 60 (hexadecimal), que griegos y europeos continuaron utilizando para cálculos matemáticos y astronómicos hasta el siglo XVI. Hasta el día de hoy, el hexadecimal todavía se utiliza para registrar ángulos, tiempos, etc. Por ejemplo, 1 metro = 10 decímetros, 1 minuto = 60 segundos, etc.

Álgebra

Los antiguos babilonios tenían un rico conocimiento de álgebra y muchas tablillas de arcilla contenían problemas con ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas. Su proceso de resolución de ecuaciones cuadráticas es consistente con el método de colocación y el método de fórmulas actuales. Además, analizan algunas ecuaciones cúbicas y ecuaciones lineales multivariadas.

Durante el período comprendido entre 1900 a. C. y 1600 a. C., se registró una tabla (Princeton No. 322) y se encontró que en ella había dos conjuntos de números, a saber, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la longitud de un ángulo recto, de esto se deduce la longitud de otro ángulo recto, es decir, se obtiene la solución entera de la ecuación indefinida x2 y2=z2.

Geometría

La geometría de la antigua Babilonia estaba estrechamente relacionada con las mediciones prácticas. Saben que los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales y pueden calcular las áreas de figuras planas simples y volúmenes tridimensionales simples.

Ahora dividimos la circunferencia en 360 partes iguales, también por culpa de los antiguos babilonios. La principal característica de la geometría babilónica es su naturaleza algebraica. Por ejemplo, el problema de las líneas transversales paralelas a un lado de un triángulo rectángulo conduce a una ecuación cuadrática que aparece cuando se habla del volumen de un prisma.

Los logros matemáticos de la antigua Babilonia alcanzaron un nivel muy alto entre las primeras civilizaciones, pero el conocimiento acumulado era sólo el resultado de la observación y la experiencia y no tenía ninguna base teórica.

Resumen: La aritmética y el álgebra son las ramas más básicas y antiguas de las matemáticas, y están estrechamente relacionadas. La aritmética es la base del álgebra y el álgebra evolucionó a partir de la aritmética. La evolución de la aritmética al álgebra es un gran avance en los métodos de pensamiento matemático.

Nota del editor: El desarrollo de las matemáticas no es una simple acumulación de nuevos conceptos, nuevas proposiciones y nuevos métodos, sino que incluye muchos cambios fundamentales en las matemáticas mismas, es decir, un salto cualitativo. Varios avances importantes en los métodos de pensamiento matemático a lo largo de la historia han demostrado plenamente este punto.

La aritmética y el álgebra son las ramas más básicas y antiguas de las matemáticas, y están estrechamente relacionadas. La aritmética es la base del álgebra y el álgebra evolucionó a partir de la aritmética. La evolución de la aritmética al álgebra es un gran avance en los métodos de pensamiento matemático.

Primero, la inevitabilidad histórica del álgebra.

El álgebra es un campo de estudio de las matemáticas. Su primera y más básica rama es el álgebra elemental. El objeto de estudio del álgebra elemental es la operación de expresiones algebraicas y la solución de ecuaciones. Históricamente, el álgebra elemental es la continuación y popularización del desarrollo de la aritmética. Las contradicciones en el movimiento de la aritmética misma y las necesidades del desarrollo de la práctica social proporcionan la premisa y el fundamento para el surgimiento del álgebra elemental.

Sabemos que el contenido principal de la aritmética son las propiedades de los números naturales, las fracciones, los decimales y las cuatro operaciones aritméticas. El surgimiento de la aritmética muestra que los humanos han dado el primer paso decisivo para comprender las relaciones cuantitativas en el mundo real. La aritmética es una herramienta matemática indispensable en las actividades prácticas de la sociedad humana y tiene aplicaciones amplias e importantes en diversos departamentos de la sociedad humana. Sin esta herramienta matemática, los avances tecnológicos serían casi indistinguibles.

En el proceso de desarrollo de algoritmos, han surgido muchas cuestiones nuevas debido a las necesidades de la teoría de algoritmos y el desarrollo práctico. Uno de los problemas importantes es que las limitaciones de los métodos de resolución de problemas aritméticos limitan en gran medida el ámbito de aplicación de las matemáticas.

Las limitaciones del método de resolución de problemas aritméticos se reflejan principalmente en que se limita a la operación de números conocidos específicos y no permite que números abstractos y desconocidos participen en la operación. Es decir, cuando usamos métodos aritméticos para resolver problemas escritos, primero debemos recopilar y organizar varios datos conocidos en torno a las cantidades que queremos, y enumerar fórmulas para estos datos específicos de acuerdo con las condiciones del problema, y ​​luego usar las cuatro aritméticas. operaciones de suma, resta, multiplicación y división Encuentra el resultado de la fórmula.

Muchos problemas antiguos de aplicación matemática, como problemas de viajes, problemas de ingeniería, problemas de flujo, problemas de distribución y problemas de pérdidas y ganancias, se resuelven utilizando este método. La clave para la resolución de problemas aritméticos es enumerar correctamente la aritmética, es decir, conectar datos conocidos mediante signos de suma, resta, multiplicación y división para establecer un modelo matemático que refleje las características esenciales del problema real.

Para aquellos problemas prácticos con relaciones cuantitativas simples, no es difícil enumerar las fórmulas correspondientes. Sin embargo, para aquellos problemas prácticos con relaciones cuantitativas complejas, a menudo no es fácil enumerar las fórmulas correspondientes y, a veces, no es fácil enumerar las fórmulas correspondientes. Requiere un alto grado de esfuerzo. Especialmente para aquellos problemas prácticos que involucran varios números desconocidos, a veces ni siquiera pueden resolverse estableciendo fórmulas para números conocidos.

Las limitaciones de las operaciones aritméticas no sólo limitan la aplicación de las matemáticas, sino que también afectan y restringen el desarrollo continuo de las matemáticas mismas. Con el profundo desarrollo de las matemáticas mismas y la práctica social, las limitaciones de los métodos aritméticos de resolución de problemas quedan cada vez más expuestas, por lo que el surgimiento de un nuevo método de resolución de problemas: el método algebraico de resolución de problemas se ha convertido en una necesidad histórica.

La idea básica del método algebraico de resolución de problemas es: primero, según las condiciones del problema, formar una fórmula algebraica que contenga números conocidos e incógnitas, enumerar el sistema de ecuaciones según la equivalencia relación, y luego obtenerla mediante la transformación de identidad del sistema de ecuaciones El valor de la incógnita. El contenido central del álgebra elemental es resolver ecuaciones, por lo que el álgebra elemental suele entenderse como la ciencia de resolver ecuaciones.

La diferencia fundamental entre el álgebra elemental y la aritmética es que la primera permite que números desconocidos sean objetos de operaciones, mientras que la segunda excluye los números desconocidos de las operaciones. Si también se menciona un número desconocido en aritmética, entonces este número desconocido solo puede desempeñar el papel de equivalencia simbólica de los resultados de la operación. Solo puede ubicarse en el lado izquierdo de la ecuación. La fórmula está en el lado derecho de la estática. La ecuación puede completar el cálculo de un número específico.

Es decir, en aritmética, los números desconocidos no tienen derecho a participar en las operaciones.

En álgebra, como ecuación condicional compuesta de números conocidos y números desconocidos, la ecuación en sí significa que los números conocidos y desconocidos contenidos en ella tienen el mismo estado operativo, es decir, los números desconocidos se han convertido en el objeto de la operación, simplemente Al igual que los números conocidos, puede participar en diversas operaciones y pasar de un lado a otro de la multiplicación según ciertas reglas.

El proceso de resolución de ecuaciones es esencialmente el proceso de convertir números desconocidos en números conocidos mediante la recombinación de números conocidos y números desconocidos, es decir, poniendo los números desconocidos a un lado de la ecuación y los números conocidos. por el otro El otro lado de la ecuación. En este sentido, las operaciones aritméticas son sólo un caso especial de las operaciones algebraicas y son el desarrollo y promoción de las operaciones aritméticas.

Debido a la universalidad y flexibilidad de las operaciones algebraicas, la aparición del álgebra ha ampliado enormemente el alcance de aplicación de las matemáticas. Muchos problemas que son impotentes en aritmética se pueden resolver fácilmente en álgebra. Además, la aparición del álgebra ha tenido un impacto enorme y de gran alcance en todo el proceso de las matemáticas. Muchos descubrimientos importantes están relacionados con los métodos de pensamiento algebraico.

Por ejemplo, la solución de ecuaciones cuadráticas condujo al descubrimiento de números imaginarios; las soluciones de ecuaciones quínticas y superiores llevaron al nacimiento de la teoría de grupos; la aplicación del álgebra en problemas geométricos condujo al establecimiento de geometría analítica, etc. Debido a esto, consideramos el surgimiento del álgebra como el símbolo del primer gran punto de inflexión en los métodos de pensamiento matemático.

En segundo lugar, la formación de la arquitectura algebraica

El significado original de la palabra "álgebra" es "la ciencia de resolver ecuaciones". Entonces el álgebra primitiva es también álgebra elemental. Como rama independiente de las matemáticas, el álgebra elemental ha pasado por un largo proceso histórico y nos resulta difícil tomar un año concreto como símbolo de su surgimiento. Históricamente, generalmente ha pasado por tres etapas diferentes: álgebra literal, que utiliza el lenguaje escrito para expresar los objetos y procesos de las operaciones; álgebra de palabras simplificada, que utiliza palabras simplificadas para expresar el contenido y los pasos de las operaciones, que significa abstracción; Los símbolos alfabéticos son muy utilizados.

El proceso del álgebra literal al álgebra simbólica es también el proceso de desarrollo del álgebra elemental desde la inmadurez hasta la madurez. En este proceso, el matemático francés Descartes del siglo XVII hizo contribuciones destacadas. Fue el primero en defender el uso de X, Y, Z para representar cantidades desconocidas. Muchos de los símbolos que propuso y utilizó son básicamente consistentes con los métodos de escritura modernos.

Con el desarrollo de las matemáticas y la profundización de la práctica social, los objetos de investigación del álgebra continúan expandiéndose, los métodos de pensamiento continúan innovando y el álgebra se desarrolla desde formas de bajo nivel hasta formas avanzadas y desde álgebra elemental. hasta álgebra avanzada. El álgebra avanzada es rica en contenido y tiene muchas ramas, entre las cuales las más básicas son las siguientes.

Álgebra lineal: Discute la parte algebraica de las ecuaciones lineales (ecuaciones lineales). Las herramientas importantes son los determinantes y las matrices.

Álgebra polinómica: analiza principalmente el cálculo y la distribución de raíces de ecuaciones algebraicas con la ayuda de las propiedades de los polinomios, incluida la teoría de la divisibilidad, el máximo común divisor, el teorema de factorización, los factores múltiples, etc.

Teoría de grupos: rama del álgebra que estudia las propiedades de los grupos y es un campo del álgebra abstracta. Un grupo es un sistema algebraico abstracto con operaciones. El concepto de teoría de grupos fue propuesto por primera vez por el joven matemático francés Galois a principios del siglo XIX. Galois se convirtió en el fundador de la teoría de grupos. Hoy en día, la teoría de grupos tiene un rico contenido y amplias aplicaciones.

Teoría de los anillos: Rama del álgebra que estudia las propiedades de los anillos. Es un campo en desarrollo del álgebra abstracta. Los anillos son sistemas algebraicos abstractos con dos operaciones que tienen muchas propiedades únicas. Un anillo especial se llama campo. Si los elementos de un campo son números, se llama campo numérico. A partir del concepto de campos, se forma otro campo del álgebra abstracta: la teoría de campos.

Álgebra booleana: también conocida como álgebra binaria, álgebra lógica o álgebra de conmutación, es un sistema de álgebra abstracta con tres operaciones. Fue creado por el matemático británico Boole en la década de 1840. En las últimas décadas, el álgebra de Boole se ha utilizado ampliamente en el diseño de circuitos, sistemas de automatización y diseño de computadoras.

Además, existen ramas como la teoría de la red, el álgebra de Lie y el álgebra homóloga.

Existe una gran diferencia en los métodos de pensamiento entre el álgebra avanzada y el álgebra elemental. El álgebra elemental es computacional y se limita al estudio de sistemas numéricos específicos, como los números reales y los números complejos, mientras que el álgebra avanzada es conceptual y axiomática, y su objeto son los sistemas algebraicos abstractos generales. Por lo tanto, el álgebra superior es más abstracta y general que el álgebra elemental, lo que hace que el álgebra superior se utilice más ampliamente. El desarrollo hacia la abstracción y la universalidad es una característica importante de las matemáticas modernas.

Cheng Xiaolong, ganador de la medalla de oro de la 40ª Organización Marítima Internacional (1999, Bucarest, Rumania).

Si estás familiarizado con las matemáticas de la escuela secundaria, sentirás que no introduce muchas teorías. El álgebra trata sobre la visión de funciones y propiedades de funciones elementales, operaciones con funciones trigonométricas, números complejos y vectores complejos, principios de secuencias e inducción, métodos de conteo. La geometría analítica introduce el método de describir figuras geométricas usando lenguaje cuantitativo, así como las propiedades cuantitativas de varias figuras geométricas de uso común. "Geometría sólida" describe las posiciones y relaciones métricas de puntos, líneas y superficies en el espacio, centrándose en varias entidades geométricas básicas. Para aprender bien matemáticas en la escuela secundaria, se debe tener una comprensión y comprensión general de estos conocimientos, es decir, comprender el papel que juegan los problemas que resuelven en las matemáticas e incluso en la práctica.

Aprender matemáticas no es en absoluto memorizar teoremas y fórmulas, ni tampoco es un entrenamiento vacío en la resolución de problemas. Es imposible captar la esencia de las matemáticas centrándose únicamente en la superficie formal de las matemáticas. La existencia y desarrollo de las matemáticas se basan en determinadas necesidades prácticas. Comprender esta necesidad, es decir, la función de cada parte de las matemáticas, ayuda a comprender las matemáticas como un todo orgánico. Sin pensar, es difícil llegar a una verdadera comprensión de las matemáticas. Por lo tanto, es particularmente importante tener un contacto personal con las matemáticas en la vida.

Esto requiere un pensamiento personal y una comprensión profunda de cada tema del aprendizaje. Normalmente estoy acostumbrado a analizar e inferir la esencia de un nuevo concepto. Cuando encuentre teoremas y fórmulas, primero intente probarlos usted mismo, de modo que cuando estudie el contenido del libro, tenga más experiencia y una comprensión más profunda del conocimiento de lo que imaginaba.

Por ejemplo, después de hacer esto, quedará más claro por qué un teorema tiene tales restricciones y bajo qué circunstancias se aplica. Después de comprender el razonamiento lógico, debemos volver atrás y considerar las conclusiones en su conjunto, considerando las dependencias entre los hechos que describen y otros conocimientos matemáticos. Hacerlo también le ayudará a captar el conocimiento desde una perspectiva macro y obtener una comprensión más profunda de sus conceptos principales. Es mejor tomarse un tiempo para ordenar esta parte de la teoría después de aprender una parte del conocimiento y aclarar la relación entre sus principales puntos de conocimiento.

Esto no es una simple revisión, sino asegurar que estas cosas se conviertan en tu propio conocimiento. No es una lectura simple, sino un pensamiento profundo después de la comprensión. Incluso puedes dejar de lado los libros de texto y completar este proceso simplemente pensando y haciendo los cálculos necesarios. Especialmente en el estudio diario, solo aprendes una pequeña parte del conocimiento a la vez y haces la tarea, que está relativamente dispersa. Esta familiaridad general es muy necesaria.

Los ejercicios necesarios no solo pueden ayudarlo a familiarizarse con el conocimiento que ha aprendido, sino también a comprender los conceptos y teoremas que ha aprendido y a explorar la connotación más profunda del conocimiento. Su otra función, que es la función del ejercicio en sí, es ejercitar el pensamiento después de completar las preguntas, es de gran beneficio para los dos aspectos anteriores, es decir, al realizar las preguntas no te limites a resolver el problema en sí. A veces puedes pensar en el problema. Reflexionar sobre las conclusiones y experimentar los métodos y técnicas utilizados. Lo importante es entender por qué se utiliza este método, es decir, poder entender la esencia del método.

Al hacer las preguntas, no debes ignorar la reflexión después de perseguir demasiado, de lo contrario, a menudo habrá algunas repeticiones innecesarias y la ganancia no valdrá la pena. Otro punto es pensar desde una perspectiva diferente y no estar satisfecho con los métodos existentes, incluso si los métodos existentes son los más simples. Al pensar y resolver problemas desde una perspectiva diferente, puede obtener nuevos conocimientos, que serán más útiles al resolver preguntas más difíciles.

Algunas personas simplemente escriben todos los teoremas, fórmulas, diversos problemas y las soluciones correspondientes. Cuando tienen poco conocimiento, es posible que puedan afrontarlo, pero una vez que hay demasiado contenido, lo es. difícil de entender. Pero es relativamente fácil dominar los métodos de pensamiento básicos para resolver problemas. La respuesta a una pregunta puede ser muy larga, pero puede que sólo haya una o dos ideas principales para resolver el problema, y ​​la mayor parte del espacio es razonamiento o cálculo.

Además, la forma de pensar está conectada con diferentes partes de las matemáticas. Dominarla es la base y la forma de resolver diversos cambios. La solución a un problema nunca es una inspiración infundada, sino un método que surge de una cuidadosa consideración en el proceso de resolución de un problema. Por lo tanto, es muy importante comprender este proceso de pensamiento, que consiste en ver la esencia a través del fenómeno. Los métodos de pensamiento se originan en el proceso de resolución de problemas y sólo pueden dominarse mediante el pensamiento, el análisis y la exploración independientes durante el proceso de resolución de problemas.

Si un día descubres que conoces bien la teoría del conocimiento y los métodos de pensamiento en matemáticas, entonces ya podrás dominar bien el conocimiento que has aprendido y, junto con algunas habilidades básicas excelentes, será suficiente para afrontarlo. con exámenes ordinarios, pero para una persona que realmente quiere aprender bien matemáticas, estos están lejos de ser suficientes.

Como todos sabemos, las matemáticas requieren un razonamiento lógico estricto, pero el razonamiento lógico no es suficiente para representar todas las matemáticas.

Como dijo Courant, el gran matemático de este siglo: "Puede ser parcial enfatizar demasiado las características matemáticas de una fórmula. El núcleo de la teoría matemática es la invención creativa y los elementos intuitivos que guían y promueven". Varios factores importantes en las matemáticas son la lógica y la intuición, el análisis y la creación, la universalidad y la individualidad. Es su interacción integral la que constituye la rica connotación de las matemáticas. Para aprender bien las matemáticas, debes sumergirte en ellas, experimentarlas tú mismo y descubrirlas tú mismo.