【¡Urgente! 】 Punto Fermat (preguntas de diseño de Zhejiang Education Edition P82)

Descripción general:

Se introdujo el último teorema de Fermat, se dedujeron las propiedades de los puntos de Fermat en un triángulo y las propiedades de los puntos de Fermat en cuatro lados paralelos.

Presenta a Fermat (1601 ~ 1665), Pierre de French. Nacido en 1601 en el seno de una familia de comerciantes de cuero cerca de Toulouse. Estudió derecho, trabajó como abogado y fue miembro del consejo regional de Toulouse. Le encantan las matemáticas y dedica casi todo su tiempo libre a estudiar matemáticas. Debido a su talento y tenaz espíritu de investigación, ha logrado resultados fructíferos en muchos campos de la óptica geométrica y las matemáticas, y es conocido como el "Rey de los matemáticos aficionados". Gran parte del trabajo de Fermat se difundió por todo el mundo a través de sus cartas a sus amigos. Publicó sólo unos pocos artículos durante su vida, y la mayoría de sus artículos y obras se publicaron después de su muerte.

En matemáticas. Fermat propuso muchos teoremas importantes, los más famosos son el último teorema de Fermat y el pequeño teorema de Fermat.

Muchas proposiciones propuestas por Fermat en teoría de números no fueron probadas por él, pero la mayoría de ellas sí fueron demostradas por los matemáticos del siglo XVIII.

En la época de Fermat aún no se había establecido el cálculo, pero Fermat ya tenía la germinación del pensamiento analítico infinitesimal. Su método para encontrar el valor extremo de una función, la tangente de una curva y el área de un trapecio curvo formado por una curva y un eje de coordenadas se acerca bastante al método descrito en el análisis matemático actual. Se puede observar que Fermat también fue un pionero del cálculo.

Para los fenómenos naturales, Fermat propuso el principio de acción mínima. Este principio sostiene que la aparición de diversos fenómenos en la naturaleza sólo consume una cantidad muy pequeña de energía. Fermat utilizó el principio de mínima acción para explicar la forma de ojo de panal, que es más razonable que cualquier otra forma en términos de ahorro en el consumo de cera. También aplicó brillantemente este principio a la refracción de la luz. Fermat creía que cuando la relación entre la velocidad de la luz en dos medios diferentes es igual a la relación entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción, la resistencia total del medio es mínima. Esto proporciona un principio fundamental importante para la óptica geométrica.

Fermat fue el pionero de la teoría combinatoria. El concepto de "expectativa matemática" propuesto por él y Pascal sentó las bases para el desarrollo de la teoría de la probabilidad y abrió un amplio campo para la aplicación de este tema.

Definición de punto de Fermat

En un triángulo plano:

(1). Tres triángulos con ángulos interiores menores a 120, con AB, BC y CA. como lados, haz un triángulo equilátero ABC 1, ACB 1, BCA 1 en el exterior del triángulo y luego conecta AA 1 y BB 65438.

(2) Si el ángulo interior del triángulo es mayor o igual a 120 grados, entonces el vértice de este ángulo obtuso es la demanda.

(3) Cuando △ABC es un triángulo equilátero, el centro exterior coincide con el punto de Fermat.

Punto de Fermat en el cuadrilátero plano;

(1) En el cuadrilátero convexo ABCD, el punto de Fermat es el punto de intersección P de las dos diagonales AC y BD.

(2) En el cuadrilátero cóncavo ABCD, el punto de Fermat es el vértice cóncavo D(P).

Lo siguiente sólo deduce los triángulos que hemos aprendido:

(1) El ángulo entre el punto de Fermat y el lado opuesto es de 120 grados.

：

∵Se sabe que △ ABC 1, △ AB 1C y △ BCA 1 son positivos △

∴C1b=ab cb=a1b

∫≈c 1bc =≈c 1ba+≈ABC

∠aba1=∠cba1+∠abc

∠abc隚*** ∠c1ba=∠cba1=60゜

∴c1b=ab CB = a 1b∠c 1ba =∠CBA 1

△c 1bc≔△ABA 1(SAS)≈ba 1a =≈bcc 1.

De manera similar, △ACA 1≔△BCB 1(asa)≈aa 1b =≈b 1bc.

De ∠PA1B+∠CA1P=60 grados, ∠PCB+∠CBP=60 grados, entonces ∠CPB=120 grados.

De manera similar, ∠APB=120 grados, ∠APC=120 grados.

(2)PA+PB+PC=AA1

Gira △BPC 60 grados alrededor del punto B para que coincida con △BDA1, y conecta PD, entonces △PDB es un triángulo equilátero, entonces ∠BPD=60 grados.

∫∠BPA = 120 grados, entonces A, P y D están en la misma línea recta.

Porque ∠CPB=∠A1DB=120 grados, ∠PDB=60 grados, ∠PDA1=180 grados, A, P, D, A1.

(3)PA+PB+PC es el más corto.

Se sabe que a1a=ap+bp+pc.

Toma cualquier punto m del triángulo abc y conecta AM, BM y MC.

Gire △MBC 60° en sentido antihorario en el punto b

Enlace AM, GM, A1G

∫△PBC≔△CGA 1

∴bp=ga1

∠∠BCA 1 = 60, ∠pcb=∠gca1

∴∠mcg=60

Entonces mc=mg

∴aa1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM

Entonces la distancia desde el punto Fermat a los tres vértices A, B y C es la más corta.

Materiales de referencia: Enciclopedia Baidu, libros de matemáticas.