Funciones trigonométricas de funciones
Las funciones trigonométricas son una clase de funciones que son funciones trascendentales entre las funciones elementales en matemáticas. Su esencia es un mapeo entre un conjunto de ángulos arbitrarios y un conjunto de variables de razón. Por lo general, las funciones trigonométricas se definen en un sistema de coordenadas plano rectangular y su dominio es el dominio de los números reales completos. Otra definición está en un triángulo rectángulo, pero está incompleta. Las matemáticas modernas los describen como los límites de secuencias infinitas y soluciones de ecuaciones diferenciales, y extienden su definición a sistemas numéricos complejos.
Debido a la periodicidad de la función trigonométrica, esta no tiene una función inversa en el sentido de una función univaluada.
Las funciones trigonométricas tienen importantes aplicaciones en números complejos. Las funciones trigonométricas también son una herramienta común en física.
Tiene seis funciones básicas:
Nombre de la función seno coseno tangente cotangente línea cotangente
Símbolo sin cos tan cot sec csc
Seno función sin(A)=a/h
Función coseno cos(A)=b/h
Función tangente tan(A)=a/b
La función cotangente cot(A)=b/a
En un determinado proceso de cambio, las dos variables X e Y tienen un valor determinado para cada valor de X dentro de un determinado rango. e Y es una función de X. Esta relación generalmente se expresa como y=f(x).
La historia del desarrollo del concepto de función
1. Concepto temprano de función - función bajo el concepto de geometría
Galileo Galilei en el siglo XVII (Italia). , 1564-1642), en su libro "Dos nuevas ciencias", casi todos contienen el concepto de función o relación variable, expresando la relación entre funciones en el lenguaje de las palabras y las proporciones. Descartes (francés, 1596-1650) notó la dependencia de una variable de otra en su Geometría analítica alrededor de 1673. Pero como no se dio cuenta de que el concepto de función necesitaba ser refinado en ese momento, nadie había definido una función hasta que Newton y Leibniz establecieron el cálculo a finales del siglo XVII.
En 1673, Leibniz utilizó por primera vez "función" para significar "poder". Posteriormente utilizó esta palabra para expresar las cantidades geométricas de cada punto de la curva, como la abscisa, la ordenada, la longitud de la tangente, etc. Al mismo tiempo, Newton utilizó el "flujo" para expresar la relación entre variables en discusiones sobre cálculo.
El concepto de función en el siglo XVIII: función bajo el concepto de álgebra.
¿Juan? Bernoulli John (Rui, 1667-1748) definió el concepto de función basándose en el concepto de función de Leibniz: "una cantidad que consta de cualquier variable y una constante de cualquier forma". Se refería a cualquier cantidad que consta de variables. Fórmulas compuestas por X. y las constantes se llaman funciones de X. Enfatizó que las funciones deben expresarse mediante fórmulas.
En 1755, L. Euler (Suiza, 1707-1783) definió una función como "si unas variables dependen de otras variables de alguna manera, es decir, cuando la última variable cambia, la primera también cambia, y llamamos a la primera variable función de la última."
Euler (L. Euler, Suiza, 1707-1783) dio una definición: "La función de una variable está dada por esto. Una expresión analítica compuesta de cualquier manera por variables y algunos números o constantes." ¿Puso John? La definición de funciones dada por Bernoulli se denomina funciones analíticas y se dividen en funciones algebraicas y trascendentales, y también se consideran "funciones arbitrarias". ¿No es difícil ver que la definición de funciones de Euler es mejor que la de Juan? La definición de Bernoulli es más general y tiene un significado más amplio.
13. El concepto de función en el siglo XIX -función bajo la relación correspondiente-.
En 1821, Cauchy (Francia, 1789-1857) dio una definición a partir de la definición de variables: “Existe una cierta relación entre ciertas variables. Cuando se da el valor de una variable, otras variables El valor de se puede determinar en consecuencia, entonces la variable inicial se llama variable independiente. El término variable independiente aparece por primera vez en la definición de Cauchy, y también señala que las funciones no requieren expresiones analíticas, pero todavía cree que las relaciones funcionales pueden utilizar múltiples expresiones analíticas para expresar, esto es una gran limitación.
En 1822, Fourier (Francia, 1768-1830) descubrió que algunas funciones también se pueden expresar mediante curvas, o pueden expresarse mediante una fórmula. o múltiples representación de fórmulas, poniendo así fin al debate sobre si el concepto de función debe representarse mediante una sola fórmula y llevando la comprensión de las funciones a un nuevo nivel.
En 1837, Dirichlet (alemán, 1805-1859) rompió esta limitación y consideró que cómo establecer la relación entre X e Y es irrelevante. Amplió el concepto de función y señaló: "Para cada valor definido de Este método es aceptado por todos los matemáticos. Esto es lo que la gente suele llamar la definición de funciones clásicas.
Según Cantor (Alemania, 1845- 1918) la teoría de conjuntos jugó un papel importante en las matemáticas (EE. UU., Veblen, 1880-1960) Utilice "conjunto" y "correspondencia"
El concepto de función-función moderna bajo la teoría de conjuntos
<. p>F. Hausdorff en 1914. En 1921, Kuratowski utilizó el concepto de conjunto para definir el "par ordenado". Esto hace que la definición de Hausdorff sea muy rigurosa.En 1930, la nueva función moderna fue definida como ". Si siempre hay un elemento Y determinado por el conjunto N correspondiente a cualquier elemento X del conjunto M, entonces se denomina definición de función. En el conjunto M, se registra como y = f (x). El elemento x se llama variable independiente y el elemento y se llama variable dependiente. ”
Los términos función, mapeo, correspondencia y transformación generalmente tienen el mismo significado.
Pero las funciones solo representan la correspondencia entre números, y el mapeo también puede representar entre puntos, la correspondencia. entre las gráficas se puede decir que el mapeo contiene funciones.
Función proporcional:
La imagen de la función proporcional y=kx (k es una constante, k≠0). , es una línea recta que pasa por el origen. Cuando x > 0, la imagen pasa por tres o un cuadrante, subiendo de izquierda a derecha, es decir, y aumenta a medida que x aumenta cuando k < 0, la imagen pasa por dos o; cuatro cuadrantes, decreciente de izquierda a derecha, es decir, y disminuye como lo es la recta y=kx
(Además: El origen del nombre chino "función"
Estudio en profundidad de una función.
Xu Ruohan
Al aprender una función, de acuerdo con los requisitos de la escuela secundaria, es necesario estudiar más a fondo sus aplicaciones prácticas y cómo cambiar la posición de la imagen.
Funciones por partes en problemas prácticos
[Ejemplo 1] (Ciudad de Wuhan, 2005) Xiao Ming fue en bicicleta desde su casa a la escuela por la mañana, primero cuesta arriba y luego cuesta abajo. Como se muestra en la figura, si la velocidad cuesta arriba y cuesta abajo no cambia al regresar, ¿cuánto tiempo le tomará a Xiaoming llegar a casa desde la escuela?
Análisis: la velocidad cuesta arriba y cuesta abajo es diferente. el problema debe estudiarse en dos partes.
Según la información proporcionada por la imagen de la función, se puede saber que cuando Xiao Ming va a la escuela desde casa, la distancia cuesta arriba es de 3600 metros y la cuesta abajo. la distancia es 9600-3600 = 6000 metros
∴La velocidad cuesta arriba es 3600÷18=200 (m/min).
La velocidad cuesta abajo es 6000 ÷ (30-18). ) = 500 (m/min).
Cuando Xiao Ming llegó a casa, recorrió 6000 metros cuesta arriba y 3600 metros cuesta abajo, tardando 6000÷203600÷500 = 37,2 (minutos)
<. p>Aplicación en física.[Ejemplo 2] (Ciudad de Huanggang, 2004) Cuando una clase de estudiantes exploró la relación entre la longitud del resorte y la fuerza externa, los datos correspondientes registrados en el experimento fueron los siguientes:
Encontrar la relación entre Y y X El rango de valores de la función de resolución y la variable independiente
Análisis: Según el conocimiento de la física, el resorte se deforma (alarga) bajo la acción. de la fuerza externa (la gravedad del peso suspendido), y la relación entre la fuerza externa y la posición del puntero se puede representar mediante una función lineal; sin embargo, la fuerza externa sobre cada resorte tiene un cierto límite, por lo que la Se debe encontrar el rango de la variable independiente.
Según los datos conocidos, se encuentra que durante el proceso de estiramiento del resorte,
Supongamos y=7,5 y obtengamos x=275.
La función de ∴ es
Tenga en cuenta que el punto divisorio entre los dos párrafos es x=275, no x=300.
Aplicación de la traslación lineal
[Ejemplo 3] (2005 Provincia de Heilongjiang) En el sistema de coordenadas rectangular, los puntos conocidos A (-9, 0), P (0, 3) ,C(0,12). Pregunta: ¿Existe un punto Q en el eje X tal que el cuadrilátero con los puntos A, C, P y Q como vértices sea un trapezoide? Si existe, encuentre la fórmula analítica de la línea recta PQ; si no existe, explique el motivo.
Análisis: En el trapezoide estudiado, ¿qué dos lados son paralelos? Hay dos posibilidades: Si, es decir, se traslada la recta CA, la fórmula analítica de la recta CA se puede obtener fácilmente a través del punto P de la siguiente manera
La fórmula analítica de la recta obtenida después la traducción es
Si
Traducir la recta PA: por el punto c.
Obtener una línea recta:
La línea cruza el eje X en el punto (-36, 0).
La fórmula analítica de una línea recta es
Cómo entender el concepto de función
Cao Yang
La función es extremadamente importante Concepto básico en matemáticas. En matemáticas de secundaria, las funciones y el contenido relacionado son muy ricos y ocupan un gran peso. Dominar el concepto de funciones es muy útil para estudios futuros. Mirando hacia atrás en la historia del desarrollo del concepto de función, Leibniz fue el primero en utilizar "función" como término matemático. Propuso por primera vez el concepto de función en su artículo de 1692, pero su significado es bastante diferente de la comprensión actual de función. En los cursos de matemáticas de la escuela secundaria moderna, la definición de función es "teoría de variables". Es decir:
En un determinado proceso de cambio, hay dos variables X e Y. Si para cada cierto valor de X dentro de un cierto rango, Y tiene un cierto valor único de acuerdo con una determinada ley. le corresponde, entonces Y se llama función de X, X se llama variable independiente e Y se llama variable dependiente.
Establece claramente que la variable independiente x puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado, y la variable dependiente y toma un valor único y cierto cada vez de acuerdo con ciertas reglas. Pero la escuela secundaria no requiere dominar el rango de valores de la variable independiente (si observa varias funciones que se aprenden en la escuela secundaria, sabrá que esta definición es completamente suficiente y fácil de entender para los estudiantes de secundaria).
El concepto de función es muy abstracto y difícil de entender para los estudiantes. Para comprender el concepto de función se deben dejar claros dos puntos: primero, debe quedar clara la relación entre la variable independiente y la variable dependiente. En un determinado proceso de cambio, hay dos variables X e Y. Si Y cambia con X, entonces X se llama variable independiente y Y se llama variable dependiente si x cambia con y, entonces y se llama variable independiente y dependiente; variable. 2. El núcleo de la definición de función es la "correspondencia uno a uno", es decir, dado el valor de una variable independiente X, existe un valor determinado de forma única de la variable dependiente Y correspondiente a ella. Tal correspondencia puede ser "una variable independiente corresponde a una variable dependiente" (denominada "uno a uno"), o puede ser "varias variables independientes corresponden a una variable dependiente" (denominada "de varios a uno"). -uno"), pero no puede ser "uno a uno". La variable independiente corresponde a múltiples variables dependientes".
Uno a uno, muchos a uno y uno a muchos
Son funciones, funciones, no funciones.
Figura 1
Aquí tienes cuatro ejemplos que te ayudarán a comprender el concepto de funciones:
Ejemplo 1 La longitud del resorte es de 10 cm. Cuando F tira del resorte (F está dentro de un cierto rango), la longitud del resorte está representada por y. Los datos medidos se muestran en la Tabla 1:
Tabla 1
1
2
Tres
Cuatro
…
Longitud del resorte y(c)
¿Es la longitud y del resorte una función de la tensión f?
Análisis: La información se puede leer en la tabla. Cuando las fuerzas de tracción son 1 kg, 2 kg, 3 kg y 4 kg respectivamente, todas corresponden únicamente a la longitud y de un resorte, lo que satisface la definición de la función, por lo que la longitud y del resorte es función de la fuerza de tracción f. Por lo general, la tercera función de la función dada en forma de tabla. Una fila es el valor de la variable independiente y la segunda fila es el valor de la variable dependiente.
Ejemplo 2 La figura 2 muestra las temperaturas máximas y mínimas para cada mes del año en una determinada zona.
Figura 2
¿Qué relaciones entre variables describe la Figura 2? ¿Puedes pensar en una de las variables como función de la otra?
Análisis: En la figura se dan tres variables, a saber, temperatura máxima, temperatura mínima y mes. Como se puede ver en la figura, las temperaturas máximas y mínimas cambian con el mes. Las temperaturas máximas y mínimas son únicas para cada mes, por lo que la temperatura máxima (o temperatura mínima) es función del mes. También podemos encontrar que las temperaturas máximas de julio y agosto son iguales, lo que significa que las dos variables independientes corresponden a la misma variable dependiente. En términos generales, cuando una función se presenta en forma de gráfica, el eje horizontal representa la variable independiente y el eje vertical representa la variable dependiente.
Ejemplo 3 ¿La relación entre las siguientes variables es una relación funcional? Explique por qué.
(1) La relación entre el área s de un círculo y el radio r
(2) Cuando el automóvil viaja a una velocidad de 70 km/h, la distancia S ( km) recorrido por el automóvil está relacionado con La relación entre el tiempo T (h) utilizado;
(3) El área de un triángulo isósceles es la relación entre la longitud de su base y (cm) y altura de la base x (cm).
Análisis: (1) La relación entre el área S del círculo y el radio R es que cuando se determina el radio, el área S del círculo también se determina de forma única, por lo que la relación entre el área S y el radio R del círculo es una relación funcional.
⑵La relación entre la distancia S (km) y el tiempo t (horas) es que cuando se determina el tiempo t, la distancia S también se determina de forma única, por lo que la distancia S (km) y el tiempo t (horas) La relación es una relación funcional.
(3) La relación entre la longitud ycm de la base y la altura xcm de la base es que cuando se determina la altura X de la base, la longitud Y de la base también se determina de forma única, por lo que La relación entre la longitud ycm de la base y la altura xcm de la base es una relación funcional.
En términos generales, una función dada en forma relacional tiene una variable dependiente en el lado izquierdo del signo igual y una variable desconocida como variable independiente en el lado derecho del signo igual.
Ejemplo 4 Entre las siguientes imágenes, la que no puede expresar la relación funcional es ().
Análisis: en las cuatro imágenes anteriores, A, C y D pueden representar relaciones funcionales, porque cualquier valor dado de la variable independiente X tiene un valor Y único correspondiente, pero en la imagen B, Cualquier valor dado de la variable independiente X tiene dos valores Y diferentes correspondientes, por lo que se debe elegir la respuesta B para esta pregunta.
[Problema 2.9] Supongamos que M es un número de cuatro dígitos menor que 2006. Se sabe que existe un entero positivo n, por lo que M-n es un número primo y mn es un número cuadrado perfecto. todos los números de cuatro dígitos M que satisfacen las condiciones.