"Deberías irte a la cama. Deberías irte a la cama." ¿Es correcto?

No exactamente. El primero se centra en conciliar el sueño. Este último se acuesta principalmente (pero no necesariamente dormido).

Entonces, para decir “es hora de que te duermas”, debes irte a la cama ya.

O: Es hora de que te vayas a la cama.

O: Es hora de que te vayas a la cama.