Principios básicos de la simulación Monte Carlo

2.4.2.1 Números aleatorios distribuidos uniformemente

En el proceso de simulación de Monte Carlo, la clave es generar números aleatorios distribuidos uniformemente entre [0, 1] y obtenerlos mediante conversiones apropiadas Simular variables aleatorias correspondientes a una distribución de probabilidad específica. Existen muchos métodos para generar números aleatorios distribuidos uniformemente [57～59], pero el método informático comúnmente utilizado para generar números aleatorios es el método de congruencia algebraica, es decir:

xi+1=(axi+c )(mod m ) (2.6)

Donde a, c, m son números enteros no negativos, si ki es la parte entera de , es decir:

Método de análisis de deformación discontinua y su aplicación en ingeniería subterránea

El resto correspondiente al módulo m es:

xi+1=axi+c-mki (2.7)

Para el dado Valor inicial (Número semilla) x0, un lote de números aleatorios uniformes x1, x2,..., xn se puede iterar a través de la fórmula anterior. Luego del proceso de normalización de la siguiente fórmula, se puede obtener un número aleatorio ui distribuido uniformemente en el intervalo [0, 1]:

Método de análisis de deformación discontinua y su aplicación en ingeniería subterránea

Después de generar números aleatorios distribuidos uniformemente entre [0, 1], conviértalos en variables aleatorias que satisfagan una determinada distribución (como distribución uniforme, distribución binomial, distribución exponencial negativa, etc.). Si la función de distribución de una determinada variable aleatoria tiene una función inversa, se puede utilizar el método de la función inversa para determinar la variable aleatoria transformada. De lo contrario, se debe utilizar el método de integración numérica para resolverla.

Los números aleatorios generados en el ordenador deben cumplir los siguientes requisitos [55]:

(1) Uniformidad en la distribución e independencia estadística;

(2) Los números aleatorios generados se pueden repetir, es decir, se puede obtener la misma secuencia aleatoria dando el mismo valor inicial, de modo que se puedan simular diferentes soluciones de diseño en las mismas condiciones;

(3) Debe haber ser suficiente Un período largo, es decir, se pueden generar suficientes números aleatorios antes de llegar a un ciclo repetido.

2.4.2.2 Variables aleatorias normalmente distribuidas

La aparición (ángulo de inclinación, tendencia) de la superficie estructural obedece a la distribución normal. Box y Muller (1958) [55] creen que si u1 y u2 son dos números aleatorios uniformes distribuidos independientemente en [0, 1], entonces:

Método de análisis de deformación discontinua y su aplicación en aplicaciones subterráneas en ingeniería

Constituyen un par de variables aleatorias estándar distribuidas normalmente y estadísticamente independientes. Para distribución normal no estándar, la variable aleatoria La variable aleatoria de distribución N (μ, σ) se puede generar mediante la siguiente fórmula:

Método de análisis de deformación discontinua y su aplicación en ingeniería subterránea

2.4.2.3 Aleatoriedad de las variables de distribución exponencial negativa

El espaciado y la longitud de la traza de los planos estructurales se distribuyen con una distribución exponencial negativa. La expresión de la función exponencial negativa es [60][61]:

FX (x) = 1-e-λx, x≥0 (2.12)

La función inversa es :

Método de análisis de deformación discontinua y su aplicación en ingeniería subterránea

Después de iterar números aleatorios uniformemente distribuidos de la ecuación (2.3), se puede obtener una variable aleatoria negativa distribuida exponencialmente:

Método de análisis de deformación discontinua y su aplicación en ingeniería subterránea

O:

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En lo anterior fórmula, λ es la expectativa matemática del espaciado del plano estructural o longitud de la traza.